高中数学 第二章 函数 第4节 二次函数性质的再研究（第1课时）基础知识素材 北师大版必修1（通用）

PAGE4.1二次函数的图像1．掌握二次函数解析式的三种形式，会利用待定系数法求解析式．2．掌握二次函数的图像变换．1．定义(1)形如y＝________(a≠0)的函数叫作二次函数，其中a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为二次函数的一般式，二次函数的解析式还有其他两种形式：顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)；零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式．【做一做1－1】二次函数f(x)的图像与x轴交于(－2,0)，(4,0)两点，且顶点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(9,2)))，求函数f(x)的解析式．【做一做1－2】二次函数f(x)的图像经过点A(1,0)，B(2,3)，且对称轴为x＝3，求函数f(x)的解析式．2．图像变换(1)首先将二次函数的解析式整理成顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，再由二次函数y＝x2的图像经过下列的变换得到：①将函数y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的____倍，横坐标不变，得到函数y＝ax2的图像．函数y＝f(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的a(a≠0)倍，横坐标不变，得到函数y＝af(x)的图像．②将函数y＝ax2的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位得到______的图像．将函数y＝f(x)的图像向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图像．将函数y＝f(x)的图像向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)的图像．简称为“左加(＋)右减(－)”．③将函数y＝a(x＋h)2的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得到________的图像．将函数y＝f(x)的图像向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图像；将函数y＝f(x)的图像向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b的图像．简称为“上加(＋)下减(－)”．(2)一般地，二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，____决定了二次函数图像的开口大小和方向；____决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；____决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．【做一做2】将函数y＝4x2＋2x＋1写成y＝a(x＋h)2＋k的形式，并说明它的图像是由y＝4x2的图像经过怎样的变换得到的？ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：1．(1)ax2＋bx＋c　【做一做1－1】解：设函数解析式为f(x)＝a(x＋2)(x－4)，又∵函数图像过顶点，∴－eq\f(9,2)＝a(1＋2)(1－4)，解得a＝eq\f(1,2).∴函数解析式为f(x)＝eq\f(1,2)(x＋2)(x－4)，即f(x)＝eq\f(1,2)x2－x－4.【做一做1－2】解：设所求函数解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝3，,－\f(b,2a)＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝6，,c＝－5.))∴所求解析式为f(x)＝－x2＋6x－5.2．(1)①a　②y＝a(x＋h)2　③y＝a(x＋h)2＋k(2)a　h　k【做一做2】解：y＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)x＋\f(1,16)))＋1－eq\f(1,4)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4)))2＋eq\f(3,4).要得到y＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4)))2＋eq\f(3,4)的图像需将y＝4x2先向左平移eq\f(1,4)个单位长度，再向上平移eq\f(3,4)个单位长度．怎样快速画二次函数图像的草图？剖析：下面举例说明．例如画出函数y＝3x2－6x－9的草图．函数的解析式化为顶点式y＝3(x－1)2－12.可得顶点坐标(1，－12)；与x轴的交点是点(－1,0)和点(3,0)；对称轴是直线x＝1；抛物线的开口向上．画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－12)，(－1,0)，(3,0)，画出直线x＝1；(2)连线：用光滑曲线连接点(1，－12)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝3x2－6x－9的草图，如图所示．由此可见，画抛物线时，重点体现抛物线的特征：“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征在坐标系中可快速画出抛物线的草图．题型一求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的解析式．反思：求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，利用待定系数法求之．(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解．(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式．(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式．题型二图像变换【例2】函数f(x)＝x2的图像经过怎样的变换，得到函数g(x)＝4x2－2x－1的图像？分析：将函数g(x)＝4x2－2x－1的解析式化为顶点式．反思：所有二次函数的图像均可以由函数f(x)＝x2的图像经过变换得到．变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤．题型三图像的应用【例3】已知二次函数y＝2x2－4x－6.(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像．(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积．(3)x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0?分析：(1)已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 描点可画出图像；(2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y＝0、x＝0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积；(3)观察图像可得到图像在x轴上方(即y＞0)时x的取值范围，y＝0与y＜0时亦可得．反思：根据配方法得到函数的性质，作图时，注意关键点的选取，如与x轴、y轴的交点，顶点和开口方向，对称轴及增减性等，使画图的操作更方便，图像更准确．答案：【例1】解法1：利用二次函数一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法2：利用二次函数的两根式．由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，∴eq\f(－4a2a＋1－a2,4a)＝8.解得a＝－4，或a＝0(舍)．∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法3：利用二次函数的顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f(1,2)，即m＝eq\f(1,2).又∵f(x)的最大值为8，∴n＝8.∴f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4.∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.【例2】解：g(x)＝4x2－2x－1＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2－eq\f(5,4).变换的步骤是：(1)将函数f(x)＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变，得到函数f(x)＝4x2的图像；(2)将函数f(x)＝4x2的图像向右平移eq\f(1,4)个单位，得到函数f(x)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2的图像；(3)将函数f(x)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2的图像向下平移eq\f(5,4)个单位，得到f(x)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2－eq\f(5,4)的图像，即得到函数g(x)＝4x2－2x－1的图像．【例3】解：(1)配方，得y＝2(x－1)2－8.∵a＝2＞0，∴函数图像开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．列表：x－10123y0－6－8－60描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图像，如图所示．(2)由图像得，函数图像与x轴的交点坐标为A(－1,0)、B(3,0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6)．S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·|OC|＝eq\f(1,2)×4×6＝12.(3)由函数图像知，当x＜－1或x＞3时，y＞0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1＜x＜3时，y＜0.1下列关于二次函数y＝x2＋x＋1图像的开口方向和顶点的说法，正确的是()．A．开口向下，顶点(1,1)B．开口向上，顶点(1,1)C．开口向下，顶点D．开口向上，顶点2将函数y＝x2的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为()．A．y＝(x＋2)2＋1B．y＝(x－2)2＋1C．y＝(x－2)2－1D．y＝(x＋2)2－13一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是()．4函数y＝4x2的图像各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，所得图像的函数解析式为__________．5已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f(x)的解析式．答案：1．D　2.C3．C　选项A，y＝ax＋b中，a＞0而y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，矛盾；选项B，y＝ax＋b中，a＞0，b＞0，从而y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴x＝＜0，矛盾；选项D，y＝ax＋b中，a＜0，b＜0，但y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，矛盾．4．y＝x25．分析：设出二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数f(x)的解析式．解：设f(x)＝a(x＋1)2＋k，由题意得f(1)＝13，f(2)＝28，则有解得a＝3，k＝1，即f(x)＝3(x＋1)2＋1.