第六章圆轴的扭转

第六章圆轴的扭转第一节扭矩和扭矩图第二节剪切—剪切胡克定律第三节圆轴扭转时横截面上的应力第四节圆轴扭转时强度计算第五节圆轴扭转时变形和刚度计算扭转：直杆的两端，在垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶，使杆件各横截面发生绕轴线相对转动。这种变形形式称为扭转。轴：以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。横截面为圆形的轴称为圆轴。扭转变形的受力特点是：在与杆件轴线垂直的平面内，受到一对大小相等、方向相反的力偶作用。扭转变形的变形特点是：各横截面绕杆件轴线发生相对转动。实心圆轴和圆管受扭转作用时的力学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 较为简单，而且又是最常见的受扭构件形状，本节只研究等截面圆轴（含圆管）的扭转问题。第一节扭矩和扭矩图一、外力偶矩的计算轴传递的功率P、转速n与外力偶矩M的关系：其中：P—轴传递的功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（r/min）外力偶矩转向的确定方法：输入功率的主动轮上作用的力偶矩为主动力矩，其方向与轴的转动方向一致；输出功率的从动轮上作用的力偶矩为阻力矩，其方向与轴的转动方向相反。MMmm二、扭转时的内力—扭矩的计算MMTMMT扭矩正负规定：右手螺旋法则扭矩单位：N·m或kN·m例6.1传动轴的主动轮B上作用的力偶矩为MB=6kN·m的主动力偶，A、C、D三个从动轮上的阻力偶矩分别为MA=3kN·m、MC=2kN·m、MD=1kN·m，用截面法来求Ⅱ-Ⅱ截面的内力。解：求扭矩MT2如图b或如图c图b图c扭矩另一种计算方式：1、假设某截面扭矩皆为正，则该截面上的扭矩等于截面一侧轴上所有外力偶矩的代数和。2、计算时外力偶矩的正负号规定：右手拇指与截面外法线方向一致，四指与外力偶矩转向相同时取负号；不同时取正号。4扭矩图： 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|MT|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。扭矩图的绘制：与轴力图绘制方法相似，绘制扭矩图时，需先以轴线方向为横轴（x轴）、以扭矩（MT）为纵轴，建立MT-x坐标系。然后将圆轴各段截面上的扭矩（MT）标在MT-x坐标中，即可绘出扭矩图。例6.2传动轴上主动轮A的输入功率PA=40kw，三个从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=18kw，PC=PD=11kw，轴的转速为n=200r／min。现在两种主、从动轮的布置形式，分别如图a、b。试求两种布置情况下：1.传动轴各段中的转矩值；2.绘制传动轴的扭矩图；3.对传动轴承受的转矩大小进行对比，说明哪种布置形式较为合理。解：1.求作用于传动轴上的外力偶矩。扭矩要由外力偶矩M来计算，而实际问题中更常见的已知条件是功率P和转速n，所以先要由功率、转速计算外力偶矩2.传动轴各段的扭矩值（MT1、MT2、MT3），并绘制扭矩图。图a中：MT1＝－1910N·m　MT2＝－1051N·mMT3＝－525N·mMT图b中：MT1＝859N·m　MT2＝－1051N·mMT3＝－525N·mMT3.对比两种布置形式下传动轴所受的转矩。在图a情况下，所以，图b所示的布置形式将主动轮布置在几个从动轮之间的情况较为合理。而在图b情况下，可见，虽然传动轴输入、输出的功率相同，但将主动轮布置在几个从动轮的中间位置，使主动轮两侧从动轮上的转矩之和接近相等，可以降低传动轴承受的转矩，从而有利于提高传动轴的抗扭强度，或缩小传动轴的直径、减少用材，减轻重量。第二节剪切——剪切胡克定律一.剪切的概念剪切变形的受力特点是：作用在构件两侧面上外力的合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。常见的剪切变形不发生剪切破坏的条件，即抗剪强度条件为:实用计算中，通常假设剪切应力τ在剪切面上是均匀分布的，如图d。则:二.剪应变和剪切胡克定律剪切变形时，剪切面附近的截面互相间发生错动。将剪切面附近变形前后的情况放大如图a、b：剪切面附近的材料由变形前的矩形，变形后成为斜平行四边形，变化的角度γ称为剪应变，用弧度（rad）来度量。等直圆杆扭转时，相邻截面保持平行，只存在剪应力，而无正应力。与剪力对应的应力称为剪切应力，以τ表示。剪切应力τ与剪切力Q方向一致，与剪切面相切，单位为帕（Pa）或兆帕（MPa）。剪切面：发生相对错动的截面，位于二力作用线之间。剪切面上与截面相切的内力称为剪力，用Q表示。剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应变与剪应力成正比：Ｇ为材料的剪切弹性模量，单位GPa,是材料抵抗剪切变形能力的指标。常用钢材的G＝80～84GPa。线应变ε和剪应变γ是度量构件变形的两个基本参量。1.横截面变形后仍为平面，只是绕轴线相对转过了一个角度；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行，转过相同的角度γ。一、等直圆杆扭转实验观察及假设：第三节圆轴扭转时横截面上的应力结论：1.扭转变形的实质是剪切变形；2.横截面上只有垂直于半径方向的剪应力τ，没有正应力σ。圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。式中：MT—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。结论：1.剪应力的方向与半径垂直，绕圆心转向与扭矩方向相同；2.剪应力沿半径成线性规律分布。剪应力公式同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。由知：当WP—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。三.最大剪应力计算公式第四节圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转的强度条件是：轴的危险截面（即产生最大扭转剪切应力的截面）上的最大剪切应力τmax不超过材料的许用剪切应力[τ]即许用剪切应力[τ]值由相应材料试验测定并考虑安全系数后加以确定。圆轴扭转的强度计算可解决三类强度问题1.强度校核2.设计截面尺寸（圆轴直径）：已知外载荷条件和选定材料的许用剪切应力[τ]，要求设计圆轴的直径D，或空心圆轴的外径D和内径d。3.确定许可载荷：已知圆轴的直径D，或空心圆轴的外径D和内径d以及选定材料的许用剪切应力[τ]，求圆轴上所能承受的最大外力偶矩或传递的最大功率，即许可载荷。例6.3汽车的传动轴AB由45钢无缝钢管制成，外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，如图所示。该轴传递的最大转矩M=1.5kN·m，材料的许用剪切应力[τ]=60Mpa。试求：1.校核该传动轴的抗扭强度。2.若改用相同材料的实心圆轴，且和原钢管传动轴有同等的抗扭强度，计算其直径DS。3.比较空心轴和实心轴的重量。解1.校核强度由受力图可知，传动轴内横截面上的最大扭矩MTmax就等于它传递的最大转矩M，即：MTmax=M=1.5kN·m该轴内、外径之比而所以，传动轴能满足抗扭强度要求。2．计算等强度的实心圆轴直径DS即要求实心圆轴横截面的抗扭截面模量和原圆管截面的抗扭截面模量相等：由抗扭截面模量公式有所以3．空心轴重量G和实心轴重量GS的对比两轴的材料和长度相同，两者重量之比等于它们的横截面面积之比空心传动轴的合理性采用空心传动轴能有效节省材料，减轻自重，提高承受能力。空心轴受扭在力学上的合理性，可以从扭转剪切应力在横截面上的分布图得到说明。但空心圆轴的环形壁厚尺寸也不能过小。另外，只有截面闭合的空心圆轴才有较高的抗扭强度，开口圆管的抗扭能力是很低的。圆轴扭转时的变形由两横截面间相对扭转角来度量：即第五节圆轴扭转时变形和刚度计算GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。二、圆轴扭转时的刚度条件：单位长度的扭转角不超过许用单位扭转角[]，即或精密仪器仪表的轴：[]=0.15～0.5(°/m);一般传动轴：[]=0.5～1(°/m);精度较低的轴：[]=1～4(°/m);刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。[例6.4]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径40NmxT代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度40NmxT③右端面转角为：*[例6.5]某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2？②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kN·m)综上：②全轴选同一直径时③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为75mm。Tx–4.21(kNm)2.814例6.6：如图所示阶梯轴，直径分别为，，已知C轮输入转矩，A轮输出转矩，轴的转速，轴材料的许用切应力[]，许用单位长度扭角[]，切变模量，试校核该轴的强度和刚度。CBACBA解:1.求各段扭矩：由于各段半径不同，危险截面可能发生在AB段的截面处，也可能发生在BC段。2.校核强度<[]所以，强度满足要求。3.校核刚度所以，轴的刚度也满足要求。