讲授内容：§1.1 映射与函数
教学目的与要求：
1、 理解集合的概念，熟练掌握用区间和领域来描述数集.
2、 了解映射的概念.
3、 理解函数的概念，熟悉函数的常见描述方法，特别是分段函数的描述.
4、 了解函数的几种常见特性.
5、 理解复合函数的概念，了解反函数，初等函数的概念.
重难点： 重点——函数特别是分段函数和复合函数的概念.
难点——映射的概念.
教学方法:讲授法
教学建议：
1、借助于实际的例子使学生理解函数概念中的二要素：定义域和对应法则，以及值域的概念.
2、通过一些简单的例子使学生掌握关于集合的运算和证明的常见手段.
学时： 3学时
教学过程:
一 、集合
1. 集合的概念：集合是指具有某种特定性质的事物的总体.
而组成集合的事物称为元素。
由有限个元素构成的集合称为有限集合，有无限个元素构成的集合称为无限集合.
集合的表示法:
1) 列举法:将集合的元素一一列举出来;如A={a1,a2,…,an};
2) 描述法:设M是具有某种特征的元素x的全体所组成的集合,则
M={x|x所具有的特征}
数集：集合的元素由数组成.常用数集:
Φ：空集;
N：自然数集; Z：整数集; Q：有理数集; R：实数集.
显然有 Φ
N
Z
Q
R
R*：非零的实数集； R+：正实数集.
2. 集合的运算
集合的运算有：
1） 并集 A∪B={x|x(A或x(B}
2） 交集 A∩B={x|x(A且x(B}
3） 差集 A \ B={ x|x(A且x(B}
4） 余集 I为全集,则I\A=AC为A的余集或补集.
集合的运算律:
1) 交换律:
A∪B=B∪A;
A∩B=B∩A;
2) 结合律:
(A∪B)∪C=A∪(B∪C);
(A∩B)∩C=A∩(B∩C);
3) 分配律: (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);
4) 对偶律:
(A∪B)C=AC∩BC;
(A∩B)C=AC∪BC;
注：证明两集合A ,B相等的一般方法：
例1. 证明性质4“对偶律”.
证：设
故有
反之，因为
故有
综上，结论成立.
3. 数集的两种表示方法
1）区间 当a和b为有限数时:
开区间
(a,b)={x|a
M.
函数f(x)在X有界的充分必要条件为函数在X上既有上界也有下界.
例如：y=sinx在(-∞,+∞)上是有界的；y=1/x在(0,1)上没有上界, 但有下界；y=lnx在(0,1)内有上界, 没有下界.
2) 函数的单调性
设函数定义域为D, 区间I
D. 如果对于区间I上的任意两点x1和x2,
当x1f(x2), 则称f(x)在I上是单调减小的;
单调增加函数与单调减小函数统称为单调函数.
例如：函数y=x2在[0,+∞]上是单调增加函数,在(-∞,0)上是单调减小函数,在(-∞,+∞)上不是单调函数;
函数y=x3在(-∞,+∞)上是单调函数.
3) 函数的奇偶性
设函数的定义域D关于原点对称 (即若x∈D, 则有-x∈D).
如果对任意的x∈D, 有f(-x)=f(x)成立， 则称f(x)为偶函数；
如果对任意的x∈D, 有f(-x)=-f(-x)成立，则称f(x)为奇函数；
偶函数的图形关于y轴对称， 奇函数的图形关于原点对称.
4) 函数的周期性
设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个数T>0，使得对于任意x∈D，有(x±T)∈D，且有:f(x+T)=f(x) 成立，则称f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期.
通常我们讲的周期是指最小正周期.
3. 反函数与复合函数
1) 定义：设函数f：D(f(D)为单射，则存在逆映射f —1：f(D)(D，称此映射f--1为函数f的反函数. 通常x表示自变量，y表示因变量，因此记为：y=f--1(x).
即 对每个y(f(D)，有唯一的x(D, 使得f(x)=y.
反函数的对应法则完全由函数f的对应法则确定.
即 若y = f(x).则x =f--1(y)
函数y=f(x)称为直接函数.
直接函数y=f(x)是单值函数, 但反函数不一定是单值函数.
当直接函数为单调函数时,反函数为单值单调函数.即有:
定理：单调函数必存在反函数。且反函数也是单调的.
将反函数与直接函数的图形画在同一坐标平面上,则它们的图形关于直线y=x对称.
2) 定义：若函数y=f(u)的定义域D1，函数u=g(x)在D上有定义，而g(D)={u|u=φ(x),x∈D}，且g(D)
D1，则由下式确定的函数：
y=f[g(x)],
x(D
称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数.其中定义域为D,而u称为中间变量.
注: 1） 构成复合函数的条件:内函数g(x)在D上的值域g(D)必须含于外函数的定义域中. 即g(D)(Df
并不是任意的两个函数都能构成复合函数.例如函数y=arcsinu和函数u=2+x2不能构成复合函数.
2）一般而言f[g(x)] 与 g [f (x)]不同（内外有别）.
4. 函数的运算
设函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2,D=D1∩D2≠Ø,则定义:
1) (f±g)(x)= f(x)±g(x), x(D;
2) (f(g)(x)= f(x)(g(x), x(D;
3) (f/g)(x)= f(x)/g(x), x(D\{x|g(x)=0}.
5. 初等函数
基本初等函数为:
1) 幂函数:
函数y=xμ(μ为常数)为幂函数.
定义域: 看μ的取值而定. 但对所有的μ, 幂函数在(0,+∞)内有定义.
2) 指数函数
定义：函数y=ax(a为常数且a>0,a≠1)
定义域：(-∞,+∞). 对任意的x有ax>0；且a0=1.
当a>1时，ax是单调增加的；当a<1时，ax是单调减小的.
特别有：指数函数:y=ex是常用指数函数.
3) 对数函数
指数函数y=ax的反函数y=log ax(a是常数且a>0,a≠1)为对数函数.
定义域：(0,+∞)
当a>1时, log ax是单调增加的, 在(0,1)内函数值为负, 在(1,+∞)内函数值为正;
当01/2时,D=(.
作业： 高等数学A类练习册第一节 课本P21 eq \o\ac(○,4) eq \o\ac(○,5) eq \o\ac(○,7) eq \o\ac(○,8) eq \o\ac(○,11) eq \o\ac(○,17)— eq \o\ac(○,20)
教学后记：本节内容是对中学函数部分内容的复习，我认为这部分内容可以让同学自学，以培养学生的自学能力。
教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编
《高等数学典型题精解》 陈兰祥编
《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社
《高等数学》 同济大学应用数学系主编
思考题： 求
的反函数.
讲授内容：§1.2
数列的极限
教学目的与要求：
1、了解数列极限的定义，会用定义证明简单的极限问题.
2、熟练掌握收敛数列的性质，并能利用各性质解决一些极限问题.
重难点：重点——收敛数列的性质.
难点——数列极限的定义.
教学方法:讲授法
教学建议：借助于数轴直观地介绍数列极限存在的几何意义.
学时：3学时.
教学过程:
一、数列的定义
1. 数列:
定义：一串有顺序的数x1,x2,…xn,….称为数列，记为{xn}
数列中的每一个数称为数列的项，第n项xn叫做数列的一般项.
数列也可以看作是自变量为正整数n的函数：xn=f(n).
在几何上，数列{xn}可看成数轴上的一个动点.
2. 数列极限的定义:
分析数列{xn}={
}当n→∞时的极限.
此数列当n越来越大时，xn与1的距离越来越小，即 |xn-1|=|(-1)n-1/n|=1/n可以任意的小，也就是说，对任意给定的要有多小就有多小的正数ε，只要n足够的大(即n充分大，也就是存在一个正整数N，当n>N后)，|xn-1|就比ε还要小. 此数1称为数列{xn}当n(+∞时的极限. 即有
定义：如果数列{xn}与常数a有下列关系：对于任意给定的正数ε(无论ε多么小)，总存在正整数N，使得对n>N时的一切xn, 不等式
|xn－a|<ε
都成立，则称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列收敛于a，记为:
或者
xn→a (n→∞).
如果数列没有极限，则称数列是发散的.
注：(1) ε是用来刻画xn与a的靠近程度，正是由于ε的任意性才能保证xn与a可以充分靠近.
(2) 当ε一旦给定，则数列的某些项xn可以不满足|xn－a|<ε，但从某项N(N由ε确定)后的所有项均都应满足|xn－a|<ε.
(3) ε的表示有各种形式，往往根据问题的需要给出相应的形式，只要它是任意的正数即可.
(4) 数列极限的定义是用来证明数列极限为某一给定的值，而不是用于求极限值的.
问题：若
是否意味着当n→∞ 时xn越来越靠近a，即|xk+1－a|<|xk－a|
答：否 ，例如
3. 数列极限的几何解释:
将常数a和数列x1,x2,…xn,…用数轴上的点表示，则当n>N时，所有的点xn都落在开区间(a-ε,a+ε)内，至多只有N个点在此区间之外.
例1. 证明数列{
}的极限为1.
证： 因为|xn-a|=|
-1|=
对任给的正数ε，要使|xn-a|<ε，只要
<ε，或n>
所以:取N=[
]，则当n>N时有|
-1|<ε.
即
EMBED Equation.3 =1.
注：对于给定的ε，显然前N=[
]项可以落在(a-ε,a+ε)之外，并不是前N项均落在(a-ε,a+ε)之外，从N项以后的所有项均落在(a-ε,a+ε)内.
例2. 证明数列
的极限为0.
证：因为
|xn-a|=|
-0|=
<
对任给的正数ε, 要使|xn-a|<ε, 只要
<ε, 或n>
-1
所以取N=[
-1], 则当n>N时有|
-0|<ε.
即:
EMBED Equation.3 =0
例3. 设|q|<1, 证明等比数列1,q,q2,…qn-1,…的极限是0.
证：任意给定的正数ε>0(设ε<1).
因为|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1.
要使|xn-0|<ε,只要|q|n-1<ε.
取对数得(n-1)ln|q|1+
.
取N=[
], 则当n>N时, 有|qn-1-0|<ε.
即
qn-1=0.
二、收敛数列的性质
定理1. (极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛，则其极限是唯一的.
证：(反证法)设同时有xn→a和xn→b（n→∞）且aN1的一切xn，有
|xn-a|<(b-a)/2.
(1)
因为xn→b，故存在正整数N2，使得对于n>N2的一切xn，有
|xn-b|<(b-a)/2.
(2)
取N=max{N1,N2},则当n>N时(1)和(2)同时成立.
由(1)有xn<(a+b)/2, 由(2)有xn>(a+b)/2. 显然矛盾.
例4. 证明数列xn=(-1)n+1 (n=1,2,…)是发散的.
证：如果数列收敛，则由定理1知极限是唯一的. 设极限为a，即
xn=a.
对于ε=1/2存在正整数N，当n>N时，有|xn-a|<1/2. 即当n>N时，xn都落在开区间(a-1/2,a+1/2)内. 又当n→∞时，数列xn一直重复地取值1和-1,这两个数不可能同时属于长度为1的开区间(a-1/2,a+1/2)内. 因此数列是发散的.
定义：对于数列{xn}，如果存在正数M，使得对于一切的xn都有|xn|N的一切xn, 有 |xn-a|<1.
于是当n>N时，有
|xn|=|(xn-a)+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|.
取M=max{|x1|,|x2|,…|xN|,1+|a|},则有数列中的一切xn都满足|xn|≤M.
注：在证明数列极限时需对任意ε，找到相应的N使n>N时|xn-a|<ε，而已知
xn=a时利用这一条件证明问题时只需就某一ε0当n>N时|xn-a|<ε0，本例取ε0=1.
由此定理知，无界数列一定是发散的，但有界数列也不一定是收敛的. 例如数列xn=(-1)n+1是有界的，但它是发散的. 因此数列有界是数列收敛的必要条件.
定义：在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列(或子列).
在数列{xn}中第一次抽取
,第二次抽取
,…第k次抽取
,…,则得到子列
,
,…
,…记为{
}
在子列{
}中的一般项
是第k项,而
在原数列{xn}中是第nk项.
显然有
nk≥k.
定理3.(收敛数列与其子列的关系) 如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子列也收敛，且收敛于同一极限a.
证：设数列{
}是数列{xn}的一个子列.
由于
xn=a,故对于任意给定的正数ε,存在正整数N,当n>N时,有|xn-a|<ε成立.
取K=N，则当k>K时，nk>nK≥N. 于是|
－a|<ε. 即
EMBED Equation.3 =a.
由此定理可知，当一个数列的两个子列收敛于不同的极限时，则此数列必定发散.
例如：数列xn=(-1)n+1的两个子列{x2k}和{x2k-1}分别收敛于-1和1，因此此数列是发散的.另外此例也表明发散的数列也可能有收敛的子列.
例5. 对于数列{xn}若x2k-1→a (k→∞), x2k→∞ (k→∞),证明xn→a (n→∞).
证：对任意给定的正数ε>0，由于
x2k-1→a，所以存在正整数K1，当2k>2K1时， |x2k-1→a |<ε.
x2k→a，所以存在正整数K2，当2k-1>2K2-1时，|x2k→a |<ε.
取N=max{2K1,2K2-1}，则当n>N时，有|xn-a|<ε.
即
xn=a.
定理4.(收敛数列的保号性)如果
xn=a,且a>0(或a<0)，那么存在正整数N>0，当n>N时，有xn>0(或xn<0).
证：不妨设a>0，由于
xn=a，对ε=a/2>0，则(N，n>N时，有
|xn-a|a/2>0.
推论：如果数列{xn}(N, 当n>N后,有xn≥0(或xn≤0),且
xn=a,则a≥0(或a≤0).
证：设
xn=a <0，则由保号性定理得，(N1，当n>N1时，有xn<0.
取N2=max{N,N1}，则
当n>N2时， 按条件有xn≥0，另外按保号性定理有:xn<0. 矛盾.
例6. 若
xn=a,证明
|xn|=|a|,反之若数列{|xn|}有极限,但{xn}不一定有极限.
证：因为
xn=a，因此对ε>0，(N，当n>N时，有|xn-a|<ε.
但| |xn-|a| |≤|xn-a|,
因此当n>N时有| |xn-|a| |<ε. 即
|xn|=|a|.
数列xn=(-1)n，显然有
|xn|=1，但
xn不存在.
例7. 设数列{xn}有界,又
yn=0,证明:
xnyn=0.
证：因为{xn}有界，因此(M>0，对(n，有:|xn|≤M.
又
yn=0，因此对((ε/M)>0，(N，当n>N时，有|yn|<ε/M.
（注：此处ε的形式为ε/M）
于是对ε>0，(N，当n>N时，有|xnyn|≤M|yn|<ε.
即
xnyn=0.
作业： 高等数学A类练习册第二节 课本P30—P31 eq \o\ac(○,4) eq \o\ac(○,5) eq \o\ac(○,6)
教学后记：本节内容较难，学生不易接受，可多举例，注意结合
的几何意义进行讲解。
教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编
《高等数学典型题精解》 陈兰祥编
《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社
《高等数学》 同济大学应用数学系主编
思考题：
讲授内容：§1.3 函数的极限
教学目的与要求：
1、了解函数极限的概念和左右极限的概念.
2、熟练掌握函数极限的性质，并能利用性质解决有关函数极限的问题.
重难点：重点——左右极限的概念.
难点——两种变化过程x(x0 x→∞ 时函数极限的概念
教学方法:讲授法
教学建议：借助于几何图形解释函数极限存在的概念.
学时：2学时
教学过程:
一、函数极限的定义
1. 自变量趋于有限值时函数的极限(x(x0, f(x)(A)
考虑自变量x在x→x0时的过程.
如果在x→x0时对应的函数值f（x）无限接近于常数A，则称A为函数f(x)在x→x0时的极限.
在x→x0时，对应的函数值f(x)无限地接近于常数A，即指当x充分接近x0但又不等于x0时，(即存在正数δ>0，对于满足不等式0<|x-x0|<δ的一切x. 其中δ体现了x接近于x0的程度) .|f(x)-A| 能任意地小. 也就是说，对于任意给定的无论多么小的正数ε,都有|f(x)-A|<ε.
定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义. 如果对于(ε >0(不论它多么小)，总( δ>0，使得对于适合不等式0<|x－x0|<δ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式
|f(x)－A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限,
记作
f(x)=A或f(x)→A(当x→x0).
或
f(x)=A((ε>0,(δ>0,当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-A|<ε.
注： （1）函数f(x)在x0处是否有极限与函数f(x)在x0处是否有定义无关.
（2）δ不唯一，δ一般与给定ε的有关系，但与变量x无关.
函数极限的几何意义：
任意给定正数ε, 作平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε, 对于落在开区间(x0-δ, x0+δ) (x≠x0)的一切点x，函数值f(x)都落在两直线之间.
例1. 证明
c=c.此处c为一常数.
证：由于|f(x)-A|=|c-c|=0，所以对于任意给定的正数ε，可取任一正数δ，
当0<|x-x0|<δ时,总有|f(x)-A|=|c-c|=0<ε成立.
故有
c=c.
例2. 证明
x=x0.
证：因为|f(x)-A|= |x-x0|，所以对于任意给定的正数ε，可取正数δ=ε，
当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|=| x-x0|<δ=ε成立.
故
x=x0.
例3. 证明
(2x-1)=1.
证：因为|f(x)-A|= |(2x-1)-1|=2|x-1|，所以对于任意给定的正数ε,可取正数δ=ε/2,
当0<|x-1|<δ=ε/2时，总有|f(x)-A|=2| x-1|<2δ=ε成立.
故
(2x-1)=1.
例4. 证明:
EMBED Equation.3 =2.
证：对于任意给定的正数ε，由于|
-2|=|x+1-2|=|x-1|，所以取正数δ=ε,
则当0<|x-1|<δ时,有|
-2|=|x-1|<δ=ε.
故有
EMBED Equation.3 =2.
例5. 证明:当x0>0时,
EMBED Equation.3 =
证：任意给定正数ε,因为
|f(x)-A|=|
-
|=|(x-x0)/ (
+
)≤|x-x0|/
要使|f(x)-A|<ε，只要|x-x0|<ε
且x≥0，而x≥0可由|x-x0|≤x0保证.
因此取δ=min{x0, ε
}，则当0<|x-x0|<δ时，有|
-
|<ε.
所以
EMBED Equation.3 =
.
2. 左右极限
定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义. 如果对于(ε>0(不论它多么小),总(δ>0, 使得对于适合不等式x0-δ0,(δ>0,当x-x00,(δ>0,当x00，(X>0，对于适合不等式|x|>X的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式
|f(x)-A|<ε
则称常数A叫做函数f(x) 当x→∞ 时的极限，记作
f(x)=A 或 f(x)→A (当x→∞).
几何意义：作直线y=A-ε和y=A+ε，则存在一个正数X，当x<-X或x>X时，函数y=f(x)的图形落在这两条直线之间.
同样：
f(x)=A 或f(x)→A (当x→+∞) ( (ε>0 ,(X>0, 当x>X, 有|f(x)-A|<ε
,
f(x)=A 或f(x)→A (当x→-∞) ( (ε>0 ,(X>0, 当x<-X, 有|f(x)-A|<ε
例7. 证明
EMBED Equation.3 =0.
证：任给正数ε，要证存在正数X，当|x|>X时，不等式|
-0|<ε成立.因此不等式相当于|x|>1/ε，故取X=1/ε，则对于满足|x|>X的一切x，有|
-0|<ε.
即
EMBED Equation.3 =0.
直线y=0是函数y=
的图形的水平渐近线.
定义：如果
f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形的水平渐近线.
二、函数极限的性质
定理1. (函数极限的唯一性) 如果
，那么极限是唯一的.
定理2. (函数极限的局部有界性) 如果
f(x)=A，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)|≤M.
证明：由
f(x)=A.
对ε=1，(δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<1，即有
|f(x)|≤|f(x)-A|+|A|<|A|+1.
取M=|A|+1即得结论.
定理3. (极限的局部保号性) 如果
f(x)=A，而且A>0(或A<0)，那么存在着点x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时，有f(x)>0 (或f(x)<0).
证明：设A>0.取正数ε≤A，根据
f(x)=A的定义，对于这个取定的正当ε,必存在着一个正数δ, 当x∈Ů(x0, δ)时, 不等式|f(x)－A|<ε，或A－ε0. 类似地可以证明A<0的情形.
注:在上述定理的证明中,不论A>0或A<0,只要取ε=
,可得到更强的结论:
定理3′ 如果
f(x)=A（A≠0），那么就存在着x0的某一去心邻域 Ů(x0) 当x∈Ů(x0)，有|f（x）|>
.
定理4如果在x0的某一去心邻域Ů（x0）内f(x)≥0(或f(x)≤0),而且
f(x)=A,
那么A≥0(或A≤0).
证明：设f(x)≥0.假设论断不成立，即设A<0，那么由定理3存在x0的某一去心邻域Ů(x0)，在该邻域内f(x)<0，这与f(x)≥0的假定矛盾，所以A≥0.
定理5 (函数极限与数列极限的关系) 如果
f(x)=A，{xn}(Df, 且xn(x0, xn≠x0(n(N+)，那么相应的函数值数列{f(xn)}收敛，且有:
f(xn)=
f(x)=A.
证明：设
f(x)=A，则(ε>0, (δ>0, 当0<|x-x0|<δ时, 有|f(x)-A|<ε.
又由于
xn=x0，则对δ>0, (N, 当n>N时,有|xn-x0|<δ.
由假设xn≠x0(n(N +)，因此当n>N时，由0<|xn-x0|<δ，从而|f(xn)-A|<ε.即
f(xn) =
f(x)=A.
作业： 高等数学A类练习册第三节 课本P38 eq \o\ac(○,2)— eq \o\ac(○,9)
教学后记：本节内容抽象，学生接受较困难，学生如能掌握这部分知识的百分之六十是不错的.
教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编
《高等数学典型题精解》 陈兰祥编
《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社
《高等数学》 同济大学应用数学系主编
思考题：1）
2）
讲授内容：§1.4
无穷大与无穷小
教学目的与要求：理解无穷小，无穷大的概念和它们之间的关系.
重难点：无穷小与函数极限的关系.
教学方法:讲授法
教学建议：充分讲解无穷小量与很小的数的区别.
学时：1学时
教学过程:
一、无穷小
1. 定义：如果函数f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限为零，那么函数f(x)叫做x→x0(x→∞)
时为无穷小.即:
设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义).
(ε>0,(δ>0(或(X>0), 当0<|x-x0|<δ (或|x|>X)时, 有|f(x)|<ε, 那么称函数f(x)当x→x0 (或x→∞)时为无穷小. 记作
f（x）=0, (或
f(x)=0)
注:
0是一个特殊的无穷小.
例1. 因为
(x-1)=0，所以函数y=x-1当x→1是是无穷小.
2. 无穷小与函数极限的关系
定理1. 在自变量的同一变化过程x→x0 (或x→∞)中,
函数f(x)具有极限A (f(x)=A+α,其中α为无穷小.
证：设
f（x）=A，则(ε>0，(δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε，令
α=f(x)-A,
则α是x→x0时的无穷小,且f(x)=A+α.
即 函数f(x)等于它的极限与一个无穷小之和.
反之，f(x)=A+α，中A为常数，x→x0时，为无穷小，于是
|f(x)-A|=|α|.
由于α是x→x0时的无穷小,故(ε>0,(δ>0,当0<|x-x0|<δ时,有|α|<ε,即
|f(x)-A|<ε.
同理可证x→∞时的情况.
二 、无穷大
i. 如果函数f(x)当x→x0(或x→∞)时对应的函数值|f(x)|无限增大,那么函数f(x)叫做x→x0(x→∞)时为无穷大.即有
设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义).
(M>0(不论它多么大)，(δ>0(或X>0)，当0<|x-x0|<δ (或|x|>X)时，有|f(x)|>M,那么称函数f(x)当x→x0 (或x→∞)时为无穷大.记作:
f(x)=∞,
(或
f(x)=∞)
同理有:
f(x)=+∞ (或
f(x)=-∞)
注：无穷大最无界量但无界量不一定是无穷大，例如：xsinx (x→∞)是无界量但不是无穷大.
例2.证明
EMBED Equation.3 =∞.
证：对任意给定的正数M , 要使|
|>M, 只要|x-1|<1/M,
所以取δ=1/M, 则对于满足不等式0<|x-1|<δ=1/M的一切x, 有
|
|>M.
定义：如果
f(x)=∞,则直线x=x0是函数图形的铅直渐近线.
3. 无穷大与无穷小的关系:
定理2. 在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大,则
为无穷小,反之如果f(x)为无穷小,且f(x)≠0,则
为无穷大.
证：设
f（x）=∞，则(ε>0. 对于M=
，存在着δ>0，
当0<|x－x0|<δ，,有|f(x)|>M=
,即|
|<ε,
所以
当x→x0时为无穷小.
反之,设
f(x)=0,且f(x)≠0.则(M>0,对于ε=1/M,存在着δ>0,当0<|x－x0|<δ ,有|f(x)|<ε=1/M,由于当0<|x－x0|<δ时f(x)≠0,从而|
|>M,
所以
当x→x0时为无穷大.
类似地可证x→∞时的情形.
作业： 高等数学A类练习册第四节 课本P41 eq \o\ac(○,1)— eq \o\ac(○,5)
教学后记：无穷大，同学们往往与很大的数混为一谈，教学过程中应重点强调.
教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编
《高等数学典型题精解》 陈兰祥编
《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社
《高等数学》 同济大学应用数学系主编
思考题：
时
是x的几阶无穷小
讲授内容：§1-5极限运算法则
教学目的与要求：熟练掌握极限运算的各种法则，并能利用这些法则求函数的极限.
重难点：复合函数的极限运算法则.
教学方法:讲授法
教学建议：注意法则应用的前提条件
学时：1学时
教学过程:
下面符号“lim”不标明自变量的变化过程,即指对x→x0及x→∞都成立.
以下的证明只针对自变量的变化过程为x→x0的情形
定理1. 有限个无穷小的和是无穷小.
证：设α和β是两个无穷小,而γ=α+β.
因为
α=0，所以(ε>0，(δ1>0，当0<|x－x0|<δ1 ,有|α|<ε/2;
又
β=0，对ε/2>0，(δ2>0，当0<|x－x0|<δ2 ，有|α|<ε/2;
取δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x－x0|<δ ，有|γ|=|α+β|≤|α|+|β|<ε/2+ε/2=ε.
故γ也是无穷小.
定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证：设函数u(x)在x0的某一去心邻域Ů(x0,δ1)内有界，即
(M>0，对(x∈Ů(x0,δ1)，有|u(x)|≤M.
又因为
α=0，所以(ε>0，(δ2>0，当0<|x－x0|<δ2 ，有|α|<ε/M.
取δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x－x0|<δ ，有 |uα|=|u||α||B|/2.
所以 |
|=
<
从而
－
=
－
=
(Bα－Aβ)→0.
定理6. 设有数列{xn}和{yn}. 如果
xn=A,
yn=B, 那么
1)
(xn±yn)=A±B
2)
xn·yn=A·B
3) 当yn≠0(n=1,2,…)且B≠0时,
EMBED Equation.3 =
.
定理7。如果φ(x)≥ψ(x), 而limφ(x)=a, limψ(x)=b, 那么a≥b.
证明：令f(x)=φ(x)-ψ(x)，则f(x)≥0.
于是limf(x)=lim[φ(x)-ψ(x)]= limφ(x)-limψ(x)=a-b.
由保号性定理有limf(x)≥0，即a≥b.
一般地设有多项式f(x)=a0xn+ a1xn-1+…an，则有
f(x)=a0(
xn)+ a1(
xn-1)+…
an= a0x0n+ a1x0n-1+…an=f(x0)
设有有理分式函数F(x)=
其中P(x)和Q(x)都是多项式，于是有
P(x)=P(x0),
Q(x)=Q(x0)
当Q(x0)≠0时,有
F(x)=
EMBED Equation.3 =
=F(x0).
当Q(x0)=0时,则不能使用上面的公式.
例1. 求下列极限:
1)
(2x-1);
[1]
2)
EMBED Equation.3
[-7/3]
例2. 求下列极限:
1)
[0]
2)
[∞]
例3. 求下列极限
1)
[3/7]
2)
[0]
3)
[∞]
由例3得到：当a0≠0，b0≠0，m和n为非负正数时,
=
例4. 求
.
[0]
注：利用极限的四则运算时一定要注意条件，当条件不满足时切不可使用这些法则
定理8.(复合函数的极限运算法则)设函数u=φ(x)当x→x0的极限存在且等于a, 即
φ(x)=a, 但在点x0的某一去心邻域内φ(x)≠a, 又
f(u)=A, 则复合函数f[φ(x)]当x→x0时的极限也存在, 且
f[φ(x)]=
f(u)=A.
证明：因为
f(u)=A
所以对(ε>0，(η>0，当0<|u-a|<η时，有|f(u)-A|<ε.
又
φ(x)=a，则对上述的η>0，(δ1>0，当0<|x-x0|<δ1时，|φ(x)-a|<η
设在x0的去心邻域Ů(x0,δ2)内φ(x)≠a, 取δ=min{δ1,δ2}, 则当0<|x-x0|<δ时, |φ(x)-a|<η和|φ(x)-a|≠0同时成立.
即有0<|φ(x)-a|=|u-a|<η, 从而有
|f[φ(x)]-A|=|f(u)-A|<ε.
注:将
φ(x)=a换成
φ(x)=∞或
φ(x)=∞,而将
f(u)=A换成
f(u)=A定理同样成立.
定理的意义在于：
f[φ(x)]=
f(u)=A.(这里a=
φ(x)).
作业: 高等数学A类练习册第五节 课本P48—P49 eq \o\ac(○,1)— eq \o\ac(○,4)
教学后记：本节内容是极限部分内容的重点，学生也容易接受掌握。
教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编
《高等数学典型题精解》 陈兰祥编
《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社
《高等数学》 同济大学应用数学系主编
思考题：有限个无穷小的和是无穷小,如果去掉有限该结论成立吗?
讲授内容： §1-6 极限存在准则 两个重要极限
教学目的与要求：
1、掌握极限存在的一个准则，并能利用这两个准则证明一些简单的问题.
2、熟练掌握两个重要极限，并能灵活应用这两个极限求解数列和函数的极限.
重难点：重点——两个重要极限.
难点——极限存在的两个重要准则.
教学方法:讲授法
教学建议：多举例题让学生体会用两个重要极限解体的灵活性。
学时：２学时
教学过程:
准则Ⅰ(夹逼定理)如果数列{xn}、{yn}和{zn}满足:
1) yn≤xn≤zn (n=1,2,…);
2)
yn=a,
zn=a.
则数列{xn}的极限存在, 且
xn=a.
证明：因为
yn=a, 所以(ε>0, (N1, 当n>N1时, 有|yn-a|<ε;
又
zn=a. 对上述的ε>0, 存在N2, 当n>N2时, 有|zn-a|<ε;
取N=max{N1,N2}, 则当n>N时, 有a-εM)时,有g(x)≤f(x)≤h(x);
2)
g(x)=A,
h(x)=A.
则
f(x)=A.
例3. 求极限
x
解：由于
-1≤
≤
,因此
1-x=x(
-1)≤x
≤x
=1
即原式=1.
重要极限1.
=1
首先证明
cosx=1.因为当0<|x|<π/2时,0<|cosx-1|=1-cosx=2
<2(
)2=
.
由于
＝０，由两边夹法则结论成立.
函数
对x≠0有定义.
在单位圆中,设圆心角∠AOB=x (00
由1)和2) 可知
xn=A.
由于xn+1=
，x2n+1=2+x n，所以
x2n+1=
(2+x n)
即:A2=2+A，解得A=2 (A=-1舍去)，故
xn=A=2.
定理：设limf(x)=A(A>0)；limg(x)=B(A≠1,且B≠∞)，则limf(x)g(x)=AB.
例7. 求极限
EMBED Equation.3
解：由于
=
但
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 =e,
(-cosx)=-1
因此原式=e-1.
例8. 求极限
解：
因为
，
（见例2）
故原式
作业: 高等数学A类练习册第六节 课本P55—P56 eq \o\ac(○,1)— eq \o\ac(○,4)
教学后记：本节内容两个准则，两个重要极限，内容十分重要，要求同学熟练掌握，应用这部分内容做题，有助于同学们能力培养.
教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编
《高等数学典型题精解》 陈兰祥编
《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社
《高等数学》 同济大学应用数学系主编
思考题：如何证明
讲授内容：
第一章节习题课（一）
教学目的与要求：
1、 进一步加深理解函数这一概念.
2、 综合运用各种求极限的方法求数列、函数的极限.
重难点：用适当的方法解决极限问题.
教学方法:讲授法
教学建议：重点讲清对于不同的极限问题找到正确的解题方法.
学时：2学时.
教学过程:
例1 1）
，
，求
，
的定义域.
解：因
，即
因
，即
2）
，求
.
解：因
，故
3）设
，求
解：
得
4）
，求
.
5）求
的反函数.
6）讨论函数
在R上的单调性，奇偶性.
例2 利用初等变形求极限
1）
2）
（
）
3）
4）
5）
解：1）
2）（方法一）
（方法二）因
同理
故原式
注：不一定所有的有理式均必须用有理化
3）
注：当分子分母中的n的最高次幂不同时，不能用有理化方法解题.
4)
注：有理化之前有时需作适当的组合.
5)
注：初等变形的方法很多，因根据具体的题目灵活应用.
例3 利用两个准则求极限
1）
解：因
又有
，
故原式= 0
2）设
，
，求
.
分析：凡由递推式给出的数列通常利用单调有界准则先证明其极限存在，再利用对通式两边求极限求出
.
解：Ⅰ）单调性：
Ⅱ）有界性：
故有
例4 利用两个重要极限求极限.
1）
2）
3）
4）
5）
解：1）
2）
3）
4）
因
故原式
5）
考虑：
故原式
例5 利用等价无穷小求极限.
1）
2）
3）
4）
5）
解：1）
.
2）
3）
4)分析：本题不能直接用等价无穷代换将sinx代换为x，ln(1+2x)代换为2x，尽管代换后答案也是正确的，但这样的做法不符合等价无穷小代换的原则.
错解：
.
正解：
因
由极限的四则运算法则，得 原式
5)
例6 1）设
，试确定的值.
2）
3）判断
是否存在.
4）
时
是x的几阶无穷小.
5）
解：1） 原式
故
分子最高次幂只能为1
2）
注：有界量乘无穷小量仍是无穷小量
3）因
所以
不存在
4）
5）
注：消去不定的因子.
作业: 课本P74 eq \o\ac(○,8)
教学后记： 综合运用各种求极限的方法求数列、函数的极限.；用适当的方法解决极限问题；重点讲清对于不同的极限问题找到正确的解题方法
教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编
《高等数学典型题精解》 陈兰祥编
《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社
《高等数学》 同济大学应用数学系主编
讲授内容：§1-7
无穷小的比较
教学目的与要求：
1、理解无穷小的比较和等价无穷小的概念 .
2、熟练掌握利用等价无穷小代换来求极限.
重难点：正确掌握无穷小代换的原则.
教学方法:讲授法
教学建议：提醒学生注意无穷小代换的原则.
学时：1学时
教学过程:
一、定义
如果limβ/α=0，就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o（α）；
如果limβ/α=∞，就是说β是比α底阶的无穷小；
如果limβ/α=c≠0,就说β与α是同阶无穷小;
如果limβ/αk=c≠0,k>0,就是说β是关于α的k阶无穷小.
如果limβ/α=1.就是说β与α是等价无穷小,记作α~β.
例如：由于
3x2/x=0,因此当x(0时,3x2=o(x);显然x是比3x2底阶的无穷小.
由于
EMBED Equation.3 =1/2,因此当x(0时,1-cosx与x2为同阶无穷小,即1-cosx是关于x的二阶无穷小.
由于
EMBED Equation.3 =0,因此当x(0时,sinx~x.
例1. 证明当x(0时,
~x/n.
证明：
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3 =1.
例2. 常用等价无穷小：(x(0)
关于等价无穷小，有下面两个定理.
定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o(α).
证明：必要性:设α~β, 则
lim
因此β-α=o(α),即β=α+o(α).
充分性: 设β=α+o(α),则
lim
因此α~β.
定理2 设α~α /, β~β /且limβ//α/存在,则lim
=lim
.
证明： lim
=lim(
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 )=lim
·lim
·lim
= lim
.
注：(1)由定理2在求极限时，分子或分母可用一个与它等价的无穷小代换后再求极限.
(2)代换时一定要整个乘积因子代换，切不可对含有和差的因子内局部代换.(见例6)
例3. 求
=
EMBED Equation.3 =2/5.
例4. 求
解：当x→0时,sinx~x,无穷小x3+3x与它本身显然是等价的,所以
＝
＝
例5. 求
=
EMBED Equation.3 =2;
例6. 求
EMBED Equation.3
解：
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =1/2.
注:本例中tanx不能用sinx代换.
例7.
EMBED Equation.3
解：原式=
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =-3
注：此时cosx-1作为分子的一个乘积因子可以用代换，
和
作为分母的一个乘积因子可以用相应的等价无穷小代换.
作业: 高等数学A类练习册第七节 课本P59 eq \o\ac(○,1)— eq \o\ac(○,5)
教学后记：本节内容介绍的是无穷小的比较特别注意等价无穷小以及等价无穷小求极限的原理。
教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编
《高等数学典型题精解》 陈兰祥编
《高等数学》 同济大学应用数学系主编
思考题：
讲授内容：§1-8 函数的连续性与间断点
教学目的与要求：
1、理解函数连续，左连续、右连续的概念.
2、掌握函数几种常见间断点的类型.
重难点：重点——函数连续的两种等价定义，利用左右极限讨论函数的连续性.
难点——函数间断点的分类原则.
教学方法:讲授法
教学建议：函数间断点的分类原则的关键是根据左右极限来分的.
学时：2学时
教学过程:
一、函数的连续性:
1. 增量：设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差u2－u1叫做变量u的增量，记Δu＝u2－u1 ．增量Δu可以是正的，也可以是负的.
2. (连续的)定义：设函数y＝f(x)在点ｘ0的某一邻域内有定义，如果当Δx=x-x0(0，对
应的函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)(0，即
Δy＝
[f(x0＋Δx)－f(x0)]=0
那么就称函数y=f(x)在点x0连续．
令x=x0+Δx，则当Δx(0时x(x0，因此有
[f(x)-f(x0)]=0，即
f(x)=f(x0)，于是: 设函数y＝f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
f(x)=f(x0)
那么就称函数f(x)在点x0连续.
由函数f(x)当x→x0时极限的定义可知，上述定义可用“ε－δ”语言表达如下：
设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，若(ε>0，(δ>0，当|x－x0|<δ 时,有
|f(x)－f(x0)|<ε,
那么就称函数f(x)在点x0连续.
3. 左右连续:
如果
f(x)=f(x0－)存在且f(x0－)=f(x0)，就说函数f(x)在点x0左连续,
如果
f(x)=f(x0+)存在且f(x0+)=f(x0)，就说函数f(x)在点x0右连续.
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续.
例1. 设f(x)对于一切的正实数x1、x2适合等式f(x1·x2)= f(x1)+ f(x2),且f(x)在x=1处连续.证明函数f(x)在任意点x0(x0>0)处连续.
证明：设x1=1,x2为任意正实数, 则:
f(x2)= f(1)+ f(x2),
所以f(1)=0.
又f(x)在x=1处连续，
f(1+Δx)=f(1)=0.
于是对任意的实数x0，有
f(x0+Δx)=
f[x0(1+Δx/x0)]=f(x0)+
(1+Δx/x0)=f(x0)+f(1)=f(x0).
所以f(x)在任意点x0处连续.
例2. 设f(x)=
EMBED Equation.3 为连续函数,试确定a和b的值.
解： f(x)=
由
f(x)=1，
f(x)=a+b，由连续有a+b=1;
由
f(x)=-1，
f(x)=a-b，由连续有a-b=-1;
所以a=0,b=1.
例3. f(x)=
讨论函数在x=1和x=2处的连续性.
解：当x=1时,
f(x)=1,
f(x)=1,且f(1)=1, 所以函数在x=1处连续.
当x=2时,
f(x)=5,
f(x)=4, 所以函数在x=2处间断.
例4. f(x)=
试确定a,b的值,使f(x)在x=1处连续.
解：由于
(
)=0，所以
(a+b)x+b=a+2b=0，即a=-2b.
于是
f(x)=
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 =-2b.
由连续有 b=-2,a=4.
注：凡是这类确定参数的问题，通常由左右极限存在且
确定一个或几个包含参数的等式，然后解出参数的值.
二、间断点及其分类
设函数f(x)在Ů(x0)内有定义.如果f(x0)有下列三种情形之一：
1) 在x=x0没有定义；
2) 虽在x=x0有定义,但
f(x)不存在；
3) 虽在x=x0定义,且
f(x)存在,但
f(x)≠f(x);
则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.
例5. 正切函数y=tanx在x=π/2处没有定义,所以点x=π/2是函数tanx的间断点.
因
我们称x=π/2为函数tanx的无穷间断点;
例6. 函数y=sin1/x在点x=0没有定义;当x→0时,函数值在－1与+1之间变动无限多次,所以点x=0称为函数sin1/x的振荡间断点.
例7. 函数y=
在点x=1没有定义,所以函数在点x=1为不连续,但这里如果补充定义:令x=1时y=2,则所给函数在x=1成为连续.所以x=1称为该函数的可去间断点. (图(a))
图(a)
图(b)
例8. 函数
y=f(x)=
解：这里
但f(1)=1/2, 所以
≠f(1).
因此点x=1是函数f(x)的间断点. 但如果改变函数f(x)在x=1处的定义:令f(1)=1,则f(x)在x=1成为连续.所以x=1也称为该函数的可去间断点.(图(b))
例9. 函数
f(x)=
解：这里当x→0时,
EMBED Equation.3
左极限与右极限虽都存在,但不相等, 故极限
不存在, 所以点x=0是函数f(x)的间断点.
因y=f(x)的图形在x=0处产生跳跃,我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点.
由此通常把间断点分成两类：
如果x0是函数f(x)的间断点,且左极限f(x0－)及右极限f(x0+)都存在,那末x0称为函数f(x)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.
在第一类间断点中,左、右极限相等者称为可去间断点,不相等称为跳跃间断点.
无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点.
间断点的分类：
例10. 设f(x)=
EMBED Equation.3 ,讨论f(x)的连续性.
解：f(x)=
x=0为无穷间断点. f(x)在(-∞,0)U(0,+∞)内连续.
注：由极限或其它形式给出的函数，首先想法将其表示为分段函数再来讨论.
例11. 设f(x)=
EMBED Equation.3 ,确定f(x)的定义域及连续区间.
解：当x=0时，函数无定义;
当|lnx2|<1，即:1/
<|x|<
时，f(x)=1;
当|lnx2|>1，即:|x|>
或|x|<1/
时，f(x)=0.
当|x|=±
时，f(x)=1/2;
当|x|=±1/
时，函数无定义.
函数的定义域为{x|x∈R,x≠0,x≠±1/
}.
连续区间为:(-∞,-
),(-
,-1/
),(-1/
,0),(0,1/
),(1/
),(
,+∞).
作业: 高等数学A类练习册第八节 课本P64—P65 eq \o\ac(○,2)— eq \o\ac(○,5)
教学后记：本节内容函数的连续性，间断点的定义，间断点的分类，同学们接受容易。
教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编
《高等数学典型题精解》 陈兰祥编
《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社
《高等数学》 同济大学应用数学系主编
思考题：
确定
的值使
在
处连续.
讲授内容：§1-9 连续函数的运算与初等函数的连续性
教学目的与要求：1、掌握连续函数的四则运算.
2、了解反函数，复合函数的连续性.
3、理解初等函数连续性的概念，并能利用这一性质求极限.
重难点：难点——反函数、复合函数的连续性.
教学方法:讲授法
教学建议：注意分段函数分界点处的连续性往往要根据定义来判断的.
学时：1学时.
教学过程:
一、连续函数和、差、积、商的连续性
定理1. 设函数f(x)和g(x)在点x0连续，则f±g, f(g, f/g(g(x0)≠0)都在点x0连续.
二、反函数和复合函数的连续性：
定理2. 如果函数y=f(x)在区间Ix是单调增加(或单调减少)且连续，那么它的反函数x=φ (y)也在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加(或单调减少)且连续.
证明：(单调性)设y=f(x)在Ix上单调增加，即当x10, (x([a,b], 有|f(x)|≤M.且至少有一点
∈[a,b],使
是f(x)在[a,b]上的最大值，即
EMBED Equation.DSMT4 ；又至少有一点ξ2∈[a,b],使f(ξ2)是f(x)在[a,b]上的最小值.(图(a))
图(a)
图(b)
注：(1)
，
，使
，
(2)
，
，
有
.
(3) 函数在开区间上连续或在闭区间上有间断点,则函数在此区间上不一定有界,也不一定有最大值和最小值.即函数在闭区间上连续是函数在此区间上有界和有最大值和最小值的充分条件.
例如：f(x)=
在[0,2]上不连续,虽有界,当无最值.(图(b)).
零点定理与介值定理
定理2(零点定理)设函数f(x)(C[a,b]，f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)<0)，那么开区间(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ0,b>0,至少有一个正根,并且不超过a+b.
证明：设f(x)= x-asinx-b, 则f(x)([0,a+b], 且f(0)=-b<0, f(a+b)=a(1-sinx)≥0.
当sinx=1时, 则方程有根x=a+b;
当sinx≠1时, 则由零点定理知函数f(x)在(0,a+b)有零点, 从而方程在(0,a+b)有根;
因此方程至少0有一个不超过a+b的正根.
例2. 设函数f(x)对于[ a,b]上的任意两点x、y,恒有|f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常,且
f(a)( f(b)<0,证明:至少有一点ξ((a,b),使得f(ξ)=0.
证明：设x, x+Δx([a,b] (当x=a时, Δx>0,当x=b时, Δx<0),则
(ε>0, 令δ=ε, 当|Δx|<δ时, 有|f(x+Δx)-f(x)|≤L|Δx|
本文档为【高等数学A教案《高等数学》（A）教案第一章】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483