高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 二 圆内接四边形的性质与判定定理教材梳理素材 新人教A版选修4-1（通用）

PAGE二圆内接四边形的性质与判定定理庖丁巧解牛知识·巧学一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个：定理1是圆的内接四边形对角互补；定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理的表述形式稍有差别，但反映的本质相同，都反映了圆内接四边形所具有的特征.知识拓展利用这两个定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系;再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论:如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.二、圆内接四边形的判定定理1.定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.2.符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B+∠D=180°，那么四边形ABCD内接于圆.疑点突破要证明四边形ABCD内接于圆，就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上.根据我们的经验，只要能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说，总可以确定一个圆.因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点，譬如A、B、C三点作一个圆，再证明第四个点D也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难，所以我们采用反证法证明.也就是假设点D不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，这就说明点D不在圆上是错误的，因此点D只能在圆上.由于点D不在圆上时，可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况，所以应分别加以证明，下面先讨论点D在圆内的情况.假设点D在圆内，若作出对角线BD，设BD和圆交于D′，连结AD′、CD′，则ABCD′为圆内接四边形(如图2-2-2)，则∠ABC+∠AD′C=180°.另一方面，因为∠ADB、∠BDC分别是△AD′D和△CD′D的外角，所以有∠AD′B<∠ADB，∠BD′C<∠BDC，于是有∠AD′C<∠ADC.因为已知∠ABC+∠ADC=180°，所以∠ABC+∠AD′C<180°，这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点D不能在圆内.用类似的方法也可以证明点D也不能在圆外.因此点D在圆上，即四边形ABCD内接于圆.图2-2-2三、判定四点共圆的方法(1)如果四个点到一定点的距离相等，那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点的距离相等).问题·探究问题圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了用反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法，那么与正面证明相比较，反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它有什么优点？思路:反证法是一种间接证法，它先是提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定原假设，达到肯定原命题正确的一种方法.探究:反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是不都是；至少有一个一个也没有；至少有n个至多有(n-1)个；至多有一个至少有两个；唯一至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不止一种)，如在上述定理证明中，假设点D不在圆上，则有点D在圆外和点D在圆内两种情况，必须一一证出这两种情况都不成立后，才能肯定点D在圆上.用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.对于一些从正面难以说明的问题，反证法往往有着出奇制胜的作用.典题·热题例1如图2-2-3，已知ABCD为平行四边形，过点A和B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证：C、D、E、F四点共圆.图2-2-3思路分析：连结EF.由∠B+∠AEF=180°，∠B+∠C=180°，可得∠AEF=∠C.证明：连结EF.∵ABCD为平行四边形，∴∠B+∠C=180°.∵A、B、F、E内接于圆，∴∠B+∠AEF=180°.∴∠AEF=∠C.∴C、D、E、F四点共圆.深化升华要证明四点共圆，首先要把这四个点连结组成四边形，然后说明其对角互补或外角等于它的内对角.例2两圆相交于A、B，过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F.若∠EAB=∠DAB.求证：CD=EF.思路分析：要证CD=EF，只需证明△CBD≌△EBF即可.从图2-2-4可以看出，∠C=∠E，∠D=∠F，因此，只需再找一条对应边相等即可.比如，能否推出BC=BE呢？要证BC=BE，只需∠CEB=∠ECB.有无可能呢？可以发现，∠ECB=∠1，又已知∠1=∠2，所以，只需证∠2=∠CEB即可.这时我们发现，A、B、E、C是圆内接四边形，根据性质定理，它的外角∠2与它的内对角∠CEB当然相等.至此，思路完全沟通.图2-2-4证明：∵ABEC为圆内接四边形，∴∠2=∠CEB.又∵∠1=∠ECB，且∠1=∠2，∴∠CEB=∠ECB.∴BC=BE.在△CBD与△EBF中，∠C=∠E，∠D=∠F，BC=BE，∴△CBD≌△EBF.∴CD=EF.深化升华利用圆内接四边形的性质，直接写出∠2=∠CEB，简化了通过弧与角的计算推证∠2=∠CEB的过程，正如运用算术乘法的九九表一样，可以大大简化思维的过程.例3在锐角△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F.求证：FG∥BC.思路分析：证FG∥BC，只需证∠DFG=∠DBC即可.我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系，探求证明的思路.证明：如图2-2-5，由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC，所以B、C、D、E四点共圆.由同弧上的圆周角，有∠DBC=∠DEG.同理，Rt△EDF与Rt△DGE共斜边DE，所以D、E、F、G四点共圆.图2-2-5于是，∠DEG=∠DFG.因此，∠DBC=∠DFG.于是FG∥BC.例4如图2-2-6所示，在△ABC中，AB=AC，延长CA到P，再延长AB到Q，使得AP=BQ.图2-2-6求证：△ABC的外心O与A、P、Q四点共圆.思路分析：要证O、A、P、Q四点共圆，只需证∠CPO=∠AQO即可.为此，只要证△CPO≌△AQO即可.证明：连结OA、OC、OP、OQ.在△OCP和△OAQ中，OC=OA，由已知,CA=AB，AP=BQ，∴CP=AQ.又O是△ABC的外心，∴∠OCP=∠OAC.由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，∴∠OAC=∠OAQ，从而∠OCP=∠OAQ.∴△OCP≌△OAQ.∴∠CPO=∠AQO.∴O、A、P、Q四点共圆.深化升华本题也可证△OAP≌△OBQ,得到角相等，进而说明四点共圆.你可以试着写出另一种证明.例5如图2-2-7所示,在半径为1的⊙O中，引两条互相垂直的直径AE和BF，在上取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q.证明四边形APQB的面积是1.图2-2-7思路分析：由已知条件可以证明四边形ABEF是正方形，且边长为2，则正方形面积为2.而△ABD的面积为正方形面积的一半，所以，只需证明S四边形APQB=S△ABD，即证S△BPD=S△BPQ，即证DQ∥PB.因为BP⊥AE，所以，只需证DQ⊥AE.证明：∵AE、BF为互相垂直的两条直径，垂足O为圆心，∴AE、BF互相平分、垂直且相等.∴四边形ABEF是正方形.∴∠ACB=∠AEF=45°，即∠DCQ=∠QED.∴D、Q、E、C四点共圆.连结CE、DQ，则∠DCE+∠DQE=180°.∵AE为⊙O的直径，∴∠DCE=90°，∠DQE=90°.∵∠FOE=90°，进而DQ∥BF，∴S△BPQ=S△BPD.∴S△ABP+S△BPQ=S△ABP+S△BPD，即S四边形ABQP=S△ABD.∵⊙O的半径为1，∴正方形边长为，即AB=AF=.∴S四边形ABQP=S△ABD=AB·AF=1.方法归纳当题目的结论直接证明较繁或无法证明时，可根据条件先证明某四点共圆，再利用圆的性质可使问题得以解决，这种方法常称之为“作辅助圆”方法.