曲线积分及其与路径无关问题

曲线积分与路径无关问题第一型曲线积分对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L:AB,其线密度为(x,y)求弧AB的质量m。mLf(x，y)ds,若LiAB,L2BA，贝Uf(x,y)ds=f(x,y)ds，即对弧长的曲线积分L1L2与积分弧段有关，但与积分弧段的方向无关。(3)对弧长的曲线积分的计算x设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为y(t)(t)，(t)，其中⑴、(t)在,上具有一阶连续导数，且'2(t)'2(t)0，则曲线积分Lf(x,y)ds存在，且lf(x,y)ds=f(t),i'2'2(t)(t)(t)dt()特别，当f(x,y)1时，Lf(x,y)ds 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示曲线弧L的弧长当曲线弧L的方程为yg(x)(axb)，g(x)在a,b上有连续的导数，则Lf(x,y)ds=dfx,g(x)aJg'2(x)dx；把线弧L的方程为yf(x)化作参数方程xx/、，(axb)，yg(x)d.f(x,y)ds=cfh(y),y.1h'2(y)dy(cyd)第二型曲线积分第二型曲线积分的模型：设有一平面力场F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j,其中P(x,y),Q(x,y)为连续函数，一质点在此力场的力作用下，由点A沿光滑曲线L运动到点B，求力场的力所作的功W⑵设L为有向曲线弧，L为与L方向相反的有向曲线弧，贝ULP(x,y)dxQ(x,y)dyLP(x,y)dxQ(x,y)dy即第二型曲线积分方向无关设xoy平面上的有向曲线L的参数方程为％(t)，当参数t单调地由变y(t)到时，曲线的点由起点A运动到终点B,(t)、(t)在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且'2(t)'2(t)0，函数P(x,y)、Q(x,y)在L上连续，贝曲线积分LP(x,y)dxQ(x,y)dy存在，且LP(x,y)dxQ(x,y)dy=P(t),(t)'(t)Q(t),(t)'(t)dt这里的是曲线L的起点A所对应的参数值，是曲线L的终点B所对应的参数值，并不要求。若曲线L的方程为yf(x),xa对应于L的起点，xb应于L的终点，则b'P(x,y)dxQ(x,y)dy=Px,f(x)Qx,f(x)f'(x)dx；La若曲线L的方程为xg(y),yc对应于L的起点，yd应于L的终点，贝d'LP(x,y)dxQ(x,y)dy=cPg(y),yg'(y)Qg(y),ydy。同样，以上并不要求ab，cd。公式可推广到空间曲线C上对坐标的曲线积分的情形，若空间曲线L的参数方程为x(t),y(t),z(t)，则CP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz=P(t),(t),(t)'(t)Q(t),(t),(t)'(t)R(t),(t),(t)'(t)dt这里下限为曲线C的起点所对应的参数值，上限为曲线C的终点所对应的参数例1计算Lxydxydy，其中⑴L为抛物线y2x上从点A(1,1)到点B(1,1)的一段弧。⑵L为从A到点B的直线段.解法1(1)由y2x知y不是x的单值函数，因此不能运用公式(2)，但可运用公式(3)，这里xy2，y从1变到1，于是122'144Lxydxydy=1yy(y)ydy=4oydy=5。解法2当把曲线L分成AO与OB两部分时，在每一部分上y都是x的单值函数。在AO上yx，x由1变到0;在OB上,yx，x由0变到1。于是lxydxydy=xydxydyobxydxydy=1x(x)(.x)(.x)dx+0x.xx(.x)dxTOC\o"1-5"\h\z330211214=1(x2)dx0(x2)dx=12025直线AB的方程为x1,dx0,y从1到1,于是lxydx1ydy=ydy=01从这个例子可以看出，对坐标的曲线积分沿不同的路径，曲线积分不一定相等格林公式及其应用格林公式：设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则QP()dxdyPdxQdydxyL其中L是D的正向边界曲线。在公式(1)中取Py,Qx，可得2dxdylxdyydx，D上式左端为闭区域D的面积A的两倍，因此计算有界闭区域的D面积的公式为Axdyydx。2L例2计算星形线xacos31,yasin3t所围图形的面积.解由公式(2)得Jxdy2Lydx3232[acost3asintcostasint3acost(sint)]dt=2sin2tcos2tdt=3a2208例3在过点O(0,0)和A(n,0)的曲线族yasinx中，求一条曲线C,使沿该曲线从O到A的线积分C(1y3)dx(2xy)dy的值最小。C解本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。令c°:y0,x0，即AO直线段。3C(1y)dx(2xy)dyCc(1y)dx(2xc0y)dyC(1C03y)dx(2xy)dy/亠亠2)dxdy0亠3asinx-2、・43(23y(10)dx0dx0(23y)dya4a。D003用一元函数极值的MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714019627552_0得a1时达到最小值8—。34.平面曲线积分与路径无关的条件从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；定义：(曲线积分与路径无关问题)设D是xoy平面上的一个开区域，P(x,y)以及Q(x,y)在DD内任意两点A与B，以及D内从点A到点B的任意两条曲线L,、L2，恒有PdxQdy=PdxQdy，则称曲线积分PdxQdy在D内与1L2路径无关定理：以下条件等价在区域D内曲线积分与路径无关的充分；D内沿任一闭曲线的积分为零；设开区域D是一个单连通域，函数P(x,y)以及Q(x,y)在D内具有一阶连pQ续偏导数且一—在D内恒成立；yxPdxQdy为全微分.例3计算l(1xe2y)dx(x2e2yy2)dy,其中L是从点0(0,0)经圆周(x2)2y24上半部到点A(4,0)的弧段。解直接计算曲线积分比较难，先判断是否与积分路径无关•这里P(x,y)1xe2y,Q(x,y)x2e2yy2,TOC\o"1-5"\h\zQp有2xe2y=,且P(x,y)与Q(x,y)在全平面上有一阶连续偏导数•xy因此这个曲线积分与路径无关•为便于计算，取直线段0A2y22y22y22y2(1xe)dx(xey)dy=(1xe)dx(xey)dyL^04=0(1x)dx12例4计算I型」賈其中L为：Lxy任一简单闭曲线，该闭曲线包围的区域不含有原点；以原点为圆心的任一圆周.解这里P(x,y)2y2,Q(x,y)xy22Qyx22、2x(xy)P，且P(x,y)与Q(x,y)在不含原点的任意一个区域内具有一x22'xy阶连续偏导数.（1）这个曲线积分与路径无关，所以IxdyLx2ydx2y0.xrcosL的参数方程为,(02),yrsin则IxdyL2ydx22r20(cos2sin2)d2Lxyr例5设函数（y）具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分、（y）dx即的值恒为同一常数.L2xy（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有(y)dx2xydy~_242xy（II）求函数（y）的表达式•【分析】证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求（y）的表达式，显然应用积分与路径无关即可【详解】（I）li如图，将C分解为：Cli12，另作一条曲线13围绕原点且与C相接，则(y)dx2xydyC_24C2xy(ii)设P(y)2x2y4,Q，P,Q在单连通区域x0内具有一阶连续偏导数,2xy由(i)知,曲线积分―2严『在该区域内与路径无关，故当x0时，总有L2xy2y(2x2y4)24、2(2xy)254x・2xy4xy2y①(2x2y4)2(y)(2x2y4)4(y)y324\2(2xy)2x2(y)(y)y44(y)y3②24、2(2xy)比较①、②两式的右端，得(y)2y,(y)y44(y)y32y5.(y)dx2xydy(y)dx2xydyill3^TV12132TV由③得所以c0,从而(y)y2.【评注】本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形5.二元函数的全微分求法定义：若函数u(x,y)使du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy,则称函数u(x,y)是表达式P(x,y)dxQ(x,y)dy的一个原函数。判别法：设开区域D是一个单连通域，函数P(x,y)以及Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，则在D内P(x,y)dxQ(x,y)dy存在原函数的充分必要条件是等pQ式一—在D内恒成立。yxxy求法：u(x,y)P(x,yo)dxQ(x,y)dyx0y0xyu(x,y)P(x,y)dxQ(x°,y)dyX0y0一般取(Xo,y。)(0,0).例5验证在整个xoy在平面内(x2y)dx(2xy)dy是存在原函数，并求出一个原函数。解这里P(x,y)x2y,Q(x,y)2xy,TOC\o"1-5"\h\zPQ且一2——在整个xoy在平面内恒成立，因此在整个xoy在平面内yx(x2y)dx(2xy)dy存在原函数.(x,y)u(x,y)(°,。)(x2y)dx(2xy)dyxy122=0(x2y)dx0(20y)dy=?(xy)2xy.对于常微分方程(x2y)dx(2xy)dy0,由上面可知这个微分方程的通解为1(x2y2)2xyC(C为任意常数).535(y)代入④得2y4cy2y,