最新数列求和7种方法(方法全,例子多)资料

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法:利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ，又是学习高等数学的基础.在 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：Sn=n⑻an）二na1•吃222、g等比数列求和公式：Sn二a1（1〜qn）I1-q(q=1)a1anq1-q(q=1)3、nSn八kk珀」n(n1)24、Sn21kn(n1)(2n1)65、Sn八k3In(n1)］2k±2_1log23［例1］已知log3x，求xx2x^xn1x=—2由等比数列求和公式得：：F'Xn(利用常用公式)解：由log3Xlog3x=—log32二log2311x(1-xn)=2(1-歹)=1_丄1-x彳12n1-2［例2］设Sn=1+2+3+…+n,n€N，求f(n)Sn(n'32)Sn1的最大值.解:由等差数列求和公式得Sn=?n(n1),Sn21=-(n1)(n2)2(利用常用公式)Snf(n八(n32)Sn1—n234n641_164/-82n34(n——)50nJn1<——50屮话一3，即n=8时，f(n)J8max5041-!题1.等比数列的前n项和Sn=2n-1,则I十X十9题2.若12+22+…+(n_1)2=an3+bn2+cn，贝ya=2«3-3^+n11.11*7解：原式=】r-答案：一一二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛an•bn｝的前n项和，其中｛an｝、｛bn｝分别是等差数列和等比数列•［例3］求和：Sn-13x5x27x3(2n-1)xn'①解：由题可知，｛(2n-1)xn'｝的通项是等差数列｛2n—1｝的通项与等比数列｛xn，｝的通项之积设xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn②(设制错位)（错位相减）①一②得(1—x)Sn=12x2x22x32x42xnJ-(2n—1)xn再利用等比数列的求和公式得：（1_x）Sn-12x•匕上（2n_1）xn1-x(1-x)2246［例4］求数列一，一22算•前n项的和.解:由题可知,设Sn2''2n｛歹｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛46+——+——+222346~3尹f｝的通项之积练习题答案:练习题答案:2n2n…二2n1222n4nnr22222n_2*122212①一②得(1—■—)Sn二一22222=2~22^2Sn=4N-1，求数列｛an｝的前n项和Sn.=n-2"-1*2°-21—2H=w2B-2"+11352—13’可內的前n项和为（设制错位）（错位相减）(2n—1)xn*-(2n+1)xn+(1+x)Sn、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a「an）.［例5］求证：C03C：5C；(2n1)C：=(n1)2n证明：设Sn二C03Cn5C2-(2n-1)C：.①把①式右边倒转过来得6=(2n+1)C：+(2n-1)CT+…+3Cn+C0(反序)mn_m又由CnCn可得6=(2卄心+(2n_1)C；+…+3C；」+C：..……②（反序相加）①+②得2Sn=(2n-2)(C0C「一Cn「Cnn)=2(n1)2nSn=(n1)2TOC\o"1-5"\h\z2.2••2••2•••2［例6］求sin1sin2sin3亠亠sin88sin89的值2、：2•••2•••2•••2解：设S二sin1sin2sin3sin88sin89①将①式右边反序得（反序）S=sin289sin28^siri3sin2siri1.②22（反序相加）又因为sinx=cos(90-x),sinxcosx=1①+②得2。2。2。2。2。2。2S=(sin1cos1)(sin2cos2)-江(sin89cos89)=89S=44.5已知函数（1）证明:(2)10丿2?io丿的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边贝心聽H鼬…"倚（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知,(9\(2］+/=/+/—而UoJ两式相加得:2S=9x/［I+/—=92210J£—__-L_…■rwr叶tti%aIPr练习、求值：一；_I..::..I:四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可111［例7］求数列的前n项和：11,4,-y•7,…,一•3n「2,…aaa111解：设Sn=(11)(4)(27)爲…爲(一3n-2)aaa将其每一项拆开再重新组合得111荷).(1.47亠亠3n-2)a(3n-1)n(3n1)n+221naa［例8］求数列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n项和.解：设ak=k(k1)(2k-1)=2k3Sn=(1——a当a=1时,当a=1时,Sn1_n(3n「1)na「a(3n「1)n十~T~2a-123k2k32Sn=為k(k1)(2k1)=、(2k3kk)k二将其每一项拆开再重新组合得nnSn=2k33'k2kdk=1=2(1323h…计3)3(1222卷”川n2)•(12…-n)22n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)2222n(n1)(n2)五、裂项法求和(分组)(分组求和)(分组)(分组求和)这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)an=f(n1)-f(n)(2)sin1tan(n1)-tanncosncos(n1)(3)ann(n1)(4)an(2n)2(5)an(2n-1)(2n1)=1丄(二)22n-12n1n(n-1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)an(7)an2(n•1)-n(8)ann(n1)2n［例9］求数列n(n1)2n」(n1)2n，则Sn=11(n1)2nJ)(AnB)(AnC)C-BAnBAnC…的前n项和.1.2‘.2nsn1’解：设an=（裂项）1“22.3（裂项求和）=(■■•2-】1)(•3-i2)，”””"(•.n■1-n)［例10］在数列｛an｝中,an——-—，又bn解:求数列｛bn｝的前n项的和.an（裂项）二数列｛bn｝的前n项和111111Sn=8[(1-—(十厂(—22334n1)]（裂项求和）=8(1-8nn1［例11］求证:1+1cosOcos1cos1cos21**■■+cos88cos89cos1sin21111(裂项)解：设s=co"盂1co乳右co亦o腐tan(n1)-tanncosncos(n1)111•••S(裂项求和)cosOcos1cos1cos2cos88cos891={(tan1-tanO)(tan2-tan1)(tan3-tan2)[tan89-tan88]}sin1TOC\o"1-5"\h\z11cos1=(tan89-tanO)=cot1=2—sin1sin1sin1•原等式成立111■+■■+>iB■+=练习题1.1f■--■n答案：叶:.练习题2。2\2323+2科+3丿11111+十…:■•-:*?-.：：■■'I=答案:六、分段求和法(合并法求和)针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.［例12］求cos1°+cos2°+cos3°+•…+cos178°+cos179°的值.解：设Sn=cos1°+cos2°+cos3°+•••+cos178°+cos179°•••cosn二-cos(180-n)(找特殊性质项)•Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+•••+(cos89°+cos91°)+cos90°(合并求和)=0［例13］数列{an}:ai=1,32=3,a3=2,an2=an1,求S2002.解：设S2002=a1亠a2■a3亠亠a2002由ai=1,a2=3,a3=2,a*.2二a*1-a*可得a^=-1,85=-3,a§=-2,a7-1,a8-3,a9-2,a10=-1,a11=-3,a12=-2,a6k1-1,a6k2-3,a6k3-2,a6ki：；4__1,a6ki：；5=一3,a6k6=一2a6k1'a6k2'a6k3'a6k4'a6k5'a6k6=0(找特殊性质项)二S2002=a1a2•a3亠亠a2002(合并求和)=(a1a2a^■■a6)(a7■a^■■■a12)''(a6k1'a6k：D2■a6k6)+'''*(a1993*a1994+'''*a1998)+81999+a2000+a2001+a2002=a1999'a2000'a2001'a2002=a6k1'a6k2'a6k3'a6k4=5［例14］在各项均为正数的等比数列中，若a5a6=9,求log3玄1Tog3a?……Fog彳玄®的值.解：设Sn=log3a1log3a^log3印。由等比数列的性质m•n=p•q=aman=apaq(找特殊性质项)和对数的运算性质logaMlogaN=logaMN得Sn=(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)jlog3a5log3a6)(合并求和)=(log3a1a10)(log3a2a?)亠(log3a5a6)=log39log39亠亠log39练习、求和:S；=(a-l)+(a1-2)+(a3-3)+-练习题i设^=-1+3-5+7--+(-1)\2«-1),则心=—答案：2一.—练习题2•若Sn=1-2+3-4+…+(-1)3n，则S17+S33+S50等于()A.1B.-1C.0D.2¥(用为奇)4为偶)解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：Sn=I2答案：A练习题31002-992+982-972+…+22-12的值是A.5000B.5050C.10100D.20200解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.［例15］求111111亠亠1111之和.n个111（找通项及特征）（分组求和）解：由于11119999(10k-1)TOC\o"1-5"\h\zk个19k个19•••111111九幕1111n个1=1(10^1)—(10~^1)—(10~^1)—(10—d)999911=—(101102103…F0n)(111一一T)99n个1110(10n-1)n910-19-—(10n1-10-9n)81已知数列｛an｝:an8(n1)(n3)qQ,求v(n1)(ann4-an.1）的值.解:(n1)(an-ani)=8(n1)[1(n1)(n3)1(n2)(n4)1(n2)(n4)1(n3)(n4)1111=4()8(-n+2n+4n+3n+：：11心；11■-(n'1)(an_an■1)-4二()8二(~)n4n^n2n4n^n3n4（找通项及特征）（设制分组）-）（裂项）4（分组、裂项求和）4()8-344133提高练习：1.已知数列a九，Sn是其前n项和，并且Sn4an2（n=1,2,川）,a1=1,⑴设数列bn=an1-2an（n=1,2,……），求证：数列江？是等比数列；⑵设数列Cn二显，（n=1,2,……），求证：数列G?是等差数列；2na和B,且满足6a-2a3+63=3.22.设二次方程anx-an+1X+1=o（n€N）有两根⑴试用an 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示an1；2⑵求证：数列｛a^|｝是等比数列；⑶当町=*时，求数列｛%｝的通项公式.3.数列"an冲，a1=8,84=2且满足an,2-2an1⑴求数列乳?的通项公式；⑵设Sn=1ai|•|a21…1an1，求Sn；-ann二N章的学习。说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”-