知识点导数

导数 一 导数的概念 （一）导数的定义 1.导数的原始定义：设函数 在 处附近有定义，如果 时， 与 的比 (也叫函数的平均变化率)有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 在 处的导数，记作 ，即 2导函数的定义：如果函数 在开区间 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 , 称这个函数 为函数 在开区间内的导函数，简称导数。 （二）导数的实际意义： 1.导数的几何意义： 是曲线 上点( )处的切线的斜率因此，如果 在点 可导，则曲线 在点( )处的切线方程为 2.导数的物理意义： 导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。 （三）概念部分题型： 1.利用定义求函数 的导数 主要有三个步骤： (1)求函数的改变量 (2)求平均变化率 (3)取极限，得导数 ＝ EMBED Equation.3 2.利用导数的实际意义解题 主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。 二 导数的运算 （一）常见函数的导数 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． （二）导数的四则运算 1．和差： 2．积： 3．商： （三）复合函数的导数： 1．运算法则复合函数导数的运算法则为： 2．复合函数的求导的方法和步骤： 求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。 求复合函数的导数的方法步骤： (1)分清复合函数的复合关系，选好中间变量 (2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数 (3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数 三 导数的应用 （一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。 1.导数和函数单调性的关系： (1)若 (x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数， (x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； (2)若 (x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数， (x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： ①确定 的定义域； ②计算导数 ； ③求出 的根； ④用 的根将 的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内 的符号,进而确定 的单调区间： (x)>0，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间； (x)<0，则f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。 （二）利用导数求解函数极值与最值。 1.极值与最值的定义： (1)极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点 (2)极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0) 就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 (3)函数的最大值和最小值:在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。 2.极值的性质： (1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。 (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 3.判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的极大值点， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是极小值 4.求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值 5.利用导数求函数的最值步骤: ⑴求 在 内的极值； ⑵将 的各极值与 、 比较得出函数 在 上的最值 （三）利用导数求解 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 不等式： 主要方法为将不等式 左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数 ，通过对 求导，根据 的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明。 四 定积分与微积分基本原理 (理科考查，文科不考查) （一）曲边梯形面积与定积分 1、定积分定义：设函数 在 上有界(通常指有最大值和最小值)，在 与 之间任意插入 个分点， ，将区间 分成 个小区间 EMBED Equation.DSMT4 ，记每个小区间的长度为 ，在 上任取一点ζi,作函数值 与小区间长度 的乘积 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，并求和 记λ=max{ ； },如果当λ->0时,和s总是趋向于一个定值,则该定值便称为函数 在 上的定积分,记为 ，即 EMBED Equation.3 其中, 称为函数 在区间 的积分和. 2、定积分的几何意义 定积分 在几何上,当 时,表示由曲线 、直线 、直线 与 轴所围成的曲边梯形的面积；当 时，表示由曲线 、直线 、直线 与 轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线 、两条直线 、 与 轴之间的个部分面积的代数和 （二）微积分基本定理 1、基本定理 若函数 在 上连续，且存在原函数 ，即 ，则 在 上可积，且 这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成 二、常用的不定积分公式： 1. 2. ( ) 3. 4. ( ， ) 5. 6. 7. 8. 9. 10. 12. 13. 14. 15. 16. 本节主要考察利用积分的公式熟练的计算。 _1113928392.unknown _1285774887.unknown _1285775136.unknown _1285775299.unknown _1285775601.unknown _1285775666.unknown _1386912734.unknown _1386923127.unknown _1286003997.unknown _1285775680.unknown _1285775690.unknown _1285775673.unknown _1285775626.unknown _1285775652.unknown _1285775612.unknown _1285775398.unknown _1285775586.unknown _1285775378.unknown _1285775227.unknown _1285775267.unknown _1285775273.unknown _1285775258.unknown _1285775182.unknown _1285775207.unknown _1285775174.unknown _1285775095.unknown _1285775104.unknown _1285774955.unknown _1285775082.unknown _1285774894.unknown _1261584524.unknown _1261595802.unknown _1285774863.unknown _1285774880.unknown _1285774851.unknown _1261589229.unknown _1261589236.unknown _1261589252.unknown _1261585351.unknown _1261589168.unknown _1248591687.unknown _1248592032.unknown _1260874949.unknown _1261572416.unknown _1261572434.unknown _1248592115.unknown _1248591916.unknown _1248591964.unknown _1248591821.unknown _1178738308.unknown _1248591256.unknown _1248591476.unknown _1248591516.unknown _1179819119.unknown _1179820885.unknown _1185274976.unknown _1179820497.unknown _1179473997.unknown _1143870613.unknown _1175455594.unknown _1175456104.unknown _1175485305.unknown _1175485472.unknown _1175485605.unknown _1175485681.unknown _1175485510.unknown _1175485354.unknown _1175456271.unknown _1175456272.unknown _1175456119.unknown _1175456032.unknown _1175456085.unknown _1175455609.unknown _1158943452.unknown _1175455516.unknown _1175455547.unknown _1158943540.unknown _1152559617.unknown _1158943369.unknown _1158943294.unknown _1158943306.unknown _1152561059.unknown _1143870629.unknown _1152475188.unknown _1143870602.unknown _1143870585.unknown _1143870570.unknown _1112936115.unknown _1112939535.unknown _1112984743.unknown _1112984770.unknown _1112983745.unknown _1112984105.unknown _1112978346.unknown _1112939705.unknown _1112962562.unknown _1112938363.unknown _1112938436.unknown _1112938549.unknown _1112938398.unknown _1112937048.unknown _1112938326.unknown _1112937297.unknown _1112936780.unknown _1112935690.unknown _1112935770.unknown _1112935877.unknown _1112936025.unknown _1112935809.unknown _1112935828.unknown _1112935705.unknown _1112935649.unknown _1112935671.unknown _1112935488.unknown _1112858154.unknown