数学导数的应用典型错误解析

导数的应用典型错误解析 广东东莞市常平新星高级中学 夏文凯 导数作为一种工具，在解决数学问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极植、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。 一、导数的定义理解不清 例1. 已知函数 ，求 错解：因为 剖析：错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清，导数 函数在某一点 处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量△x必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是 ， 等。 二、 为极值的充要条件理解不清 例2. 函数 在 处有极值10，求a、b的值。 错解： ，由题意知 ，且 即 ，且 解之得 或 剖析：错误的主要原因是把 为极值的必要条件当作了充要条件， 为极值的充要条件是 且 附近两侧的符号相反，所以后面应该加上： 当 时 在 附近两侧的符号相反， 当 时， 在 附近两侧的符号相同， 所以 舍去。 ∴（ 时， 的图象见下面左图， 时， 的图象见下面右图。） 三、函数的单调区间不完善 例3. 求函数 的单调增区间。 错解：由题意得 又因为函数的定义域是 所以函数的单调递增区间是（0，1）和（1， ）。 剖析：错解错在对函数在 处是否连续没有研究，显然函数在 处是连续的，所以函数的单调递增区间是 。（函数的图象见下图）对于 （或 ）的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率下结论。 四、函数单调的充要条件理解不清 例4. 已知函数 在 内单调递减，求实数a的取值范围。 错解： ，由函数 在 内单调递减知 在 内恒成立 即 在 内恒成立 因此 剖析：错误的主要原因是由于对函数 在D上单调递增（或递减）的充要条件是 （或 ）且 在D任一子区间上不恒为零没有理解。而当 时 在 恒成立，所以不符合题意，舍去。 五、求函数的最值没有考虑函数的不可导点。 例5. 求 在 上的最大值和最小值。 错解：由题意得 令 得 ∴当 和3时，函数的最大值是 当 时，函数的最小值是1 剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得。所以后面应该加上：在定义域内不可导的点为： ∴当 和3时，函数的最大值是 当 或2时，函数的最小值是0 函数 的图象如图 六、求函数的极值没有考虑函数的不可导点 例6. 求 在 上的极值。 错解：由题意得 令 ，得 当 时， 在 附近两侧的符号相反，左正右负 ∴ ，是函数的极大值点。 剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的极值可以在定义域内导数为零的点或不可导点取得。所以后面还应该加上：在定义域内不可导的点为： 经计算， 在 附近两侧的符号相反，左负右正 在 附近两侧的符号相反，左负右正 和 是函数的两个极小值点 ∴函数的极大值为 极小值为 （函数的图象见上图） 年级 高中 学科 数学 版本 期数 内容标题 　　导数的应用典型错误解析 分类索引号 　　G.622.46 分类索引描述 　　辅导与自学 主题词 　　导数的应用典型错误解析 栏目名称 　专题辅导 供稿老师 审稿老师 录入 李红英 一校 陈丽娜 二校 审核 PAGE _1210491629.unknown _1210492729.unknown _1210493008.unknown _1210493076.unknown _1210493164.unknown _1210493180.unknown _1210493219.unknown _1210493225.unknown _1210493186.unknown _1210493167.unknown _1210493130.unknown _1210493134.unknown _1210493120.unknown _1210493043.unknown _1210493052.unknown _1210493059.unknown _1210493049.unknown _1210493029.unknown _1210493039.unknown _1210493017.unknown _1210492828.unknown _1210492951.unknown _1210492972.unknown _1210492986.unknown _1210492967.unknown _1210492921.unknown _1210492932.unknown _1210492833.unknown _1210492791.unknown _1210492799.unknown _1210492821.unknown _1210492795.unknown _1210492765.unknown _1210492781.unknown _1210492756.unknown _1210492484.unknown _1210492639.unknown _1210492695.unknown _1210492720.unknown _1210492724.unknown _1210492700.unknown _1210492671.unknown _1210492688.unknown _1210492647.unknown _1210492520.unknown _1210492537.unknown _1210492631.unknown _1210492529.unknown _1210492506.unknown _1210492516.unknown _1210492491.unknown _1210492366.unknown _1210492426.unknown _1210492451.unknown _1210492456.unknown _1210492442.unknown _1210492402.unknown _1210492415.unknown _1210492379.unknown _1210492158.unknown _1210492296.unknown _1210492356.unknown _1210492164.unknown _1210491662.unknown _1210491681.unknown _1210491643.unknown _1210491451.unknown _1210491526.unknown _1210491600.unknown _1210491614.unknown _1210491622.unknown _1210491608.unknown _1210491580.unknown _1210491586.unknown _1210491550.unknown _1210491478.unknown _1210491501.unknown _1210491520.unknown _1210491484.unknown _1210491462.unknown _1210491468.unknown _1210491456.unknown _1210488123.unknown _1210488238.unknown _1210491427.unknown _1210491442.unknown _1210491414.unknown _1210488144.unknown _1210488158.unknown _1210488129.unknown _1210487928.unknown _1210488030.unknown _1210488068.unknown _1210487941.unknown _1210487898.unknown _1210487922.unknown _1210487888.unknown