学生研究与讨论
---------关于微积分中值定理的讨论
彭俊杰
（重庆邮电学院计算机学院信息与计算科学专业2000级）
第一章 微分中值定理
由于解决实际问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的需要，人们引进了微分学的概念，并对它进行研究发展，使之成为一门系统化、全面化的理论。而且微分学也随之成为解决实际问题中一种重要的工具之一，其应用也越来越广泛。
而微分学中的一个重要定理——微分中值定理——是微分应用的理论基础，是微分学的核心理论。所有微分中值定理的重要性也是显而易见的。
而这一章我们就是要讨论微分中值定理及其相关内容。主要讲了四个方面：第一节主要是从讲述微分中值定理的历史演变过程中引出微分中值定理的三种形式，并给出它们各自的一种证明方法；第二节是从两个方面研究微分中值定理的推广：n元函数的微分中值定理和高阶微分中值定理；第三节主要是研究复函数中的微分中值定理，得到与实分析中相对应的微分中值公式；第四节是在共轭解析函数中探讨微分中值定理，在引进共轭解析函数的定义后对共轭解析函数的中值定理进行初步的探讨。
第一节 微分中值定理的历史演变及其简介
微分中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称。而且微分中值定理不是一下子全部被人类认知，它的完整出现经历了一个过程，是众多数学家共同研究的成果。从费马定理到柯西中值定理，是一个逐步完善、不断向前发展的过程，而且随着相关数学理论知识的不断完善，微分中值定理也随之得以完整起来，证明方法也出现了多样化。这一节主要是从讲述微分中值定理的历史演变入手，引出微分中值定理的三个公式，并给出它们各自的一种证明方法。
§1.1： 微分中值定理的历史演变
微分中值定理，是微分学的核心定理，是研究函数的重要工具，是沟通函数与导数的桥梁，历来受到人们的重视。
微分中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称。
微分中值定理有着明显的几何意义，以拉格朗日定理为例，它
表
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明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。”从这个意义上来说，人们对微分中值定理的认识可以上溯导公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中，得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，求出抛物线弓形的面积。希腊著名数学家阿基米德（Archimedes，公元前287—前221）正是巧妙地利用这一结论，求出抛物线弓形的面积。意大利卡瓦列里（Cavalieri，1589—1674）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3用基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。
人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了，按历史顺序：1637年，著名法国数学家费马（Fermat，1601—1665）在《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理，在教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。1691年，法国数学家罗尔（Rolle，1652—1719）在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理。1797年，法国数学家拉格朗日（Largrange，1736——1813）在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西（Cauchy，1789——1857）。他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》、（1823年）、《微分计算教程》（1829年），以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构。他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格的证明了拉格朗日定理。又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理——柯西定理。从而发现了最后一个微分中值定理。
§1.2：微分中值定理简介
1.2.1 引理：费马定理
费马作为微积分的创立者，他在研究极大和极小问题的解法时，得到统一的解法“虚拟等式法”，从而得出原始形式的费马定理。
所谓的虚拟等式法，可以用下例加以说明。费马在求得一个长度为的线段，如果划分为两个线段，
，使他们的积为最大时，采用以下方法：用代替，得到表达式
并与表达式
进行比较，得到虚拟等式：
即
。
再将所得各项除以
，得到
。然后去掉仍含
的项，再将虚拟等式化为真正的等式
。从而得到
，使
为最大。
费马的“虚拟等式法”可能基于一种非常直观的想法，如果
为的极大值，那么从直观上来看，
在
附近值变化很小。当
很小时，和
差很小。用现代语言来说，对于函数
，让自变量从变化到
，当
为极值时，和
的差近似为0，用e除以虚拟等式，
。就得到函数极值点的导数值为0，这就是我们在高等数学中得到的费马定理：函数
在
处取得极值，并且可导，则
＝0。
这里应特别指出：费马给出以上结论，微积分还处于初创阶段，并没有明确导数、极限连续的概念，用现代的眼光来看，其论断也是不严格的。我们现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新创造的。
1.2.2 罗尔定理
罗尔在1691年发表的论著《方程的解法》给出了“在多项式
的两个相邻根中，方程
至少有一个实根。”这是定理“
在
上连续，在
上可导，并且
，则必然存在一点
，使
的特例。也就是以上定理被称为罗尔定理的原因。
最初罗尔定理和现代罗尔定理不仅内容有所不同，而且证明也大相径庭，它是罗尔利用纯代数理论方法加以证明的，和微积分并没有什么联系。我们现在看到的罗尔定理，是后人根据微积分理论重新证明，并把它推广为一般函数，“罗尔定理“这一名称是由德罗比什在1834年给出，并由意大利数学家贝拉维蒂斯在1846年发表的论文中正式使用的。
1.2.3 拉格朗日定理
拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理。它是指：“
在
上连续，在
上可导，则存在一点
，使
。”这一定理是拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出的。它最初形式为：“函数
在
和
之间连续，
的最大值为A，最小值为B，则
必取A、B中一个值。”
历史上拉格朗日定理证明有三个，最初的证明是拉格朗日在《解析函数论》中给出的。
在证明中，拉格朗日从他在《解析函数论》中的基本观点：
出发，证明了如下结论：“z在
上变化，若
为正值，则
为正值”。在此基础上，他给出辅助函数
，其中
时，N
0。由于
，故
。利用反微分法，
，让z＝a，z＝b，拉格朗日得到如下不等式，
利用相同的方法，拉格朗日得到另一不等式
故，
。
令m=0，得
，
。
由此，
，
为N，M中间的一个值。
由于
为连续的，则必有
，使
。
这是关于微分中值定理的第一个证明。我们可以发现，这个证明很大程度上建立在直观基础上，依赖于这样的一个事实：当
，
在
上单调增加。所用的条件也比现在强，现代中值定理只须
在
上可导，并存在连续导数。并且所用连续概念，也是直观的，“假设变量连续地变化，那么函数将会产生相应变化，但是如果不经过一切中间值，它就不会从一个值过渡到另一个值。”
十九世纪初，在以柯西等为代表的微积分严格化运动中，人们给出了极限，连续，导数的严格定义，也给拉格朗日定理以新的证明，柯西在《无穷小计算概论》中给出了新的证明。
作为这个证明的出发点，柯西首先证明了：“实数
和
保持同号，且n个实数
…的最大值为g，最小值为R，则
必为R和g中间的一个值。”然后他从新的导数定义
出发，，让
为任意小的正数，让i的绝对值小于
，则对于
，
必为
和
中间的一个值，然后在
之间插入n－1个x的值
，则差
分为n个小部分
，并为同号，并且使它们的绝对值小于
，设
的最大值为A，最小值为B。柯西证明：
，
，…，
的值分别介于
和
之间。由预备定理，则也介于
和
之间。由于
的任意性，则介于A和B之间。由于
在
为连续，柯西利用它给出中间值定理，他证明了：必有一个
，使
。
从以上证明，我们可以看到柯西的定理证明比拉格朗日的证明进步多了。
现代形式的拉格朗日定理，是由法国数学家O.博内（O.Bonnet，1819—1892）在其著作《Cours de Calcul Differential et integral》中给出的，他不是利用
的连续性，而是Rolle定理，对拉格朗日定理加以重新证明。达布（Darboux，1842—1917）则利用这个证明了：当
仅在Riemann-Darboux可积时，
。从而使微分中值定理成为微积分的重要研究工具。
1.2.4 柯西定理
柯西定理被认为使拉格朗日定理的推广。它是指：设
和
在
上可导，并且
，则必有一个值
EMBED Equation.DSMT4 ，使
。
柯西在《微分计算教程》中给出最初的柯西定理：“
和
在
上有连续的偏导数，并且
在
上不为零，这时对于某一点
EMBED Equation.DSMT4 ，有
。”
柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理很相似。首先他从导数
的正、负号意义出发，证明了
>0时，
在
上是单调增加，有
>
。由此他设
>0，且
＝
＝0。设A和B商
在
上的最大值和最小值，柯西证明了：
，
，则
和
在
上一个非减，一个非增，二者在点
外的值均为零。可知，
，
。因此
，对
应用中间值定理，必得点
使
。
微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。例如他利用微分中值定理给洛必达法则以严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。
人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间，它从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段。人们正是在这一发展过程中，逐渐认识到它们的内在联系和本质。当O．博内通过设辅助函数的方法，利用罗尔定理证明了拉格朗日定理，后人又利用拉格朗日定理证明了罗尔定理，微分中值定理就是形成浓缩型的普遍化，而这种普遍化如同美国数学家克拉默所说：“在对数学史上任一时期中人们对数学作出贡献进行评价的，那些能把过去统一起来而同时又为未来的拓广开辟了广阔道路的概念，应当算作是最为深刻的概念。”从广义上讲，微分中值定理就是这样的概念。
第二节 微分中值定理的推广
上节介绍的微分中值定理都是一元微分学和平面领域上的微分中值定理，而在实际应用上，很多情况下都要突破这些局限，并不都是一元和平面领域的，为了充分利用微分中值定理这个重要工具，这就需要我们把它进行推广，使之也能够在n元微分学和n维空间下得以使用。这一节正是把微分中值定理推广到n元函数和n维欧氏空间，使微分中值定理能够更广泛的应用更多的领域，发挥其更大的作用。
§2.1
元函数的微分中值定理
一元微分学中的中值定理都是说明一元函数在一区间两端的值和它在区间内某点的导数之间的关系，它指出导数深刻的性质，是一元微分学的理论基础。在实际上有广泛的应用。现将其推广到
元函数，即讨论
元函数的微分中值定理。
我们考虑由
维向量空间E到实数R（一维空间）的映射：
若
为开的，点
，我们约定
。
2.1.1 n元函数的拉格朗日公式
定理1 设E为n维，
为开的，
在G上可微，又设点
和点
，且联结点
与M的线段
位于G内，则在此线段上有一点
，使
（1）
证 联结点
与M的线段
的方程为
，…
，
，我们将
限制于线段
上，这样就把所讨论的问题归结为一维的情况，为此在线段
上定义一个函数
如下：
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 （
）
显然
对函数
在区间[0，1]上应用微分中值定理则有
（
）
于是再回到
，则有
（
） （2）
（2）式是n元函数的拉格朗日公式另一种形式，若记点
…
。
由于0<
<1，所以点
位于线段
上，且介于
和M之间，于是（2）又可表示为
[证毕]
在定理中，若n＝1时，则由（2）式就有
（
）
或
，
介于
和
之间。
这就是一元函数的拉格朗日公式。
2.1.2 n元函数的罗尔公式
当
时，（2）就成为
0
（
）
这就是n元函数的Rolle定理的公式。
推论：设
在域G上可微，且对于任一点
…
都有
，
…，n则在G上
为一常量。
2.1.3 n元函数的柯西公式
定理2
设E是n维的，
，
在闭域D上连续，并且在开域D内关于个变元具有连续的偏导数；
点
，
且线段
在G之内。
， 这里
则有
（
） （3）
或
＝ （
）
证 由条件
易知
假设不然，有
，我们可以令
于是有G（1）＝G（0）＝0，则在区间[0，1]上对函数G（t）应用Rolle定理，故有00，将（2）式改为
，其中
（3）
如果
，则由连续函数的介值性必存在
使
，从而等式得证。如果，则由于
>0，必存在使得恒有
，
，若不然，则在
的任何闭子区间
上都有
使得
，依定积分定义便有
＝0，这与
>0矛盾，由于，今改（3）为
（4）
注意到
，必有
（5）
否则由>0及，，就有
＝＋
＋
>0，矛盾。今证存在
，使
，若不然，则在
上恒有
及
，从而
，故
，这与（5）式矛盾，同理可证
的情形。总之，存在
使等式成立。
§1.2 积分第二中值定理
若函数
与
在
上可积，
单调，则存在
EMBED Equation.DSMT4 使得：
若函数
单调递增，且不为负，则
EMBED Equation.DSMT4
若函数
单调递减，且不为负，则
EMBED Equation.DSMT4
现就
证明如下：
先假定
在
上有连续导数，用分部积分公式，得
＝
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 （*）
这时考虑到
，
，（*）式的右边不大于
，但也不小于
，因此可以找到
EMBED Equation.DSMT4 使得等式
成立；
现在，如果
是非负不减函数，一般说来它是间断的，那么它在
上可积，并且存在着连续可导的非负不减函数序列
，有
（
）
根据已证明的事实，对任一n，可以找到
使得
（**）_
在序列
的子列，但由于（**）式右边的积分关于下限的连续性和下面事实成立：
（
）
，令
，对（**）式取极限，
获证。
第二节 积分中值定理中间点的渐近性
在积分中值定理中，中间点的渐近性一般是因区间长度的不同而不同，不过主要是有两种情况：当区间长度趋于零或趋于无穷大。因此本节分别讨论两种情况下的积分中值定理中间点的渐近性。
§2.1 当区间长度趋于零时中间点的渐近性
定理1 如果
是区间
上的连续函数，那么对于
，必存在
使得
（1）
定理 2 如果函数
是区间
上的连续函数，在
可微，且
，那么上述公式（1）中的
必满足
这是当 时的渐近性态。
定理 3 如果函数
在区间
上连续，在
处
阶可微，且
（
），
。那么对于公式（1）中的
必满足
这是对定理2的推广。
定理 4 设与
是区间
上的连续函数，且对于
，
或
成立，那么必存在
使得
（2）
定理 5 设函数
与
满足定理4的条件，且
，
，这里
且
是两个常数。那么，公式（2）中的
必然满足
（3）
证明 不失一般性，我们假定
且
，显然
>0。定义
根据罗必达法则，并对函数使用公式（1），我们有
（4）
另一方面，由定理4，及对函数
使用公式（1），我们又得到
（5）
比较（4）和（5），我们有
从而公式（3）成立。
定理 6 设函数
在区间
上连续，在
处
阶可微，且且
（
），
。如果满足定理5的条件，那么公式（2）中的
必满足
证明 多次利用罗必达法则，我们有
从而由定理5可得结论成立。
显然，定理5和定理6是比定理3更一般的结论。此外，定理5对在
处不可微的函数仍然有效。
例如，设
，
，
满足定理5的条件，那么公式（3）仍然成立。
§2.2 当区间长度趋于无穷大时中间点的渐近性
由§2.1中的定理2可得，当积分区间趋向无穷大时，可得到类似定理：
定理 A 设
在
上连续，且
，那么对于积分中值定理所确定的
，有
接下来将给出具有十分普遍性的结果。
定理 1 设
在上连续，且存在
，使，而
在
上可积且不变号，且存在
使，则对于由推广的积分中值定理确定的数
，我们有
证明 由
知，对任意，存在
使当时，
，故
所以
（1）
由
知，对任意
，存在
使当
时
。
由于
不变号，不妨设
，则当
时，
，从而
与前面类似可证
EMBED Equation.DSMT4 （2）
从而
（3）
由于
而
在上连续，故当
时，
。
另一方面，由推广的积分中值定理，
。
所以
若令
，此时，
，即可得到如下的
定理2 设
在上连续，若存在
，使
，那么对于积分中值定理所确定的
，有
。
在定理2中，令
，便可得到前述的定理A。
第三节 积分中值定理的推广
与微分中值定理的推广相对应，积分中值定理也有其在某些方面的推广。而这正是本节所要讨论的问题。
本节讨论积分中值定理的推广问题。主要是从三个方面：在广义Riemann积分中的推广；在曲线、曲面积分中的推广；以及在复函数中的推广。
积分中值定理的推广也可以看着是它在广义Riemann积分、曲线曲面积分、复函数等方面的应用。只是在这些推广中，为了使积分中值公式能够成立，必须加入某些适当的约束条件。
§3.1 在广义Riemann积分中推广
定理1 （关于无限区间上广义函数的广义积分第一中值定理）设
在半直线
上有界连续，
使
上的非负函数，并且
，则
必存在一有限点
满足
（1）
证明 不妨设
，
，那么由
的非负性可知
如果
＝0，由上式可知
＝0
此时可在
上任意取定一点作为
，便有
以下我们设
EMBED Equation.DSMT4 ，由于
（
）
易知
>0，并不妨设
（当
时，
为常值函数，命题的结论也是显然的）。
如果
，由
可知存在
EMBED Equation.DSMT4 满足
，
那么
从而有
。
如果有
，同理可证亦有
EMBED Equation.DSMT4 使得
。
又若
，此时在
上可取到
和
满足
。
那么依据连续函数的介值定理，在
和
之间必然存在一点
EMBED Equation.DSMT4 使得：
因此
当然也满足（1）式，证明完毕。
定理2 （关于无界函数广义积分的第一中值定理）设
在区间
上连续有界，
在
上非负（无界），
EMBED Equation.DSMT4 ，那么对于
，必然存在一点
EMBED Equation.DSMT4 ，使得
以上定理的政法可以采用类似定理1中的办法给出证明。事实上，可令
，
，因为
在
上非负，所以有
那么当
时，定理2显然成立。
对于
的情形，不妨设
，并分3种情形讨论。
（1）当
时，由于存在
EMBED Equation.DSMT4 ，可使得
于是有
从而使
（2）当
时，而确定的定义可知，存在
EMBED Equation.DSMT4 满足
所以
从而得
（3） 当
时，先取
，
EMBED Equation.DSMT4 适合
因为
连续，依据连续函数的介值定理，在
和
之间必然可以找到一点
EMBED Equation.DSMT4 使得
当然有
证明完毕。
§3.2在曲线、曲面积分中的推广
《数学分析》教科书中对定积分中值定理和重积分中值定理进行了深人探讨，而曲线积分中值定理和曲面积分中值定理一般没有提出来。这一小节将讨论曲线积分中值定理和曲面积分中值定理，并给出了详细的证明。这也是积分中值定理的一个应用，也可以看着是它的一个推广。
定理1 （第一型曲线积分中值定理） 若函数
在光滑有界闭曲线
上连续，则在曲线
上至少存在一点
，使
。
其中
表示曲线
的长。
证明 因为
在有界闭曲线
上连续，所以存在
，并且
，从而
由于
在
上连续，故由介值定理，在曲线
上至少存在一点
，使
从而结论成立。定理得证。
同理可证下面的定理：
定理2 （第二型曲线积分中值定理） 若函数
在有向光滑闭曲线
上连续，则在曲线
上至少存在一点
，使
其中
为有向光滑曲线
在
轴上的投影，符号
是由曲线
的方向确定。
定理3 （第一型曲面积分中值定理） 若
为
平面上的有界闭区域，
是光滑曲面
，函数
在
上连续，则曲面
上至少存在一点
，使得
其中
是曲面
的面积。
定理4 （第二型曲面积分中值定理） 若有光滑曲面
：
，
，其中
是有界闭区域，函数
在
上连续，则在曲面
上至少存在一点
，使得
其中
是
的投影
的面积。
现举例说明积分中值定理在曲线、曲面积分中的推广应用
例 证明：若
是柱准面
上
的部分，
是
上的连续函数，则
证明 设
是
在
平面的上半部分，
为
在
平面的下半部分，则
。由积分区间的可加性，有：
由于函数
在
：
上
的部分上连续，所以函数
在
上连续，根据定理4，在
上至少存在一点
，使
·
其中
表示
在
平面上的投影区域的面积，由于
关于
平面对称，所以对上述
，对应点
，又
与
的方向相反，故有：
·
其中
表示
在
平面上的投影区域的面积，又由于
关于
平面对称，所以有
＝
，
。所以有：
＝[
·
－
·
＝0
证明完毕。
§3.3 在复函数中的推广
与微分中值定理类似，积分中值定理也可以在复函数中推广，只是积分中值定理在复函数中的推广要比微分中值定理在复函数的推广要复杂些。
下文只是简单的介绍了积分中值公式在复函数中的推广，给出了复函数积分中值公式，由于证明过程比较复杂，故从略。
引理1 设函数
在区域
内解析，
为
内任意一点，则对于点
的某领域
及任意点
，存在满足条件
的点
，使得
（1）
引理2 设函数
在单连通区域
内连续，且对于
内的任意一条逐段光滑的简单曲线（一下简称围线）
，有
，则函数
（
为
内一定点）在
内解析，且
（
）
引理3 设函数
在区域
内解析，则
在
内具有各阶导数，且它们也在
内解析。
定理1 设函数
在单连通区域
内连续，且对
内任一围线
有 ：
（
），
为
内任意一点，则对于点
的某领域
及任意点
，存在满足条件
的点
，使得
（2）
其中
＝
式中
＝
（
），
是自然数。
本定理证明从略。
在定理1中令
，且
，
，即可得到以下推论：
推论1 设函数
，
在单连通区域
内连续，且对
内任一围线
有
，
，
为
内任意一点，则对于点
的某领域
及任意点
，存在满足条件
的点
，使得
其中
，
。
定理2 设函数
在单连通区域
内连续，且对
内任一围线
有 ：
（
），
为
内任意一点，则对于点
的某领域
及任意点
，存在满足条件
的点
，使得
由定理2我们可得到
推论2 设函数
，
在单连通区域
内连续，且对
内任一围线
有
，
，
为
内任意一点，则对于点
的某领域
及任意点
，存在满足条件
的点
，使得
特别地当
EMBED Equation.DSMT4 1时，有
推论3 设函数
在单连通区域
内连续，且对
内任一围线
有
，
为
内任意一点，则对于点
的某领域
及任意点
，存在满足条件
的点
，使得
说明 上述定理的证明过程都略去，证明过程可参考《甘肃教育学院学报》（自然科学版）2002年第2期《复函数积分中值公式》。
补充：中值定理在复函数的适用范围
由第一章第三节和本节的内容可知，中值定理可以推广到复函数中去，但是不是也像实函数那样，中值定理可以广泛的应用呢？答案是否定的。那么，复函数的中值定理的使用有什么条件呢？究竟在什么时候才能应用呢？这就是下面所要讨论的问题。
定理1．如果中值定理适用于一个整函数
,那么
必定是一个常数或一个一次、二次多项式。
在证明定理之前，我们指出如下的推断：
引理1．中值定理适用于常数，一次多项式和二次多项式。
证明： 引用二次多项式举例。令
,那么：
这就是我们要证明的。
现在我们可以在下面的阶段完成对定理1的证明。
由于
是一个整函数，我们仅须考虑下面的两种情况。
第一种情况：如果
是平面上的一个单叶解析函数，它肯定是一个线性
函数。
如果这不正确，
肯定是一个极点或一个本性奇点。在例1中，让
作为
的排序，那么
=
﹙
0﹚,如果
2，我们得到一个矛盾式，因为
是单叶的。
如果
是
的一个本性奇点，那么
=
，由毕卡尔定理
，
我们会得到一个矛盾式。
上面的论证证明
肯定是：
=
，
.
第二种情况：如果
是平面上的一个非单叶解析函数，那么
是一个常数或一个至少是二次的多项式或一个超越整函数。
我们已经说明了中值定理对于常数和一、二次多项式的有效性。中值定理对于三次以上的多项式和超越整函数并不适用，已足以证明定理1。
我们可以拿出三个不同的点
,
,
,使
。令
=
,
,
,分别表示相邻的点
,
,
3,令
充分小使得
是
﹙
=1,2,3﹚中的一个单叶解析函数。
当
足够小，
在
中取每个值
﹙
﹚恰好一次。
令
=
,
，
很明显,
=
在
的闭包上至少有三个逆解析分支。
集合
.从论证原理我们知道，如果
以左旋方向沿Γ移动，那么
＝
也沿着同样方向移动。并且如果
形成一个Γ的回路（
.
得到一个
的变换），那么正切方向也形成一个
的回路。
令
﹙
=1,2,3﹚,那么在复数
中至少有一个辐角主值满足
，
﹙
﹚.在普遍性损耗以外，我们假设
。
现在令
以左旋方向沿
移动，我们得到
引理2． 令
，
足够小，对于充分小的
＞0，至少存在一个点
＝
＊ 使得在
﹙
=1,2﹚两条直接切线（对应
的左旋方向）是平行的或者它们的交角小于
。
证明：对于一个任意的
Γ，设
是ω上的切线
和X轴的交角。很容易得到
的切线和X轴的交角
是
,也就是
＝
。
我们可以证明
与
的交角小于
。
与
之间的角是
－
＝
＝
由于
，我们可以选择
足够小使得
，
若
，那么︱ti︱＜1。如果
Γ，那么
EMBED Equation.DSMT4 ，
实际上
从论据
我们得到
，
因此我们有
<
+
<
.
很明显对于
与
之间的关系只有四种可能：
EMBED Equation.DSMT4 与
平行但不相同。取
＝
，
，此时引理2的推断正确。
EMBED Equation.DSMT4 与
顺向相交，换言之，他们的公共点在他们的正延长线或反延长线上。取
＝
，
，引理2的推断也正确。
EMBED Equation.DSMT4 与
头尾相交。就是说他们的交点在其中一条的正延长线和另一条的反延长线上。从上述我们得知，如果
Γ，
＝
，那么
EMBED Equation.DSMT4
让
沿着Γ以移动到同一点
，将在ⅰ﹚或ⅱ﹚中存在例子，支持引理2的推断。
与
方向相同，并且多于两个公共点，它们是同方向的切线。让ω沿Γ移动到同一点
也将在ⅰ﹚或ⅱ﹚中存在例子，使得引理2的推断正确。
据引理2，存在一个点
EMBED Equation.DSMT4 （
=1，2）使得同向切线的交角在
＊小于
或者它们平行不共线。
而且我们可以证明下面的命题：
引理3 在引理2的条件下，必定存在
，
中相邻的N1﹙
,
﹚和N2﹙
,
﹚，使得对于
Γ，连接
∩N1和
∩N2的线段不相交。
证明：令N1充分小使得在γ的Ni∩γi上的切线方向的改变足够小。﹙
=1,2﹚
当
从
沿Γ移动，令
﹣A=
EMBED Equation.DSMT4 .从
到
﹙i=1，2﹚在
中的弧的弧长显示为
.
很容易看到
是一个
上的严格递增函数。
定义 从向量
到向量
的交角被定义为左旋方向从
到
的最小正角。
很明显，
EMBED Equation.DSMT4 〔0，2π〕。
令
作为上从
到
的直切线的交角。
由于
和
顺向相交或平行但不共线,我们可以假定没有普遍性损耗,
EMBED Equation.DSMT4 .如果
=0,令
以左旋方向沿Γ从
到另一点
移动很短的距离,在
和
中对应
的两个点分别为
和
.
如果
充分小,我们有
=
EMBED Equation.DSMT4 ，
＝0
对于这些
,连接
和
的线段不相交.另外,由于他们的交角充分小(因为
充分小),
的变化大于
,这是一个假设的矛盾式.在这个例子中,很容易看到
,所以
是一个常数。
如果存在
，我们可以同样假定
.取一个足够小的正数
>0使得0<
﹢
<
。因为
，
的切线
和
都连续旋转，我们可以取
=
和
=
的充分小的邻近的N1
和N2
，使得当
=
EMBED Equation.DSMT4 N1∩
=
,
=
N2∩
=
时，我们有
<
N2中的
的切线方向改变小于
，所以
<
令
充分小，使得如果0
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ρ，那么
,
.
连接
和
，我们得到线段
。可以证实这些线段不相交。
实际上，穿过
和
和
EMBED Equation.DSMT4 的线只有一个交点。相反，存在一些值
使得
φ（
EMBED Equation.DSMT4 ）>
.
这否定了下面的推断：对于每个
,我们有
φ（
，
）<
从上面的说明很容易看出，对于任何的
EMBED Equation.DSMT4 ，在连接
和
的线段上至少有一个点，使得
。
为此存在一个足够大的中心在
的圆盘，无限包含许多导数等于零的距离点。这引出
是一个常数的结论，也是一个矛盾式。
以上的论证说明，如果
是一个至少三次的多项式或一个超越整函数，中值定理并不适用。这就是我们定理1的证明。
定理2 如果
是区域D中的解析，而且中值定理对于
适用。假定
至少三次得到某些值（重复计算），那么
是一个常数。
证明： 对定理1的证明作简单的修改即可证明此定理，从略。
因此：经典意义下的复函数中值定理仅对线性函数和二次多项式成立，也就是说，如果复函数中值定理对整函数成立，那么此整函数是常数、一次或二次多项式。
参 考 文 献
[1] 陈传璋等. 数学分析. 高等教育出版社.1983.
[2] 同济大学数学教研室. 高等数学. 高等教育出版社.1996.
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致 谢
首先，感谢我含辛茹苦的父母，没有他们支持，我不可能完成大学的学业。
本论文是在我的导师田有先老师的精心指导和悉心关怀下完成的，在这份毕业论文中无不倾注着导师辛勤的汗水和心血。在我写毕业论文的整个过程中，导师不时的对我进行认真指导，细细讲解，并给出了相当多的建议。导师的严谨治学态度、渊博的知识、无私的奉献精神、孜孜不倦的教诲使我深受的启迪。从尊敬的导师身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识，也学会了怎样去查阅资料、充分利用文献，以及怎么组织资料的能力，同时也充分感受到了导师那种严谨治学、一丝不苟的钻研态度，这种态度对我的日常生活也有很大的启示。在此我要向我的导师致以最衷心的感谢和深深的敬意。
并且，向所有在毕业设计过程中关心和帮助过我的老师、同学表示由衷的谢意！没有你们无私的帮助，我也不可能完成整个毕业设计以及论文的写作。真心谢谢你们。
衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位老师、教授！
彭俊杰
2004年6月
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