PAGE辽师大附中2020学年上学期第一次模块考试高三数学（文）试题考试时间：120分钟一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1.集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝()A．{0，1，2}B．{0，1，3}C．{0，2，3}D．{1，2，3}2.若复数满足，则=()A．B．C．D．3.“m＜0”是“函数存在零点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.已知函数，则()A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是增函数5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元6.将函数y＝sin(6x＋eq\f(π,4))图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移eq\f(π,8)个单位，得到的函数的一个对称中心是()A．(eq\f(π,2)，0)B．(eq\f(π,4)，0)C．(eq\f(π,9)，0)D．(eq\f(π,16)，0)7.函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()8．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2019的值为()A．1008B．1009C．1010D．10119.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是()A．[－4，1]B．[－4，3]C．[1，3]D．[－1，3]10.在锐角中，，则的取值范围为（）A．B．C．D．11．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．100C．D．12.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,x－y＋2≥0，,2x＋y－2≥0，))则z＝3x－y的最小值为14.一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________．15.数列{an}为正项等比数列，若a3＝3，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则此数列的前5项和S5＝________.16.若正数，，满足，则的最小值为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（满分12分）D为△ABC的边BC的中点．AB＝2AC＝2AD＝2.(1)求BC的长；(2)若∠ACB的平分线交AB于E，求S△ACE.18.（满分12分）中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班60名同学中，对此事关注的占，他们在本学期期末考试中的物理成绩（满分100分）如下面的频率分布直方图：（1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）．（2）若物理成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量，①补充下面的列联表：物理成绩优秀物理成绩不优秀合计对此事关注对此事不关注合计②是否有以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（满分12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F、M分别是C1B1，C1D1和AB的中点．(1)求证：MD1∥平面BEFD．(2)求M到平面BEFD的距离．20.（满分12分）在等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中项为16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)＋…＋eq\f(1,Sn)0)上的最小值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)成立．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（满分10分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是(是参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线与曲线的普通方程；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲（满分10分）已知函数求不等式的解集；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.辽师大附中2020学年上学期第一次模块考试高三数学（文）答案选择题：1~5：DCAB6~10:DCBA11~12:CA二．填空题：13.314.eq\f(5,3)eq\r(3)15.eq\f(121,3)16.4三．解答题：17.(1)由题意知AB＝2，AC＝AD＝1.设BD＝DC＝m.在△ADB与△ADC中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.即1＋m2－2mcos∠ADB＝4，①1＋m2＋2mcos∠ADB＝1.②①＋②得m2＝eq\f(3,2)，所以m＝eq\f(\r(6),2)，即BC＝eq\r(6).(2)在△ACE与△BCE中，由正弦定理得eq\f(AE,sin∠ACE)＝eq\f(EC,sin∠EAC)，eq\f(BE,sin∠BCE)＝eq\f(EC,sin∠CBE)，由于∠ACE＝∠BCE，且eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠CBA)，所以eq\f(AE,BE)＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(\r(6),6).所以BE＝eq\r(6)AE，所以AE＝eq\f(2,5)(eq\r(6)－1)．又cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(22＋12－（\r(6)）2,2×2×1)＝－eq\f(1,4)，所以sin∠BAC＝eq\f(\r(15),4)，所以S△ACE＝eq\f(1,2)AC·AE·sin∠BAC＝eq\f(1,2)×1×eq\f(2,5)(eq\r(6)－1)×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(3\r(10)－\r(15),20).18.（1）对此事关注的同学的物理期末平均分为（分）．（2）①补充的列联表如下：物理成绩优秀物理成绩不优秀合计对此事关注81220对此事不关注83240合计164460②由①中的列联表可得，所以没有以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系．19.解：(1)证明：连接BF．因为M、F分别为AB与C1D1的中点，且ABCDA1B1C1D1是正方体．所以MBeq\o(\s\do6(═),\s\up6(∥))D1F．所以四边形MBFD1为平行四边形，所以MD1∥BF．又MD1⊄面BEFD，BF⊂面BEFD．所以MD1∥平面BEFD．(2)过E作EG⊥BD于G．因为正方体的棱长为2，所以BE＝eq\r(5)，BG＝eq\f(1,2)(BD－EF)＝eq\f(1,2)(2eq\r(2)－eq\r(2))＝eq\f(\r(2),2)．所以EG＝eq\r(BE2－BG2)＝eq\r(5－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2)．所以S△EBD＝eq\f(1,2)BD×EG＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(3,2)eq\r(2)＝3．又S△MBD＝eq\f(1,2)MB×AD＝eq\f(1,2)×1×2＝1．E到平面ABCD的距离为2，设M到平面BEFD的距离为d．由V三棱锥MBDE＝V三棱锥EMBD得eq\f(1,3)S△EBD·d＝eq\f(1,3)S△MBD×2．所以d＝eq\f(S△MBD×2,S△EBD)＝eq\f(1×2,3)＝eq\f(2,3)．所以M到平面BED的距离为eq\f(2,3)．20.(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16，a3－a2＝8，则a2＝8，q＝2，a1＝4，所以an＝2n＋1.(2)bn＝log42n＋1＝eq\f(n＋1,2)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(nn＋3,4).eq\f(1,Sn)＝eq\f(4,nn＋3)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋3)))，所以eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)＋…＋eq\f(1,Sn)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,4)＋\f(1,2)－\f(1,5)＋\f(1,3)－\f(1,6)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋3)))＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(1,3)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)－\f(1,n＋3)))＝eq\f(4,3)×eq\f(11,6)－eq\f(4,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋3)))＝eq\f(22,9)－eq\f(4,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋3))).当n＝1时，eq\f(1,S1)＝1<2<eq\f(22,9)；当n≥2时，eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)＝eq\f(22,9)－eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)＋\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋3)))<eq\f(22,9)<3.故存在k＝3时，对任意的n∈N*都有eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)＋…＋eq\f(1,Sn)<3.21.解：(1)由f(x)＝xlnx，x>0，得f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,e).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当0eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)(x∈(0，＋∞))．由(1)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－eq\f(1,e)，当且仅当x＝eq\f(1,e)时取到．设m(x)＝eq\f(x,ex)－eq\f(2,e)(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝eq\f(1－x,ex)，由m′(x)<0得x>1时，m(x)为减函数，由m′(x)>0得0eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)成立．22.解：（1）由得故直线的普通方程为.由，得，所以，即,故曲线的普通方程为.（2）据题意设点，则.所以的取值范围是.23.解:（1）原不等式等价于或或解得或所以不等式的解集为（2）据题意，得对成立.又因为，所以，解得.故所求实数的取值范围是
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