高等工程地质学山东大学山东大学研究生专业基础课2011年9月主讲教师：薛翊国第二十二章混沌动力学混沌动力学(chaoticdynamics)“混沌”一词译自英文“Chaos”，意为“混沌”、“紊乱”、“无规律”、甚至“湍流”。“混沌”一词自古以来，国内外的
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籍中就早有使用，如我国的古代神话中认为在盘古王开天辟地之前，宇宙就是一片混沌状态。1963年Lorenz在其论文《确定性非周期流》中提出了混沌的思想(对初值的敏感性)。但作为一个科学术语，一般认为李天岩和约克（Yoke）在1975年的论文“周期3则混沌”是首次引用Chaos一词。3.1引言1973年4月的一天，在美国马里兰大学数学系，一名叫李天岩的研究生百无聊赖地走进导师约克教授的办公室，此时李的博士论文正处于胶着阶段，一时未有进展。约克给了李一个区间迭代问
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，李却开玩笑地说这个问题的解决足以送到美国《数学月刊》上发表。3.1.1“混沌”的来历两个星期后，李解决了这个区间迭代问题。如果从x=x0开始按照公式迭代n次后，回到原来的地方，但当迭代次数小于n时都不回到原来地方，则x0就叫f(x)的一个n周期点。李证明，如果区间到区间自身的函数f(x)连续，且有一个3周期点，那么，对于任何正整数n，f(x)有n周期点。(周期3则混沌)李和约克把这项研究成果写成论文真的寄到《数学月刊》去了，但很快论文便被退回来了，理由是“本刊不以论文形式发表研究成果，如果要发表，应按本刊文章规格改写”。于是，文章被扔进了办公室的角落里。过了一年(1974)，约克教授在一次会议上了解到物理学界正在为混沌现象感到头痛，他立即想到这个区间迭代问题。其实，李—约克关于有3周期点则有一切周期点的定理只是苏联一位不知名学者的沙可夫斯基定理的一个特例。沙可夫斯基定理：设f(x)是区间到区间自身的连续函数，又设在沙可夫斯基序中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期点的话，则它一定也有n周期点。3.1.2“混沌”现象一、气候中的“蝴蝶效应”混沌现象首先是1963年被美国气象学家Lorenz发现的。他为了预报天气变化，把大气动力学方程组简化为12个方程组（用牛顿定律建立了温度和压强、压强与风速等之间关系），并在计算机上进行模拟实验，因嫌参数小数点后面的位数太多，输入时很麻烦，便舍去几位，尽管舍去部分看来微不足道，可结果却大大出乎Lorenz的意料：舍去与没有舍去的模型的结果竞然大相径庭，几乎变得完全认不出来了。为了深入研究这种现象，Lorenz把12个大气动力学方程进一步简化为三个一阶的常微分方程组，并进行了深入细致地分析，得到同样的结论。这三个方程也便成了经典的混沌的例子——Lorenz模型。Lorenz通过对他所提出的方程进行研究表明：短期的天气预报可行，但长时期天气预报是不可能的。“蝴蝶效应”：在南半球某地的一只蝴蝶偶然扇动翅膀所带来的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球某地的一场龙卷风。二、雷诺实验在混沌研究中，另一类比较有代表意义的混沌现象便是湍流。雷诺（Reynold）实验:在一个可控制流速的园管中注入液体，并在园管中心轴线入口处引入一丝有色液体，以便观察流体的运动状况。(1)当管中液体流速不大时，有色液体的流动顺直光滑，层次分明→层流。(2)当流速增加到超过某个值时，有色液体丝将发生
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地振荡→湍流（紊流）。ρ-密度；a-粘滞系数；v-流速；D-园管直径三、Benard对流实验混沌是一个相当难以精确定义的概念。①对初值的敏感依赖性②确定的随机性，由确定性规律决定的系统可以有效地表现出随机行为。确定的：是因为它由内在的原因而不是外来的噪声或干扰所产生，即过程是严格确定性的。随机性：指不规则的，不能预测的行为。3.1.3混沌的定义混沌提供了把复杂的行为理解为是有目的和有结构的某种行为，而不是理解为外来的和偶然的行为的方法。确定性的方程可以产生随机行为。湍流：Navier-stokes方程Logistic映射：Lorenz模型：3.2混沌产生的数学模型对于确定性系统中的随机性，即混沌现象，也存在着一些代表性的模型，这就是一维迭代过程。它们简单得可以用一般的计算器进行分析，但又巧妙得足以抓住很大一类真实世界现象的本质。对初始条件的敏感依赖性，是混沌现象的一大特征，也是造成混沌的原因。讨论一维映射：3.2.1贝诺勒变换模型111/2xnxn-1xn=xn-1从表面上看，序列似乎有三种形态：（1）当是有理数，且用分数表示时,其分母为2的（k是正整数）时，此时。幂数例如：（2）当不是2的幂数时，则序列为周期解。是有理数，且用分数表示。其分母例如：…大于一定的数后将在三个数即之间循环（3）当是无理数时，则序列既不趋向于零，也不趋向于周期解，而是一个貌似无规则的解。为例，迭代下去有，但若一个以初值和前900多位小数都相同，后面只差一点，如：但实际情况并非如此，其实序列只能有一种形态，即混沌。所以，如用作迭代，则到第3002次有三个相差很小的初始条件，但迭代到3002次后，则相差甚远，真是“差之毫厘，失之千里”。计算结果对初始条件敏感地依赖性。再换一个和相差很小的无理数→无周期的序列设想在一个小岛上繁衍着某类昆虫，每年春末蜉出，夏末产卵后死去。下一代在第二年又重复同样的生死轮回，就这样年复一年地传种接代下去。那么，若干年后这类昆虫的繁衍状况如何呢？为了描述这种昆虫的繁衍状况，德国生物学家（Verhulst）1837年建立了这样一个理想化的生态模型：K：昆虫繁殖后代的能力L：环境容量，环境能够供养的最大昆虫数目。的饱和值X*。：t时刻的昆虫数其等于3.2.2Logistic映射如果我们将环境容量取为1个单位，也即意味着如果L=100万，那么昆虫数目应以100万为单位。上式变为：此式的精确解为：X（0）是昆虫繁衍的长期行为：当饱和值时的昆虫数。tx如果我们每年对昆虫数目测算一次，并用年的昆虫数，则原来的连续变量和t就变为离散变量则：Verhulst生成模型就演化为：表示第nLogistic映射（离散模型）f函数的这种作用在数学上称为映射。求解差分方程可采用逐步迭代法运算：即：是从初始开始连续n次用f函数作用的结果。Logistic仍然映射到该区间，，这种映射称为自身映射。自身映射：如果控制参数K值在0和4之间，的作用是把任何值函数f即Logistic映射3.2.3从倍周期分叉通向混沌(一)0
1时不动点把稳定性了。交给(二)13时，昆虫数的长时间行为不再趋于某一固定值，而是趋于一年多一年少的周期值（交替）。称为2点周期。如此众多的昆虫，绝大多数昆虫未能到产卵期使中途死亡，幸存的昆虫留下少量的卵在第三年又蜉化出则少量的昆虫有足够的食物和良好的环境空间，绝大多数昆虫都能活到夏末的产卵期，留下大量的卵可供第二年春季蜉化出众多的昆虫数线性项（加快繁殖）；非线性项（限制繁殖）这种交替变化来源于线性项和非线性项之间的竞争。①如果某一年的昆虫数处于较少的。状态，②当昆虫数真正达到的新一代。时，岛上食物不再能供应说明经过两次映射（两个f）又回到一个复合函数：显然，满足上述条件，即（1），如果定义（2）2点周期：不动点稳定的条件：据此可求出稳定时K的取值范围。K2K1当时，4点周期将取代2点周期即：根据4点周期稳定的条件，可求出4点周期稳定的K的取值范围：用计算机求解这两个高次代数方程，得4周期点稳定条件：当时，8点周期→16点周期倍周期分叉：随着控制参数K的不断增大，稳定不动点的个数从一分为二，二分为四，四分为八，……，呈周期加倍的分叉现象称之。当时，16点周期→32点周期当时，4点周期→8点周期K0K1K2K3类似的分支可以不断地继续下去，每到分支点Kn会出现稳定的2n点周期。各相邻分支点的间距随着n的增大逐渐减小。当n比较大的时候，稍微改变一下控制参数K的值，周期加倍会很快发生，直到无穷长的周期，即非周期。当K大于，昆虫数的长时间行为不再稳定到任何不动点或周期值上，它可以从小到大表现得很随机，这时我们说昆虫的演化进入了混沌状态。13.5699(1)有序：混沌的产生条件是在远离平衡状态，在混沌的无序中还包含着更深层次的有序性；(2)无序：混沌是一种有结构的无序，表面上看起来是杂乱无规则的混沌是有其内在规律性的。3.3混沌中的规律性混沌的产生经历了一个从无序→有序→无序的过程，混沌与简单的无序（平衡态的均匀无序）是有本质差别的3.3.1各态历经当演化处于混沌区后，由于它是无穷周期点，随着时间的演化，系统的状态几乎可分布于[0，1]的整个区间→各态历经。两点规律：①当K从4减小时，昆虫数历经的区域逐步在缩小；②在混沌带内的某些部位，当K减小到原来连成一片的混沌带一分为二，到……，这种行为与倍周期分支行为类似，所以称时，混沌带又二分为四，为混沌带倍周期逆分叉。3.3.2混沌带倍周期逆分叉混沌区并不完全是无序的，它有着复杂的结构。通过对混沌区的仔细观察可以发现，在混沌区内还存在着一些大大小小的透明窗口，在这些窗口内，昆虫数的演化是周期性的。在这些窗口，最大的周期窗口是周期3，它发生于3.3.3周期窗口3.3.4阵发混沌当，时出现的3个不稳定不动点之间形成了三处狭窄“走廊”。“走廊中的迭代很象在不动点附近徘徊，近乎周期运动。在不同走廊之间的跳跃，近乎混沌。因此，在整个过程中随机地夹杂了一些混沌阶段。n（2n周期点）分支点Kn01134.44950953923.4494877434.75132466733.5440903594.65634931543.5644072664.66824174953.5687594204.66874135163.5696916104.66914434873.5698912594.669059869┇┇┇∞3.5699456724.6692016093.4Feigenbaum常数3.4.1倍周期分叉序列的收敛速率设：随着n的增大，趋于一常数，在一个确切的无理数上：时，它固定在……Logistic映射指数映射：正弦映射：在这两个映射中观察到发生分叉的参数K都以为收敛速率呈几何级数收敛。研究结果表明，与Logistic映射的细节无关，凡是满足如下条件的函数：函数有一个“通有的”的极大值，即一个非零二阶导数的极大值，这样的函数称为单峰函数。（1）对所有通用的单峰映射是普通的；(2)一旦在一个耗散动力学系统中发现倍周期分叉，那就应该发现该普通常数。(3)Feigenbaum常数的发现揭示了一条普适于从倍周期分支到混沌的自然法则。单峰映射(必要条件)倍周期分叉→混沌(充分条件)3.4Feigenbaum常数3.4.2标度变换因子定义：（相似比）……也是一个普遍常数，称为Feigenbaum第二常数，也称为标度变换因子。附注：①也是一个普通常数，其适用范围与一致，即一切从倍周期分叉混沌的过程。②实际上是倍周期分叉过程中所有结构的自相似比，与具体结构无关。③混沌且有无穷层次的嵌套结构。在这大大小小的复杂的自相似图案中，标度变换是普通的。（自相似）④混沌行为表现出无序中包含着有序，有序中又包含着无序，如果提高观察的分辨率，这样的特征还会在更小的尺度上重复出现，所以说混沌具有更复杂的结构。混沌现象与随机现象的根本区别Lyapunov指数：指相空间中邻近轨道发散或收敛的平均指数率，其反映了系统性态对初值的敏感程度。3.5Lyapunov指数与奇怪吸引子对于m维非线性微分方程组(m维相空间)：定义其lyapunov指数为：由于的λ，因此共有m个λ，它们按从大到小的次序排列为有m个分量，而对每个分量都可求出一个相应这m个实数称为lyapunov指数谱。Lyapunov指数的物理意义：①如果，被研究轨线周围的其他轨线会沿着的方向以指数衰减的方式向它靠近②如果，被研究轨线周围的其他轨线会沿着的方向以指数增长的方式向它远离③时，既不衰减也不增长，而是沿着的切线方向运动。因此，根据的正、负或零来判断吸引子的类型。Strangeatractor杜芬方程的奇怪吸引子耗散系统中相空间一般要发生收缩。lyapunov指数就代表着相空间相体积的收缩速率。以三维空间为例，把上述3个方程两边相乘后，得初始时间相体积如果收缩，而lyapunov指数之和就是相体积的收缩速率。，则相体积比原来减小，即发生混沌现象产生于不可积系统,由于方程解的长期行为对初值十分敏感,出现了貌似随机的行为.在同一时期,非线性研究中也揭示了与之相反的另一极端现象,发现了孤立波(或孤立子)的存在.它产生于一批非线性完全可积系统,它们的解具有规则性和出奇的稳定性,说明非线性还在产生有序性方面有重要作用.谢谢！
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