掌握含绝对值不等式的解法提升学生解题才能 西藏拉萨●潘虹在实行新课程改革后，在高二数学选修4—5不等式选讲中，有一类含绝对值不等式的解法是
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。这类题目如果学生掌握了基本的解题方法，就能提升解题才能，轻松获得分数。现举例说明如下：例题1：已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ-2+ｘ+3，求不等式的解集ｆ（ｘ）＞5。解法一：∵ｘ-2的零点为2，ｘ+3的零点为-3，∴ｆ（ｘ）＝ｘ-2+ｘ+3分为三段。①当ｘ≤-3时，ｆ（ｘ）＝-ｘ+2+（-ｘ-3）＝-2ｘ-1，由ｆ（ｘ）＞5，∴-2ｘ-1＞5，即ｘ＜-3。∴解得ｘ＜-3。②当-3＜ｘ＜２时，ｆ（ｘ）＝-ｘ+2+ｘ+3＝5，而ｆ（ｘ）＞5，∴ｘ无解。③当ｘ≥2时，ｆ（ｘ）＝ｘ-2+ｘ+3＝2ｘ+1，由ｆ（ｘ）＞5，∴2ｘ+1＞5，即ｘ＞2。∴解得ｘ＞2。∴综上所述不等式ｆ（ｘ）＞5的解集为｛ｘ|ｘ＜3或ｘ＞2｝。小结：一般地把ｆ（ｘ）＝0的解叫做ｆ（ｘ）的零点。先分别求出零点，然后分类讨论看零点把R分成了几个区间，判断正负从而去掉绝对值符号，分段展开再求解。这样的解法“零点分段法”具有一般性。解法二：利用绝对值的几何意义∵ｘ-2的几何意义是数轴上点ｘ到点2的距离，ｘ+3的几何意义为数轴上点ｘ到点-3的距离，即点ｘ到点2的距离与点ｘ到点-3的距离之和要大于5。∵数轴上点2与点-3间的距离为2-（-3）＝5。∴数轴上的点ｘ要位于点2与点-3的两侧，才能使距离之和大于5。即ｆ（ｘ）＞5的解集为｛ｘ|ｘ＜3或ｘ＞2｝。小结：利用绝对值的几何意义来解题，可以减少运算量，使问题简单化。【变式训练】分析：由真数大于0，两边有意义的范围是0＜x＜3，将原不等式变形为log3x+log3（3-x）≥1，分别令log3x=0解得零点为1，log3（3-x）=0解得零点为2，结合x的取值范围分成三段，并利用对数函数的增减性进行求解。例题2：关于x的不等式ｘ+1+ｘ-2≥a的解集是R，求a的取值范围。解法一：设ｆ（ｘ）=ｘ+1+ｘ-2，∴ｆ（ｘ）=ｘ+1+ｘ-2分为三段。①当ｘ≤1时，ｆ（ｘ）=-x-1+（-ｘ+2）＝-2ｘ+1。②当-1＜ｘ＜2时，ｆ（ｘ）=ｘ+1+（-ｘ+2）＝3。③当ｘ≥a时，ｆ（ｘ）=ｘ+1+ｘ-2＝2ｘ-1。∴得到ｆ（ｘ）=ｘ+1+ｘ-2的最小值是3，∴从而ａ≤3，即ａ的取值范围为｛ａ|ａ≤3｝。解法二：由绝对值的几何意义，得到ｆ（ｘ）=ｘ+1+ｘ-2的最小值是-1-2＝3，从而ａ的取值范围为｛ａ|ａ≤3｝。小结：求类似ａ的取值范围时，当含有绝对值的不等式ｆ（ｘ）大于一个数时，利用“零点分段法”或绝对值的几何意义求出ｆ（ｘ）的最小值，令ａ小于这个最小值即可；当含有绝对值的不等式ｆ（ｘ）小于一个数时，求出ｆ（ｘ）的最大值，令ａ大于这个最大值即可。【变式训练】3：关于ｘ的不等式ｘ+1+ｘ-2＜ａ恒成立时，求ａ的取值范围。分析：设ｆ（ｘ）=ｘ+1+ｘ-2，利用“零点分段法”或绝对值的几何意义求出ｆ（ｘ）的最大值，令a大于这个最大值即可。总之，做题要进行题后反思，
总结
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一下所用公式、解题思路、方法，逐渐构建出自己的知识体系，提升自身解题才能，下次遇到类似的题目就会事半功倍。（西藏拉萨市第二高级中学） -全文完-
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