4EM1.如图：BE、CF相交于点D,DE丄AC,足分别为E、F,且DE=DF。求证：AB=ACo二拨：挖掘并合理运用隐含条件：（1）隐含相等的线段:d格式-可编辑-感谢下载支持经典例题透析曲类型一：三角形全等的应用DF丄AB,垂巳思路点公共边、线段的和（或差）；（2）隐含相等的角：公共角、对顶角、角的和或差。解析：TDE丄AC,DF丄ABAZDFB=ZDEC=90°（垂直的定义）在厶BDF和厶CDE中'ZDFB=ZDEC*DE=DF、、_ZFDB=ZEDC（对顶角相等）.•.△BDF9ACDE（ASA）・•・BD=CD（全等三角形对应边相等）又DE=DF・•・BE=CF在厶ABE和厶ACF中{ZBAE=ZCAFZAEB=ZAFCBE=CF.•.△ABE9AACF（AAS）・•・AB=AC（全等三角形对应边相等）
总结
初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf
升华：复杂题目都是由简单题目组合而成，所以要特别注意简单典型题目的解题思想以及图形特点。举一反三：【变式1】如图：BE丄AC,CF丄AB,BM=AC,CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM丄AN。解析：VBE丄AC,CF丄AB・\ZAEB=ZAFC=90°（垂直的定义）AZ1+ZBAC=Z2+ZBAC=90°（直角三角形的两个锐角互余）AZ1=Z2在厶ABM和厶NCA中.•.△ABM9ANCA（SAS）・•・AM=AN,Z3=ZN（全等三角形对应边、对应角相等）在RtAAFN中：Z4+ZN=90°（直角三角形两个锐角互余）.•・Z3+Z4=90°・•・AM丄AN（垂直的定义）【变式2】如图：ZBAC=90°,CE丄BE,AB=AC,ZABE=ZCBE,求证：BD=2ECo解析：延长BA、CE相交于点Fword格式-可编辑-感谢下载支持word格式-可编辑-感谢下载支持TCE丄BE.•・ZBEF=ZBEC=90°（垂直的定义）在厶BEC和ABEF中ZABE=ZCBEBE=BEZBEF=ZBEC/.△BEC^ABEF（ASA）・•・CE=EF（全等三角形对应边相等）即FC=2CEVCA丄BA?.ZBAC=ZFAC=90°（垂直的定义）在RtAABD和RtABEF中ZABD+ZADB=ZABD+ZF=90。（直角三角形两个锐角互余）AZADB=ZF在厶ABD和厶ACF中ZADB=ZFZBAD=ZCAFAB=AC.•.△ABD9AACF（AAS）・•・BD=FC（全等三角形对应边相等）.•・BD=2EC类型二：构造全等三角形—2.如图，AABC与厶ABD中，AD与BC相交于O点，Z1=Z2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明。国你添加的条件是：。思路点拨：此题属于开放型题目，此类题目一般包括：条件开放型、结论开放型、综合开放型。此类题目的答案一般不唯一。本题答案就不唯一，若按照以下方式之一来添加条件：①BC=AD，②ZC=ZD,③ZCAD=ZDBC，④ZCAB=ZDBA，都可得厶CAB^^DBA，从而有AC=BD。答案：你添加的条件是：BC=AD。证明：在△CAB与△DBA中{Z1=Z2BC=ADAB=AB所以，△CAB^ADBA（SAS）从而有AC=BD（全等三角形的对应边相等）总结升华：本题考查了全等三角形的判定和性质，要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件，有一定的开放性和思考性。举一反三:word格式-可编辑-感谢下载支持【变式1】如图，已知AB=AD,BC=CD,AC、BD相交于E。由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中三个正确的结论。（不要添加字母和辅助线，不要求证明）结论1：结论2：结论3：解析：由已知条件不难得到△ABC9AADC、AABE9AADE、ABEC9ADEC，同时有ZDAE=ZBAE>ZDCA=ZBCA>ZADC=ZABC,AC平分ZDAB与ZDCB且垂直平分DB等。以上是解决本题的关键所在，也都可以作为最后结论。【变式2】如图，点E在AB上,AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。所添条件。你得到的一对全等三角形是厶。解析：在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一组公共边。因此只要添加以下条件之一：①CE=DE，②CB=DB,③ZCAE=ZDAE，都可以直接根据SSS或SAS证得△CAB9ADAB或ACAE^△DAE；并且在此基础上又可以进一步得到△CEB^^DEBo类型三：角平分线的性质与判定''兔：3.已知：如图所示，CD丄AB于点D,BE丄AC于点E,BE、CD交于点O,且AO平分ZBAC，求证：OB=OC.思路点拨：由CD丄AB,BE丄AC,可知ZADC=ZAEB=90°,又由OA平分ZBAC可知，OE=OD,再利用“角边角”证明出△OBD9AOCE,从而得到OB=OC.证明：因为CD丄AB,BE丄AC,则ZADC=ZAEB=90°.又因为AO平分ZBAC,所以OD=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）.在厶BOD和厶COE中，^BDO==90°（:己知），*OD二O蛾己证），对顶角相等），word格式-可编辑-感谢下载支持所以RtABOD^RtACOE（ASA）.所以OB=OC（全等三角形对应边相等）.总结升华：灵活运用角平分线的性质和判定.举一反三：【变式】如图，在△曲。中，,AD平分空AE,駅=沁,屈=5血，那么D点到直线占占的距离是cm.答案：3cm类型四：三角形全等和角平分线的综合应用（常见辅助线的添法）庄：4.如图所示，在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=》BD，求证：BD是ZABC的平分线二.A思路点拨：如果BD是ZABC的角平分线，则应有ZABD=ZCBD，根据已知条件，很难找到这两个角相等的直接条件，但可以延长AE和BC，令其交于一点，先证出全等三角形，再利用全等三角形对应角相等解题.证明：延长AE和BC，交于点F，因为AC丄BC，BE丄AE，ZADE=ZBDC（对顶角相等），所以ZEAD+ZADE=ZCBD+ZBDC.即ZEAD=ZCBD.在Rt^ACF和Rt^BCD中.「厶4防二/占UD二9CT（己知），
AC,ZBAC的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D,过D作DE丄AB于E,作DF丄AC于F,求证：BE=CF.分析：由已知条件不能直接证明BE=CF,则需连接DB和DC,证明△DEB9ADFC.证明：连接BD、CD,因为AD是ZA的平分线,DE丄AB,DF丄AC,所以DE=DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）.因为MD是BC的垂直平分线，所以DB=DC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）.所以RtADEB^RtADFC（HL）.所以BE=CF（全等三角形对应边相等）.总结升华：线段垂直平分线和角平分线性质可直接用于证明的过程中.【变式3】如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，Z1=Z2,求证：AB=AC.分析：如果AB=AC，则有ZB=ZC，所以作DE丄AB于E，DF丄AC于F，得到RtABDE^RtACDF,则有ZB=ZC.证明：过D作DE丄AB于E，DF丄AC于F,因为Z1=Z2，DE丄AB，DF丄AC，所以DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）.在Rt^BDE和Rt^CDF中，DE=D月（己证工边上的中线』则ED=CD,所以Rt^BDE^Rt^CDF（HL）.所以ZB=ZC（全等三角形对应角相等）.则AB=AC（等角对等边）.总结升华：利用角平分线性质找全等三角形是关键•类型五：探究型题5.我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、AA1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，ZC=ZC1o求证：△ABC9^A1B1C1o（请你将下列证明过程补充完整）（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。word格式-可编辑-感谢下载支持word格式-可编辑-感谢下载支持思路点拨：虽然已有三个条件，然而它们构不成三角形全等的条件。但至少提供了一边一角对应相等，另一条件只能通过作辅助线来得到。解析：(1)分别过点B，B1作BD丄CA于D,B]D[丄C]A]于D]则ZBDC=ZB1D1C1=90°VBC=B1C1，ZC=ZC1/.△BCD^^B1C1D1ABD=B1D1(2)由条件AB=A1B1，ZADB=ZA1D1B1=90。易得△ADB^^A1D1B1，因此ZA=ZA1，又由ZC=ZC1，BC=B1C1从而得到厶ABC^^A1B1C1o(2)归纳：两边及其中一边的对角分别对应相等的两个锐角三角形(或直角三角形或钝角三角形)是全等的。总结升华：边边角问题是全等三角形判定中的难点，也是易出错的内容，要涉及三角形形状的分类。本题构思新颖，创造性地设计了阅读情境，跨越障碍，合情推理并总结概括，考查阅读理解、类比、概括等综合能力，同时也培养灵活、精细、严谨的数学思维品质。举一反三：【变式1】两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD,解析：△EMC是等腰直角三角形。由已知条件可以得到:DE=AC,ZDAE+ZBAC=90°ZDAB=90。。连接AM。由DM=MB可知MA=DM,ZMDA=ZMAB=45°从而ZMDE=ZMAC=105°即厶EDM9ACAM。因此EM=MC，ZDME=ZAMC又易得ZEMC=90°所以△EMC是等腰直角三角形。【变式2】已知RtAABC中，ZB=90°根据要求作图(尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)作ZBAC的平分线AD交BC于D；作线段AD的垂直平分线交AB于E,交AC于F,垂足为H；连接EDo在(1)的基础上写出一对全等三角形：△并加以证明。答案：（1）按照要求用尺规作ZBAC的平分线AD、作线段AD的垂直平分线，并连接相关线段。（2）由AD平分ZBAC,可以得到ZBAD=ZDAC；由EF垂直平分线段AD,可以得到ZEHA=ZFHA=ZEHD=90°,EA=ED,从而有ZEAD=ZEDA=ZFAH，再加上公共边，从而有△AEH9AAFH9ADEH。以上三组中任选一组即可。类型六：利用三角形全等知识解决实际问题一6.要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=・BC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC^^△ABC,•得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC^^ABC的理由是（）国AIA.边角边公理B.角边角公理；C.边边边公理D.斜边直角边公理思路点拨：把实际问题转化成数学语言或数学符号，然后用学过的数学知识进行解答。答案：B总结升华：解决本类题的关键是相关知识的熟练掌握和转化能力的运用。举一反三：【变式】如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得.•你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？答案：要测量A、B间的距离，可用如下方法：（1）过点B作AB的垂线BF,在BF上取两点C、D,使CD=BC，再定出BF的垂线DE,使A、word格式-可编辑-感谢下载支持C、E在一条直线上，根据“角边角公理”可知△EDC9AABC.因此：DE=BA.•即测出DE的长就是A、B之间的距离.（如图甲）（2）从点B出发沿湖岸画一条射线BF,在BF上截取BC=CD,过点D作DE〃AB,使A、•C、E在同一直线上，这时△EDC^^ABC，则DE=BA.即DE的长就是A、B间的距离.（•如图乙）
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