弧弦圆心角 (3)

CAMBO.D复习回顾垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。∵①直线CD过圆心O②CD⊥AB∴③AM=BM④AC=BC⑤AD=BD数学语言：弧、弦、圆心角、弦心距课题湖南省郴州市苏仙区荷叶坪学校曹四清复习1、圆的对称性有哪几方面？O轴对称性.OBA180°所以圆是中心对称图形。圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合。　　圆是特殊的中心对称图形，绕对称中心旋转任意角度都与原来重合。圆的旋转不变性BAA/OB/旋转对称·圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA∠AOB为圆心角圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB。⌒1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。①②③④任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弧弦·OBA疑问：这三个量之间会有什么关系呢？根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点A与A′重合，B与B′重合．·OAB探究·OABA′B′A′B′二、∴　　　　　重合，AB与A′B′重合．如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？·OABA1·O1B1·如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB=∠A1O1B1，请问上述结论还成立吗？为什么?∵∠AOB=∠A1OB1∴AB=A1B1，AB=A1B1.⌒⌒OAB下面的说法正确吗?为什么?如图,因为根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理可知：⌒⌒探究OαABA′B′α将∠AOB绕O旋转到∠A/OB/，你能发现哪些等量关系？圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理●OAB┓DA′B′D′┏由条件:①∠AOB=∠A′O′B′③AB=A′B′④OD=O′D′可推出②AB=A′B′⌒　在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.思考：1、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？2、在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？2.在同圆(或等圆)中，如果弧相等,那么所对的圆心角_____、所对的弦____.相等相等结论:相等1.在同圆(或等圆)中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等、所对的弦相等3.在同圆(或等圆)中，如果弦相等,那么所对的圆心角_____、所对的弧_____.相等以上三句话如没有在同圆或等圆中，这个结论还会成立吗？在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.延伸(1)圆心角(2)弧(3)弦(4)弦心距圆心角定理整体理解：知一得三OαABA′B′α同圆或等圆如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果，那么____________，_____________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．·CABDEFOAB=CDAB=CD四、迁移运用⌒⌒⌒⌒⌒⌒AB=CDAB=CDAB=CD你会做吗?解:∵AC=BD（已知）∴∴AB=CD∴例1、如图，在⊙O中AC=BD，,求∠2的度数。∠1=∠2=45°（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）AC-BC=BD-BC（等式的性质）证明：∵AB=AC∴AB=AC，△ABC是等腰三角形　　又∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠AOC例1如图1，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,　　　　求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。⌒⌒⌒⌒OBCA1.判断下列说法是否正确：(1)相等的圆心角所对的弧相等。（）(2)相等的弧所对的弦相等。（）×√2.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，求∠AOE的度数练一练：（1）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=350，求∠AOE的度数。⌒ABODECABCDO⌒⌒（2）如图，在⊙O中，AC=BD，∠COD=400，求∠AOB的度数。⌒⌒七、思考如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC,求证AB=CD⌒⌒3、如图6，AD=BC，那么比较AB与CD的大小.ODCAB⌒⌒1°弧n°1°n°弧∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.则每一份这样的弧叫做1º的弧.这样,1º的圆心角对着1º的弧,1º的弧对着1º的圆心角.nº的圆心角对着nº的弧,nº的弧对着nº的圆心角.性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.（2）所对的圆心角和所对的圆心角相等在两个圆中，分别有,若的度数和相等，则有（1）和相等判断例2：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为4cm，求AB的长OABCOABCD　如图，AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径.求证：AB=BC=CD=DA;AB=BC=CD=DA.⌒⌒⌒⌒∴AB=BC=CD=DA⌒⌒⌒⌒证明:∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90ºAB=BC=CD=DA(圆心角定理)点此继续知识延伸练习３、⊙O1和⊙O2是等圆，AD‖O1O2，下列正确的是()　　AAB=CD且AB≠CD　　BAB=CD且AB≠CD　　CAB=CD且AB=CD　　D以上都不对O1O2ABCD⌒⌒⌒⌒⌒⌒4、如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B.（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；（2）求证：AC=BD⌒⌒EFOABCD例题解析例3已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？解：连结OM、ON，∵M、N分别为弦AB、CD的中点，∴∠AMO=∠CNO=90°∵AB=CD∴OM=ON∴∠OMN=∠CNM∴∠AMN=∠CNM如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC⌒如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,求证：AC=AE⌒⌒已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO和BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则弧AC和弧BD有什么关系？为什么？七.更上一层楼3.已知AB是⊙O的直径,M,N是AO,BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于点C,D.求证:AC=BDABCDMNOEFHG(3)下列结论错误的有()A.AH=BHB.EH=HDC.EM=DND.AE=EH(2)求证：AD=BC1.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°.求∠A度数.︵︵2.如图，已知AD＝BC，试说明AB=CD︵︵3.如图，点O在∠CAE的平分线上，以O为圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C和D、E。求证:(1)BC=DE(2)AB=ADOABCDEFG1.在⊙O中，已知AB=2CD，则AB=2CD吗？2.如图，AB是⊙O上的一点，OD是半径，且OD//AC.求证：CD=BDABDCO4.如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且（1）求证：AC=AE（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）求证：EF平分∠CEN。BC=DE5、如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O上，连接OA、OB、OC，延长AO分别交BC于点P，交BC于点D，连接BD、CD.（1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；（2）若⊙O的半径为r，求△ABC的边长⌒BCAOPD如图，⊙O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、F，使BE=DF。求证：EF的垂直平分线必经过点O。OABCDEFMN课后思考题1、三个元素：圆心角、弦、弧2、三个相等关系：OαABA1B1α(1)圆心角相等(2)弧相等(3)弦相等知一得二八、作业1、教材87页　　　　2，3,　2、完成练习册相应作业。