PAGE2.3从速度的倍数到数乘向量(2课时)一、教学目标:1.知识与技能(1)要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.(2)了解数乘运算的运算律,理解向量共线的充要条件。(3)要求学生掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个向量;或一个向量分解为两个向量。(4)通过练习使学生对实数与积,两个向量共线的充要条件,平面向量的基本定理有更深刻的理解,并能用来解决一些简单的几何问题。2.过程与
方法
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:教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积(强调:1.“模”与“方向”两点)2.三个运算定律(结合律,第一分配律,第二分配律)),在此基础上得到数乘运算的几何意义;通过正交分解得到平面向量基本定理(定理的本身及其实质)。为了帮助学生消化和巩固相应的知识,教材设置了几个例题;通过讲解例题,指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节
内容
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的学习,使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识,让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了,这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性,有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点:1.实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示难点:1.实数与向量积的几何意义的理解.2.平面向量基本定理的理解.三.学法与教学用具学法:(1)自主性学习+探究式学习法:(2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】1.思考:(引入新课)已知非零向量作出++和()+()+()BAOCPQMN==++=3==()+()+()=3讨论:①3与方向相同且|3|=3||②3与方向相反且|3|=3||2.从而提出课题:实数与向量的积;实数λ与向量的积,记作:λ定义:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ①|λ|=|λ|||②λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=(请学生自己解释其几何意义)[展示投影]例题讲评(学生先做,学生评,教师提示或适当补充)例1.(见P96例1)略[展示投影]思考:根据几何意义,你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律(证明的过程可根据学生的实际水平决定)结合律:λ(μ)=(λμ)①第一分配律:(λ+μ)=λ+μ②第二分配律:λ(+)=λ+λ③结合律证明:如果λ=0,μ=0,=至少有一个成立,则①式成立如果λ0,μ0,有:|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ||||(λμ)|=|λμ|||=|λ||μ|||∴|λ(μ)|=|(λμ)|如果λ、μ同号,则①式两端向量的方向都与同向;如果λ、μ异号,则①式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明:如果λ=0,μ=0,=至少有一个成立,则②式显然成立如果λ0,μ0,当λ、μ同号时,则λ和μ同向,∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)|||λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即:|(λ+μ)|=|λ+μ|当λ、μ异号,当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向还可证:|(λ+μ)|=|λ+μ|∴②式成立第二分配律证明:如果=,=中至少有一个成立,或λ=0,λ=1则③式显然成立OABB1A1当,且λ0,λ1时1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O,作===λ=λ则=+λ+λ由作法知:∥有OAB=OA1B1||=λ||∴λ∴△OAB∽△OA1B1∴λAOB=A1OB1因此,O,B,B1在同一直线上,||=|λ|与λ方向也相同AOBB1A1λ(+)=λ+λ当λ<0时可类似证明:λ(+)=λ+λ∴③式成立