第二十一讲 广义特征值与极小极大原理
1、 广义特征值问题
1、定义:设A、B为n阶方阵,若存在数
,使得方程
存在非零解,则称
为A相对于B的广义特征值,x为A相对于B的属于广义特征值
的特征向量。
· 是
标准
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特征值问题的推广,当B=I(单位矩阵)时,广义特征值问题退化为标准特征值问题。
· 特征向量是非零的
· 广义特征值的求解
或者
特征方程
求得
后代回原方程
可求出x
本课程进一步考虑A、B厄米且为正定矩阵的情况。
2、等价表述
(1) B正定,
存在
EMBED Equation.DSMT4 ,广义特征值问题化为了标准特征值问题,但一般来说,
一般不再是厄米矩阵。
(2) B厄米,存在Cholesky分解,
,G满秩
令
则
也成为标准特征值问题。
为厄米矩阵,广义特征值是实数,可以按大小顺序排列
,一定存在一组正交归一的特征向量,即存在
满足
还原为
(i=1,2,
,n),则
(带权正交)
2、 瑞利商
A、B为n阶厄米矩阵,且B正定,称
为A相对于B的瑞利商。
线性无关,所以,
,存在
,使得
●
证明:
k为非零常数
可取
,
(闭区域)
当
或
时,
另一方面,
[证毕]
当B=I时,标准特征值问题
(
)
则
进一步
分析
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可得
定理1.设
,则
这一结果不便于应用,希望对上述结果进行改造,改造成不依赖于
的一种表达方式。
和
的情况均对应于x在(n-1)维的子空间内变动,x在L中变动是在一个(s-r+1)维子空间中变化。
一般的,x在
的(n-1)维子空间
中变动时,
即,对于不同的
,
的最小值及最大值有可能不同,其中各个最小值中最大者为
,各个最大值中的最小者为
定理2. 设
是
的一个k维子空间,则
以上两式称为广义特征值的极小极大原理。
· B=I时,标准特征值问题同样存在上述关系。
· 矩阵奇异值问题:
(非零)
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