矩阵论课件07 矩阵级数与矩阵函数

第七讲 矩阵级数与矩阵函数 一、 矩阵序列 1. 定义: 设有矩阵序列 , 其中 , 且当 时 , 则称 收敛, 并把 叫做 的极限, 或称 收敛于A. 记为 或 不收敛的序列则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况. 2. 收敛矩阵序列的性质: 设 、 分别收敛于A、B, 则 (1) (2) (3) ，若 ， 存在 (4) 3 收敛矩阵: 设A为方阵,且当 时 , 则称A为收敛矩阵. [定理] 方阵A为收敛矩阵的充要条件是A的所有特征值的模值均小于1. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 : 对任何方阵A,均存在可逆矩阵P, 使得 其中J为A的Jordan 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形 , 就等价于 , 等价于 , 而这只有 才可能也必能. [得证] 二、 矩阵级数 1.定义: 矩阵序列 的无穷和 叫做矩阵级数, 而 称为其部分和, 若矩阵序列 收敛,且有极限S, 则称该级数收敛,且有极限S. 记为 不收敛的级数必为发散的. 若矩阵级数 的所有元素 均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛. 2. 绝对收敛矩阵的性质 (1) 绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有相同的和. (2) 绝对收敛,则 也绝对收敛且等于 (3) , 均绝对收敛,且和分别为 ， 则 三、 方阵的幂级数 A为方阵, ， 称为A的幂级数. 称为A的Neumann级数. 1. Neumann级数收敛的充要条件 [定理] Neumann级数收敛的充要条件是A为收敛矩阵,且在收敛时其和为 . 证明: [必要性] 级数 收敛, 其元素为 显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故 ，即 也就是说A为收敛矩阵. [充分性]: A为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于1. 设A的特征值为 , 的特征值为 . 则由 可见 故 , 的行列式不为零, 存在. 而 右乘 得 当 时, , 故 . 所以 即Neumann级数收敛于 . 2. 收敛圆 [定理] 若矩阵A的特征值全部落在幂级数 的收敛圆内, 则矩阵幂级数 是绝对收敛的. 反之, 若A存在落在 的收敛圆外的特征值, 则 是发散的. 证明略. [推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵A, 均收敛. 四、 矩阵函数 如: , sinA, cosA 以矩阵为自变量的” 函数”(实际上是”函矩阵”) 我们知道, 均为整个复平面上收敛的级数, 故对任何的方阵A 均绝对收敛. 三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。 [性质] 但是一般来说 , , 三者互不相等. 例如 , , 则 可见 , , , 所以, , [定理] 若 , 则 [证明]: 同理, 有 [推论] , 总存在逆阵 五、 矩阵函数的初步计算 1. Hamilton-Cayley定理 n阶矩阵A是其特征多项式的零点, 即令 则 [证明]: 设A的特征值为 , 则 又可写成 由Schur引理知, 存在酉矩阵U, 使得 相似矩阵具有相同的特征多项式 所以 EMBED Equation.3 即 2.零化多项式 多项式f(z),若f(A)=0,则称其为A的零化多项式。 由以上定理可知，方阵A的特征多项式为A的零化多项式。 3. 矩阵指数函数、正弦函数、余弦函数的计算 例: 已知四阶矩阵的特征值是 、 、 0、 0, 求sinA、 cosA、 解: 故 作业 P163 3, 4, 5 _1157455567.unknown _1157456201.unknown _1157456764.unknown _1157457014.unknown _1157457302.unknown _1157457637.unknown _1157546708.unknown _1158852423.unknown _1158852670.unknown _1158852725.unknown _1157548466.unknown _1158852318.unknown _1157548284.unknown _1157457823.unknown _1157458223.unknown _1157458334.unknown _1157458335.unknown _1157458333.unknown _1157458332.unknown _1157458153.unknown _1157458201.unknown _1157457852.unknown _1157457788.unknown _1157457800.unknown _1157457787.unknown _1157457410.unknown _1157457469.unknown _1157457555.unknown _1157457427.unknown _1157457351.unknown _1157457367.unknown _1157457322.unknown _1157457097.unknown _1157457237.unknown _1157457238.unknown _1157457134.unknown _1157457236.unknown _1157457039.unknown _1157457074.unknown _1157457022.unknown _1157456918.unknown _1157456963.unknown _1157456992.unknown _1157457002.unknown _1157456975.unknown _1157456944.unknown _1157456953.unknown _1157456933.unknown _1157456864.unknown _1157456886.unknown _1157456903.unknown _1157456876.unknown _1157456840.unknown _1157456854.unknown _1157456830.unknown _1157456618.unknown _1157456704.unknown _1157456720.unknown _1157456752.unknown _1157456717.unknown _1157456620.unknown _1157456621.unknown _1157456619.unknown _1157456472.unknown _1157456507.unknown _1157456528.unknown _1157456617.unknown _1157456496.unknown _1157456306.unknown _1157456318.unknown _1157456283.unknown _1157455817.unknown _1157456078.unknown _1157456155.unknown _1157456178.unknown _1157456187.unknown _1157456164.unknown _1157456113.unknown _1157456147.unknown _1157456088.unknown _1157455890.unknown _1157455919.unknown _1157456068.unknown _1157455909.unknown _1157455859.unknown _1157455874.unknown _1157455845.unknown _1157455671.unknown _1157455753.unknown _1157455775.unknown _1157455802.unknown _1157455765.unknown _1157455723.unknown _1157455732.unknown _1157455690.unknown _1157455611.unknown _1157455655.unknown _1157455657.unknown _1157455621.unknown _1157455589.unknown _1157455599.unknown _1157455580.unknown _1157455132.unknown _1157455447.unknown _1157455517.unknown _1157455544.unknown _1157455557.unknown _1157455528.unknown _1157455478.unknown _1157455500.unknown _1157455466.unknown _1157455352.unknown _1157455419.unknown _1157455439.unknown _1157455376.unknown _1157455225.unknown _1157455226.unknown _1157455144.unknown _1157455224.unknown _1157455028.unknown _1157455079.unknown _1157455109.unknown _1157455119.unknown _1157455100.unknown _1157455053.unknown _1157455069.unknown _1157455030.unknown _1157454941.unknown _1157455018.unknown _1157455019.unknown _1157455016.unknown _1157455017.unknown _1157455015.unknown _1157454916.unknown _1157454927.unknown _1157454905.unknown _1156861768.unknown