江苏省南通市2020届高三数学四模试题（含解析）

PAGE江苏省南通市2020届高三练习卷（四模）数学 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合，，则_______．【答案】【解析】【分析】由集合交集的定义运算即可.【详解】已知集合，，则故答案为：【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.2.已知复数（是虚数单位），则的共轭复数为_______．【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得，再由共轭复数的定义得答案．【详解】∴．故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，属于基础题．3.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为_______．【答案】【解析】【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，S的值，即可得解输出的S的值．【详解】模拟执行程序代码，可得S＝3第1步：i＝2，S＝S＋i＝5；第2步：i＝3，S＝S＋i＝8；第3步：i＝4，S＝S＋i＝12；第4步：i＝5，S＝S＋i＝17；此时，退出循环，输出S的值为17．故答案为：17．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序代码，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．4.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则身高在[120，130)内的学生人数为__．【答案】【解析】【分析】由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数．【详解】由图知，（0.035++0.020+0.010+0.005）×10＝1，解得＝0.03；∴身高在[120，130]内的学生人数为100×0.03×10＝30．故答案为：30．【点睛】本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，属于基础题.5.在平面直角坐标系中，已知双曲线()两条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为_______．【答案】【解析】【分析】由双曲线的两条渐近线方程是y＝±2x，得b＝2a，从而，即可求出双曲线的离心率．【详解】∵双曲线()的两条渐近线方程是y＝±2x，∴，即b＝2a，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6.现有3个奇数，2个偶数．若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为__．【答案】【解析】【分析】从中随机抽取2个数相加，基本事件总数，和是偶数包含的基本事件的个数，由此能求出和是偶数的概率．【详解】现有3个奇数，2个偶数．从中随机抽取2个数相加，基本事件总数，和是偶数包含的基本事件的个数，则和是偶数的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题．7.已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为____．【答案】【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，依题意，，即，所以该圆锥的侧面积为．【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r，已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，如图所示，所以，即，又因为圆锥的母线长为，所以该圆锥的侧面积为．故答案为：．【点睛】本题考查了圆锥的结构特点，圆锥的侧面积．属于基础题．8.给出下列三个函数：①；②；③，则直线()不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）．【答案】①【解析】【分析】分别求得三个函数的导数，由导数的几何意义，解方程可得不满足题意的函数．【详解】直线的斜率为k＝，对于①，求导得：，对于任意x≠0，＝无解，所以，直线不能作为切线；对于②，求导得：有解，可得满足题意；对于③，求导得：有解，可得满足题意；故答案为：①【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算，以及方程思想、运算能力，属于中档题．9.如图，在平面四边形中，，，，点为线段的中点．若()，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设AB＝BC＝2后，写出各点坐标，用向量的坐标运算可得．【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB＝BC＝2，则有A（0,0），B（2,0），C（2,2），E（2,1），AC＝2，AD＝2×tan30°＝，过D作DF⊥x轴于F，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°，DF＝sin45°＝，所以D（，），＝（2,2），＝（，），＝（2,1），因为，所以，（2,2）＝（，）+（2,1），所以，，解得：的值为故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的基本运算，建系用坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示是解题的关键，属于中档题．10.已知实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【详解】由，得：或，不等式组表示的平面区域如图所示；，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，即原点到的距离为，原点到的距离为：，所以，的最小值为＝故答案为：【点睛】本题考查线性规划的简单性质，考查目标函数的几何意义，数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于基础题．11.已知是定义在上且周期为的周期函数，当时，．若函数()在上恰有个互不相同的零点，则实数的值__．【答案】【解析】【分析】根据题意得与有4个交点，画出函数y＝f（x）与y＝logax（a＞1）在（0，+∞）的图象，根据数形结合可得答案．【详解】当时，得，且是定义在上且周期为的周期函数，函数(a＞1)在(0，)上恰有4个互不相同的零点，函数与(a＞1)在(0，)上恰有4个不同的交点，分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x＝时，有＝1，所以.故答案为：【点睛】本题考查了函数的图象及性质，考查了数形结合思想，属于中档题．12.已知正项等比数列的前项和为．若，则取得最小值时，的值为_______．【答案】【解析】【分析】因为，所以q≠1，所以，即，得．化简得，由基本不等式得其最小值，即可得到．【详解】由，得：q≠1，所以，化简得：，即，即，得，化简得＝＝，当，即时，取得最小值，所以＝故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用，基本不等式求最小值的条件，属于中档题．13.在平面直角坐标系中，已知，为圆上两点，且．若为圆上的任意一点，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】因为为圆上一点，设（sinθ，cosθ），则利用坐标运算即可．【详解】因为为圆x2+y2＝1上一点，设（sinθ，cosθ），则，∵，为圆上两点，∴，又，∴，其中，∵∈[﹣1，1]，∴当＝1时，的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，利用坐标运算是解题的关键，属于中档题．14.在中，分别为角所对边的长，为的面积．若不等式恒成立，则实数的最大值为______．【答案】【解析】【分析】在中，面积公式，余弦定理，代入化简得，由基本不等式得；令，得，由辅助角公式得，进而得，求出即可得答案.【详解】在中，面积公式，余弦定理，代入，有，即恒成立，求出的最小值即可，而，当且仅当取等号，令，得：，即，即，令，得：，即，所以0＜，两边平方，得：，解得：，即的最小值为，所以，故答案为：【点睛】本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，以及基本不等式求最小值，辅助角公式的化简，也考查了计算能力，属于中档题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知函数(，)的图象关于直线对称，两个相邻的最高点之间的距离为．（1）求的解析式；（2）在△中，若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可求正弦函数的周期，利用周期公式可求ω，由图象关于直线对称，可求，结合范围，可求，即可求得函数解析式．（2）由已知可求，结合范围A+∈（π，），利用同角三角函数基本关系式可求cos（A+），根据两角差的正弦函数公式可求sinA的值．【详解】（1）∵函数（ω＞0，）的图象上相邻两个最高点的距离为2π，∴函数的周期T＝2π，∴＝2π，解得ω＝1，∴f（x）＝sin（x+φ），又∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴，k∈Z，∵，∴＝，∴f（x）＝sin（x+）．（2）在△ABC中，∵，A∈（0，π），∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．16.如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点．（1）求证：；（2）求证：．【答案】(1)见详解；（2）见详解.【解析】【分析】（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，可求O为AC1的中点，D是棱AB的中点，利用中位线的性质可证OD∥BC1，根据线面平行的判断定理即可证明BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可证平行四边形ACC1A1是菱形，由其性质可得AC1⊥A1C，利用线面垂直的性质可证AB⊥AA1，根据AB⊥AC，利用线面垂直的判定定理可证AB⊥平面ACC1A1，利用线面垂直的性质可证AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根据线面垂直的判定定理可证A1C⊥平面ABC1，利用线面垂直的性质即可证明BC1⊥A1C．【详解】（1）连接AC1，设AC1∩A1C＝O，连接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：OD∥BC1，又因为：BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC＝AA1，所以：平行四边形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为：AB⊂平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因为：AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因为：BC1⊂平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17.如图，在宽为的路边安装路灯，灯柱高为，灯杆是半径为的圆的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为，到灯柱所在直线的距离为．设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上．（1）当为何值时，点恰好在路面中线上?（2）记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值．【答案】(1)当为时，点在路面中线上；（2）【解析】【分析】（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出PQ的方程，设C（a，b），根据CA＝CP＝r列方程组可得出a，b的值，从而求出r的值；（2）用a表示出直线PQ的斜率，得出PQ的方程，求出Q的坐标，从而可得出|HQ|关于a的函数，根据a的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值．【详解】（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0），∴直线PQ的方程为2x+y﹣14＝0．设C（a，b），则，两式相减得：a+b﹣10＝0，又2a+b﹣14＝0，解得a＝4，b＝6，∴．∴当时，点Q恰好在路面中线上．（2）由（1）知a+b﹣10＝0，当a＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x＝2，此时HQ＝0．当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y﹣10＝（x﹣2），令y＝0可得x＝12﹣，即Q（12﹣，0），∵H在线段OQ上，∴12﹣≥a，解得2≤a≤10．∴|HQ|＝12﹣﹣a＝12﹣（+a）≤12﹣＝12﹣，当且仅当＝a即a＝时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣）m．【点睛】本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)经过点(0，)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线交椭圆于M，N两点．（1）求椭圆C的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程；（2）当MF＝2FN时，求直线的方程；（3）若直线上存在点P满足PM·PN＝PF2，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）由题意，b＝，再由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c＝，结合隐含条件解得a＝2，c＝1，则椭圆方程可求；（2）当直线l与x轴重合时，求得MF＝3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系及MF＝2FN求得m值，则直线方程可求；（3）当直线l的斜率为0时，设P（x0，y0），由PM•PN＝PF2，求得，当直线l的斜率不为0时，由（2）中的根与系数的关系及PM•PN＝PF2，求得，代入直线方程得，由此可得点P在定直线上．【详解】（1）设椭圆的截距为2c，由题意，b＝，由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c＝，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，c＝1．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线l与x轴重合时，M（﹣2，0），N（2，0），此时MF＝3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．△＝36m2+36（m2+4）＞0．①，②，由MF＝2FN，得y1＝﹣2y2③，联立①③得，，代入②得，，解得．∴直线方程为；（3）当直线l的斜率为0时，则M（2，0），N（﹣2，0），设P（x0，y0），则PM•PN＝|（x0﹣2）（x0+2）|，∵点P在椭圆外，∴x0﹣2，x0+2同号，又，解得．当直线l的斜率不为0时，由（2）知，，．∵点P在椭圆外，∴y1﹣y0，y2﹣y0同号，∴PM•PN＝（1+m2）（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝，整理得，代入直线方程得．∴点P定直线上．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．19.设函数(a，bR)的导函数为,已知，是的两个不同的零点．（1）证明：；（2）当b＝0时，若对任意x＞0，不等式恒成立，求a的取值范围；（3）求关于x的方程的实根的个数．【答案】(1)见解析；（2）；（3）1个.【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用△＝4a2﹣12b＞0，得证；（2）分离参数a，所以a≥﹣x对任意x＞0恒成立，令新函数设g（x）＝﹣x求最值即可，或采用x3+ax2﹣xlnx≥0时求左侧最值亦可．（3）转化函数求零点个数可得结论．【详解】（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的导函数为f′（x）＝3x2+2ax+b．已知x1，x2是f'（x）的两个不同的零点，设x1＜x2，所以△＝4a2﹣12b＞0，所以：a2＞3b得证；（2）当b＝0时，对任意x＞0，f（x）≥xlnx恒成立，所以x3+ax2≥xlnx，即x3+ax2﹣xlnx≥0，x2+ax﹣lnx≥0对任意x＞0恒成立，所以a≥﹣x对任意x＞0恒成立，设g（x）＝﹣x，则，令h（x）＝1﹣1nx﹣x2，则h（x）＝﹣﹣2x＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，注意到h（1）＝0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0，g（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，+∞）时，H（x）＜0，g（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以，当x＝1时，g（x）有最大值g（1）＝﹣1，所以a的取值范围为[﹣1，+∞）；（3）由题意设F（x）＝f（x）﹣f（x1）﹣，则原问题转化为求函数F（x）的零点的个数，因为导函数为f（x）＝3x2+2ax+b，已知x1，x2是f'（x）的两个不同的零点，所以：，所以：，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，注意到F（x1）＝0，所以F（x）在（0，+∞）上存在唯一零点x1，∴关于x的方程有1个实根，【点睛】本题考查函数的极值，最值的综合应用，函数的零点判断，构造新函数求最值的特点，属于难题．20.已知在数列{an}中，设a1为首项，其前n项和为Sn，若对任意的正整数m，n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，且2S6＜S3．（1）设数列{an}为等差数列，且公差为d，求的取值范围；（2）设数列{an}为等比数列，且公比为q（q＞0且q≠1），求a1q的取值范围．【答案】(1)＜﹣3；（2）a1q＞0【解析】【分析】（1）根据已知条件，由于数列是等差数列，运用等差数列的求和公式，建立不等式，进一步求出相应的结果；（2）根据已知条件，由于数列是等比数列，运用等比数列的求和公式，建立不等式，进一步求出相应的结果．【详解】在数列{an}中，设a1为首项，其前n项和为Sn，若对任意正整数m、n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，（1）设{an}为等差数列，且公差为d，则：2ma1+d+2na1+d＜2[（m+n）a1+d]，整理得：（m﹣n）2d＜0，则d＜0，由2S6＞S3，整理得：9a1+27d＞0，则a1＞﹣3d，所以d＜0，＜﹣3；（2）设{an}为等比数列，且公比为q（q＞0且q≠1），则，整理得（2qm+n﹣q2m﹣q2n）＜0，则：﹣（qm﹣qn）2＜0，所以＞0，由2S6＞S3，则：2q6﹣q3﹣1＜0解得：﹣＜q3＜1，由于q＞0，所以：0＜q＜1，则：a1＞0．即有a1q＞0．【点睛】本题考查的知识要点：等差数列和等比数列前n项和公式的应用，也考查了运算能力，属于中档题．21.已知矩阵，．的逆矩阵满足．（1）求实数的值；（2）求矩阵的特征值．【答案】(1)；(2)和.【解析】【分析】（1）利用求解即可；（2）矩阵A的特征多项式求出行列式，然后令f（λ）＝0即可．【详解】（1）因为，，∴，即，∴；（2）矩阵A的特征多项式=（λ+1）λ﹣2＝（λ+2）（λ﹣1），令f（λ）＝0，则λ＝﹣2或λ＝1，∴矩阵A的特征值﹣2和1．【点睛】本题考查了逆变换与逆矩阵以及矩阵特征值的求法，属于基础题．22.在极坐标系中，圆方程为，直线的方程为．（1）若直线过圆的圆心，求实数的值；（2）若，求直线被圆所截得的弦长．【答案】（1）；(2)【解析】【分析】（1）将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程后，利用圆心在直线上列式可得．（2）利用点到直线的距离公式和勾股定理可得．【详解】（1）由ρ+2cosθ＝0得ρ2+2ρcosθ＝0，得x2+y2+2x＝0，则圆心为（﹣1，0），半径r＝1．由2ρsin（θ﹣）+m＝0得2ρsinθcos﹣2ρcosθsin+m＝0，得直线l的直角坐标方程为x﹣+m＝0，因为直线过圆的圆心，则﹣1+m＝0，所以m＝1．（2）若m＝2，则圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为．【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离，属于中档题．23.已知实数满足．证明：．【答案】见详解.【解析】【分析】设a＝x2+2y2，b＝y2+3z2，c＝z2，由题意可得4a+b+9c＝12，再根据柯西不等式即可证明．【详解】设a＝x2+2y2，b＝y2+3z2，c＝z2，∴4（a﹣2b+6c）+9（b﹣3c）+12c＝12，即4a+b+9c＝12，∴故原不等式成立．【点睛】本题考查了不等式的证明，柯西不等式的应用，考查了转化与化归思想，推理论证能力，属于中档题24.如图，已知F是抛物线C：的焦点，过E(﹣l，0)的直线与抛物线分別交于A，B两点（点A，B在x轴的上方）．（1）设直线AF，BF的斜率分別为，，证明：；（2）若ABF的面积为4，求直线的方程．【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）设直线的方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程利用韦达定理可得.（2）S△ABF＝S△EFB﹣S△EFA＝|y1﹣y2|＝．解得m即可．【详解】（1）当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意．当直线的斜率不为0时，设直线的方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程可得得y2﹣4my+4＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝4∴.（2）S△ABF＝S△EFB﹣S△EFA＝|y1﹣y2|＝．解得m＝（负值舍去）．∴直线的方程为：．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．25.（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简．案例：考察恒等式左右两边的系数．因为右边，所以，右边的系数为，而左边的系数为，所以＝．（2）求证：．【答案】(1)；(2)见解析.【解析】【分析】（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右两边x3的系数可得；（2）根据，考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右两边xn的系数．考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右两边xn﹣1的系数，可得等式成立．【详解】（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右两边x3的系数，因为右边（1+x）3（x+1）4＝（+x+x2+x3）（x4+x3+x2+x+），所以，右边x3的系数为＝而左边x3的系数为：，所以．（2）∵，．考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右两边xn的系数．因为右边xn的系数为＝，而左边的xn的系数为．所以，同理可求得考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右两边xn﹣1的系数，因为右边（1+x）n﹣1（x+1）n＝（+x+…+xn﹣1）（xn+xn﹣1+…+），所以，右边的xn﹣1的系数为＝，而左边的xn﹣1的系数为，所以＝，﹣＝+2n+﹣＝2n+＝n（+）+＝n（+）+＝n+＝（n+1）．【点睛】本题考查了二项式定理展开式指定项的系数，属于难题．