三角函数经典例题

PAGEPAGE10经典例题透析类型一：锐角三角函数　　本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点．明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小．　　1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那么()　　A．　　　B．　　　C．　　　D．　　思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可．　　解析：　　解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出　　　　　，∴．　　　　　∴．　　解法2：直接利用勾股定理求出，　　　　　在Rt△ABC中，．答案：A　　总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可．　　2．计算：(1)________；　　　　　　　　　(2)锐角A满足，则∠A=________．　　答案：(1)；(2)75°.　　解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可．　　　　　(1)．　　　　　(2)由，得，　　　　　　∴．∴A=75°．　　总结升华：　　已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．　　已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角．　　3．已知为锐角，，求．　　思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾股定理， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出，再利用，使可求出．　　解析：　　解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，　　　　　可设，．　　　　　则，　　　　　∴．　　解法2：由，得　　　　　，　　　　　∴．　　总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或利用，来求．类型二：解直角三角形　　解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形的边角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，注意三角函数的选择使用，避免计算麻烦，化非直角三角形为直角三角形问题是中考的热点．　　4．已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，．　　　　　　求：(1)DC的长；(2)sinB的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD=BC，图中CD=BC-BD，因此可列方程求出CD．　　解析：(1)设，在Rt△ACD中，，　　　　　　∴，∴．　　　　　　∵AD=BC，∴．　　　　　　又，　　　　　　∴，解得．　　　　　　∴．　　　　(2)BC=BD+CD=4+6=10=AD．　　　　　　在Rt△ACD中，．　　　　　　在Rt△ABC中，．　　　　　　∴．　　总结升华：借助三角函数值，设出其中两边，根据已知条件，列出方程，求出解，再求出其要求的问题．　　举一反三　　【变式1】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)求证：AB=DC；(2)若，，求边BC的长．　　思路点拨：要证AB=DC，只需证明ABC=BCD．由AC∥DE，AD∥BC，可得四边形ADEC为平行四边形，所以∠E=∠DAC．由CA平分∠BCD，可得∠BCD=2∠BCA=2∠E，所以∠B=∠BCD，问题得证，由(1)可知AD=CD=，过点A作AF⊥BC，在Rt△ABF，可求得BF=1，所以．　　解析：(1)证明：∵DE∥AC，∴∠BCA=∠E．　　　　　　　　　∵CA平分∠BCD，∴∠BCD=2∠BCA，∴∠BCD=2∠E．　　　　　　　　　又∵∠B=2∠E，∴∠B=∠BCD．　　　　　　　　　∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC．　　　　　(2)解：如图所示，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F、G，则AF∥DG．　　　　　　　　在Rt△AFB中，∵tanB=2，∴AF=2BF．　　　　　　　　又∵，且，　　　　　　　　∴，得BF=1．　　　　　　　　同理可知，在Rt△DGC中，CG=1．　　　　　　　　∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB．　　　　　　　　又∵∠ACB=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD．∴AD=DC．　　　　　　　　∵，∴．　　　　　　　　∵AD∥BC，AF∥DG，∴四边形AFGD是平行四边形．　　　　　　　　∴，∴BC=BF+FG+GC=．　　【变式2】已知：如图所示，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．　　(1)求证：△CPB≌△AEB；　　(2)求证：PB⊥BE；　　(3)PA：PB=1：2，∠APB=135°，求cos∠PAE的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：(1)在△CPB和△AEB中，∠PBC=∠ABE，BP=BE，要证△CPBC≌△AEB，只要BC=AB即可，而四边形ABCD恰好是正方形，所以得证．(2)只要证∠PBE=90°，而∠ABC=90°，即证出．(3)要求cos∠PAE的值，需判断∠PAE所在的三角形是否是直角三角形，因此需连结PE，借助(1)(2)，求出∠PBE=，而∠APB=135°，因此∠APE=90°．　　解析：　　(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，　　　　　　∴BC=AB．　　　　　　∵∠CBP=∠ABE，BP=BE，　　　　　　∴△CPB≌△AEB．　　(2)证明：∵∠CBP=∠ABE，　　　　　　∴∠PBE=∠ABE+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°，　　　　　　∴BP⊥BE．　　(3)解：连结PE，∵BE=BP，∠PBE=90°，　　　　　∴∠BPE=45°．　　　　　设AP=k，则BP=BE=2k，　　　　　∴，　　　　　∴．　　　　　∵∠BPA=135°，∠BPE=45°，　　　　　∴∠APE=90°，．　　　　　在Rt△APE中，．类型三：利用三角函数解决实际问题　　直角三角形应用非常广泛，是中考的重要内容之一．近年来，各地中考 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 为体现新课标理念， 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 了许多面目新颖、创意丰富的新型考题．运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关的应用题是近几年中考的热点．虽然解直角三角的应用题题型千变万化，但设法寻找或构造出可解的直角三角形是解题的关键．　　5．如图所示，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB，当太阳光与水平线成50°角时，测得该树在斜坡的树影BC的长为7m，求树高．(精确到0.1m)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：树所在直线垂直于地面，因此需延长AB交水平线于一点D，则AD⊥CD，在Rt△BCD中，BC=7m，∠BCD=15°，所以求出CD、BD．而在Rt△ACD中，∠ACD=50°，利用求出AD，所以AB=AD-BD即可求出．　　解析：如图，过点C作水平线与AB延长线交于点D，则AD⊥CD．　　　　　∵∠BCD=15°，∠ACD=50°，　　　　　在Rt△CDB中，CD=7cos15°，BD=7sin15°．　　　　　在Rt△CDA中，　　　　　．　　　　　∴　　　　　　　　．　　　　　答：树高约为6.2m．　　总结升华：　　解这类问题一般构造直角三角形，借助角与边的关系，求得未知边，再解另一个直角三角形得到问题答案．　　举一反三　　【变式1】高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB(如图所示)．　　　　　　　　　　　　　(1)某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB的高度．　　(2)用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，要求：　　　①在下图中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标在图上(长度用字母m、n表示，角度　　　　用希腊字母…表示)；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB的高度(用字母表示)．　　思路点拨：本题主要考查解直角三角形的有关知识，并且让学生根据所提供的信息设计测量方案．　　解析：连结AC、EF(图略)．　　　　　(1)∵太阳光线是平行线，　　　　　　∴AC∥EF，∴∠ACB=∠EFD．　　　　　　∵∠ABC=∠EDF=90°，　　　　　　∴△ABC∽△EDF．　　　　　　∴．　　　　　　∴．　　　　　　∴AB=4.2．　　　　　　答：大树AB的高是4.2米．　　　　　(2)如图所示，MG=BN=m，，　　　　　　　　　　　　　∴米．　　总结升华：本题将解直角三角形的相关知识与测量方案设计结合在一起，联系生活实际，让学生自己设计测量方案，得出结果，培养动手实践操作能力．同时，引导学生结合生活实际建立数学模型，促使大家进一步认识数学就在身边，会用数学知识解决现实生活中的问题．　　【变式2】2008年6月以来某省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生．北峰 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC=65°．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)求坡顶与地面的距离AD等于多少米?(精确到0.1米)　　(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米?(精确　　　到0.1米)　　解析：(1)在Rt△ADB中，AB=30m，∠ABD=65°，．　　　　　　所以AD=AB·sin∠ABD=30×sin65°≈27.2(米)．　　　　　　答：AD等于27.2米．　　　　　(2)在Rt△ADB中，，　　　　　　所以DB=AB·cos∠ABD=30×cos65°≈12.7(米)．　　　　　　连结BE，过E作EN⊥BC于N，　　　　　　因为AE∥BC，所以四边形AEND为矩形，　　　　　　则NE=AD≈27.2．　　　　　　在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，当∠EBN=45°时，BN=EN=27.2．　　　　　　所以AE=ND=BN-BD=14.5(米)．　　　　　　答：AE至少是14.5米．类型四：锐角三角形函数与斜三角形　　6．数学活动课上，小敏、小颖分别画出了△ABC和△DEF，数据如图所示，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，那么()　　A．　　　B．　　　C．　　　D．不能确定　　　　　　　　　　　　　　　　解析：此两图一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形，因此解决此问题，　　　　　关键作高构造直角三角形，如图所示，　　　　　　　　　　　　　　　作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H，在Rt△ABG中，由得，　　　　　∴．　　　　　在Rt△DHE中，∠DEH=180°-130°=50°，∴　　　　　得，从而也求得，　　　　　∴．答案：C　　总结升华：解斜三角形时往往作高把斜三角形转化为直角三角形，利用直角三角形边边、边角、角角关系求出问题答案．　　举一反三　　【变式1】已知如图所示，　　(1)当△ABC为锐角三角形时，AB为最长边，三边分别为a、b、c，①试判断与的大小关系．　　　②用a、b、c，表示出cosB．　　(2)当△ABC为钝角三角形时，∠C为钝角，①判断与的大小关系？②用a、b、c表示cosB．　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：解此类问题需作高线构造直角三角形，通过观察发现构造的两直角三角形有一条公共边，借助它列方程，设CD=x，则在图(1)中，图(2)中，则图(1)方程为．图(2)方程为，先求出，再进一步求．　　　　　　　　　　　　　　　解析：(1)①如图(1)，过点A作AD⊥BC于点D，设，则，　　　　　　　在Rt△ACD和Rt△ABD中，有，．　　　　　　　∴，　　　　　　　解得．而，　　　　　　　∴，∴．　　　　　　②在Rt△ABD中，　　　　　　　.　　　　　(2)①如图(2)，同样过A点作AD⊥BC，垂足为D，设，则．　　　　　　　在Rt△ACD和Rt△ABD中，　　　　　　　，　　　　　　　∴，　　　　　　　解得．　　　　　　　而，　　　　　　　∴，∴．　　　　　②此时在Rt△ABD中，