【备战】2020高考数学 应考能力大提升3.3

PAGE备战2020数学应考能力大提升典型例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 例1已知 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2))).(1)求f(x)的解析式；(2)已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且f(α)＝eq\f(3,5)，f(β)＝eq\f(12,13)，求f(α－β)的值．解：(1)∵f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1，∴A＝1.∵f(x)的图象经过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝eq\f(1,2).∵0＜φ＜π⇒φ＝eq\f(π,2)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx.(2)∵f(x)＝cosx，∴f(α)＝cosα＝eq\f(3,5)，f(β)＝cosβ＝eq\f(12,13)，已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinα＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，sinβ＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13).故f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65).例2已知函数f(x)＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋cos2xcosφ－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))(0<φ<π)，其图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2))).(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋cos2xcosφ－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))(0<φ<π)，所以f(x)＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋eq\f(1＋cos2x,2)cosφ－eq\f(1,2)cosφ＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋eq\f(1,2)cos2xcosφ＝eq\f(1,2)(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝eq\f(1,2)cos(2x－φ)，又函数图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))，所以eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)－φ))，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－φ))＝1，又0<φ<π，所以φ＝eq\f(π,3).(2)由(1)知f(x)＝eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))，因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以4x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，因此4x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，故－eq\f(1,2)≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))≤1.所以y＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最大值和最小值分别为eq\f(1,2)和－eq\f(1,4).例3已知函数f(x)＝sin2ωx＋eq\r(3)sinωx·sin(ωx＋eq\f(π,2))＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq\f(π,6).(1)求ω；(2)若将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．解：(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(3,2)＝sin(2ωx＋eq\f(π,6))＋eq\f(3,2).令2ωx＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，将x＝eq\f(π,6)代入可得：ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,6))＋eq\f(3,2).经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(eq\f(1,2)x－eq\f(π,6))＋eq\f(3,2).当x＝4kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z时，函数取得最大值eq\f(5,2).令2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3,2)π，即x∈[4kπ＋eq\f(4π,3)，4kπ＋eq\f(10,3)π]，k∈Z为函数的单调递减区间．创新题型1．设函数f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f(eq\f(π,2))＝f(eq\f(π,4))．(Ⅰ)求函数f(x)的值域；(Ⅱ)设f(x)图象上过任意一点P的切线斜率为k，证明：|k|≤2eq\r(2).(文科选做)2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为eq\f(π,2)，且图象上一个最低点为M(eq\f(2π,3)，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[eq\f(π,12)，eq\f(π,2)]时，求f(x)的值域．3.设函数f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f(eq\f(π,2))＝f(eq\f(π,4))．(Ⅰ)求函数f(x)的值域；(Ⅱ)设f(x)图象上过任意一点P的切线斜率为k，证明：|k|≤2eq\r(2).(文科选做)4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<eq\f(π,2))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为eq\f(π,2)，且图象上一个最低点为M(eq\f(2π,3)，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[eq\f(π,12)，eq\f(π,2)]时，求f(x)的值域． 参考答案 有机化学期末考试题统计学b答案数学分析3答案计算机必考试卷02新大家的日语参考答案 1．【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x＝sin2x＋eq\f(a－1,2)(1－cos2x)＋1.∴f(eq\f(π,2))＝a，f(eq\f(π,4))＝eq\f(a＋3,2).由f(eq\f(π,2))＝f(eq\f(π,4))，有a＝eq\f(a＋3,2)，∴a＝3.∴f(x)＝sin2x－cos2x＋2＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))＋2.∴函数f(x)的值域为[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]．(Ⅱ)设P(x，y)是f(x)图象上任意一点，则k＝f′(x)＝2eq\r(2)cos(2x－eq\f(π,4))．∴|k|＝|f′(x)|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)cos(2x－\f(π,4))))≤|2eq\r(2)|＝2eq\r(2).2.【解析】(1)由最低点为M(eq\f(2π,3)，－2)得A＝2.在x轴上相邻两个交点之间的距离为eq\f(π,2)得eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，即T＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由点M(eq\f(2π,3)，－2)在函数图象上得2sin(2×eq\f(2π,3)＋φ)＝－2，即sin(eq\f(4π,3)＋φ)＝－1，故eq\f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝2kπ－eq\f(11π,6).又φ∈(0，eq\f(π,2))，∴φ＝eq\f(π,6)，故f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．(2)∵x∈[eq\f(π,12)，eq\f(π,2)]，∴2x＋eq\f(π,6)∈[eq\f(π,3)，eq\f(7π,6)]，当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,6)时，f(x)2；当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6)，即x＝eq\f(π,2)时，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域为[－1,2]．3.【解析】(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x＝sin2x＋eq\f(a－1,2)(1－cos2x)＋1.∴f(eq\f(π,2))＝a，f(eq\f(π,4))＝eq\f(a＋3,2).由f(eq\f(π,2))＝f(eq\f(π,4))，有a＝eq\f(a＋3,2)，∴a＝3.∴f(x)＝sin2x－cos2x＋2＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))＋2.∴函数f(x)的值域为[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]．(Ⅱ)设P(x，y)是f(x)图象上任意一点，则k＝f′(x)＝2eq\r(2)cos(2x－eq\f(π,4))．∴|k|＝|f′(x)|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)cos(2x－\f(π,4))))≤|2eq\r(2)|＝2eq\r(2).