初中数学竞赛34反证法

初中数学竞赛34反证法 HYPERLINK "http://www.100xuexi.com/" www.100xuexi.com 圣才学习网初中数学竞赛辅导资料（34）反证法甲内容提要 1. 反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。 2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→B 例如　　原命题：对顶角相等　 (真命题) 逆否命题：不相等的角不可能是对顶角　(真命题) 又如　　原命题：同位角相等，两直...

HYPERLINK "http://www.100xuexi.com/" www.100xuexi.com 圣才学习网初中数学竞赛辅导资料（34）反证法甲内容提要 1. 反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。 2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→B 例如　　原命题：对顶角相等　 (真命题) 逆否命题：不相等的角不可能是对顶角　(真命题) 又如　　原命题：同位角相等，两直线平行　 (真命题) 　　逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等　(真命题) 3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤： 1 反设　假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立） 2 归谬　推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾） 3 结论　从而得出命题结论正确例如：　求证两直线平行。用反证法证明时 1 假设这两直线不平行； 2 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③从而肯定，非平行不可。乙例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行　已知：如图∠1＝∠2　　　　　　　A　　　　　　1　　　B　　　　　　求证：AB∥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：设AB与CD不平行　　　　　C　　　　2　　　　　D　　　　　　　　那么它们必相交，设交点为M　　　　　　　　　　　　　D　　　　　　这时，∠1是△GHM的外角　　　　A　　　　　1　　M　　　B　　　　　　　　　　 ∴∠1＞∠2　　　　　　　　　　　　　　　G　　　　　　这与已知条件相矛盾　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　 ∴AB与CD不平行的假设不能成立　　H　　　　　　　　　　 ∴AB∥CD　　　　　　　　　　　　C 例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。　（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。例3.已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况： m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数) 当　m=3k+1时，　m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1　　当　m=3k+2时，　m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1 即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。 ∴　m2是3的倍数时，m 也是3的倍数例4.求证：不是有理数证明：假设是有理数，那么　＝　（a,b是互质的整数）， ∵ = ,∴（）2＝2， a2=2b2, ∴a2是偶数， ∵a2是偶数， ∴a也是偶数，设a=2k（k是整数）,　a2=4k2, ∵由a2=2b2, 得 b2= a2=2k2, b2是偶数， ∴b也是偶数那么a、b都是偶数，这和“a,b是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立 ∴ 不是有理数例5.若n是正整数，则分数是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）证明：设不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数为k（k≠1）, 且k,a,b都是正整数，即 ∴ ＝，　3bk-2ak=1 , 　(3b-2a)k=1 ∵整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是±1时，积才能等于1　　　∴3b-2a=±1,　　　k=±1 ∴分子、分母有公约数的假设不能成立因此分数是既约分数丙练习34 1.写出下列各命题结论的反面：命题的结论　　结论的反面 ①直线a ∥b ②线段m=n ③a2是偶数 ④∠A是锐角 ⑤点A在⊙O上 ⑥∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60 ⑦正整数m是5的倍数 ⑧方程没有有理数根　 ⑨至少有一个方程两根不相等 2.　已知：平面内三个点A，B，C满足AB＋BC＝AC，求证：A，B，C三点在同一直线上 3.求证：等腰三角形的底角是锐角 4. 求证：一个圆的圆心只有一个　 5. 求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度　　 6. 如果a2奇数，那么a也是奇数　（仿例3） 7. 求证：没有一个有理数的平方等于3 (仿例4) 8. 已知a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2( 即a,b,c 是勾股数) 求证①a,b,c至少有一个偶数 2 a,b,c中至少有一个能被3整除 9.求证二元一次方程8x+15y=50没有正整数解 10.求证方程x2+y2=1991 没有整数解 11.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多 12.已知：四边形ABCD中，AB+BD≤AC+CD 求证：ABn或m0, ∴n=1,2,3 但这时m都不是整数，∴…… 7. 设有整数解x=a, y=b 按奇数、偶数分类讨论 ∵右边＝1991是奇数，显然，a,b不能同偶数，也不能同奇数，　设a,b一奇一偶，a=2m, b=2n+1 (m,n　都是整数) 那么左边＝（2m）2+(2n+1)2＝4(m2+n2+n)+1 即左边是除以4余1，而右边是除以4余3，……… 11.反设：最多只有3只猴子分得一样多，…… 13.设两个交点（x1,0）,(x2,0)都在X轴的正半轴上，即x1>0, x2>0 那么x1＋x2>0,且x1x2>0 ∴　　这个不等式组无解，即这个假设不能成立，…… 1. 设有有理数根（n 是整数，m是正整数且m,n是互质的）即a( )2+b( )+c=0, m,n不能同偶数外，按奇数、偶数分3类讨论，逐一否定。 2. 设点A和其他6个点B，C，D，E，F，G的距离都小于这6个点彼此这间的距离（如图）在△ABC中，∵BC＞AB且BC＞AC，∠BAC＞60 同理∠CAD＞60 ……… 这与1周角＝360 相矛盾…… 16.　设……则△1≤0且△2≤0… PAGE HYPERLINK "http://www.100xuexi.com/" www.100xuexi.com 圣才学习网 _1116479911.unknown _1120142134.unknown _1120200895.unknown _1120203219.unknown _1120203305.unknown _1120203402.unknown _1120201836.unknown _1120142335.unknown _1120157331.unknown _1116480427.unknown _1116482010.unknown _1116480378.unknown _1116423124.unknown _1116479332.unknown _1116422266.unknown _1116422486.unknown _1116400751.unknown _1116422116.unknown

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