PAGE江西师范大学附属中学2020高三上学期期末测试数学（理）试题一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合A=，B=，则=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【
分析
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】根据集合补集与交集求结果.【详解】因为，所以,选D.【点睛】本题考查集合补集与交集,考查基本求解能力,属基础题.2.复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：,所以复数的共轭复数为,故选B.考点：复数的运算与相关概念.3.如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式。【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题。4.已知平面上三个点A、B、C满足，则的值等于（）A.25B.24C.-25D.-24【答案】C【解析】本题考查三角形的性质，向量加法的平行四边形法则或三角形法则，向量的数量积的运算.因为所以所以三角形为直角三角形，且则故选C5.设，，，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断a,b,c与1的大小，再判断a,c与的大小，利用不等式的传递性即可.【详解】由在R上是增函数，0.3>0，所以.函数在是增函数，3<5，,所以，,又，所以.由函数在是增函数，，所以，得c>a.综上a
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面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：三视图表示的几何体是由长方体和“半圆柱”组成的几何体，其中，长方体的上底面与“半圆柱”轴截面重合.,选A.考点：三视图.8.已知，，则()A.B.C.或D.【答案】A【解析】【分析】由，只需利用平方关系求，再利用两角和与差的余弦公式可得.【详解】由，得，因为所以，所以=，故选A.【点睛】本题考查三角函数的求值问题.三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：要仔细观察所给角与特殊角的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，充分利用已知角的函数值求解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9.在区间上任取两点，，方程有实数根的概率为，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】在区间上任取两点，，确定点,作出点对应的区域，计算其面积.再确定方程有实数根的点对应的区域，计算其面积（或范围）由几何概型概率计算公式可得.【详解】由题意，组成的平面区域是由组成的正方形，其面积为4，要保证方程有实数根，则有,则表示的区域即为抛物线下方区域，其面积大于面积为2的矩形的面积，而小于两个全等的直角梯形的面积和，其面积的取值范围是,∴由题目中的新定义知所求的概率，故选B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，弄清问题是直线型、平面型、立几型中哪一种，再分别求所有基本事件的测度（长度、面积、体积）及所求事件包含的基本事件的测度，利用概率计算公式求解，属于基础题.10.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，（k为常数，且），BD=l为定长，则△ABC的面积最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设，，即整理得：，即，∴.故选C.考点：函数的最值.11.已知表示不超过实数的最大整数()，如：，，．定义，给出如下命题：①使成立的的取值范围是；②函数的定义域为，值域为；③．其中正确的命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】【分析】利用所给取整函数的定义逐个判断.①讨论x的范围，判断何时；②考虑x为整数或介与两个整数之间求函数的值域；③对等式左边利用二项式定理及[x]的定义化简求和.【详解】①由，，所以；x<2或时.②当x为整数时，当时，[x]=n，所以的值域为[0,1).③因为=所以n为偶数时=n为奇数时=所以==1010综上，只有命题①正确，故选B.【点睛】本题考查对新概念的理解、简单运用，考查函数的值域，二项式定理及应用，属于中档题.12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出的取值范围;设椭圆与双曲线的半焦距为由题意知，且,，，故选A．考点：椭圆与双曲线离心率问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是．【答案】112【解析】的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，，展开式的通项公式为，当时，，故它的常数项是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.若实数，满足约束条件则的最大值等于________．【答案】12【解析】由约束条件，作出可行域如图，联立方程组，解得：A（3，3），化目标函数z=x+3y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最大，对应z最大；此时z=3+3×3=12．故答案为：12．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.设集合，集合，，满足且，那么满足条件的集合的个数为_________．【答案】55【解析】【分析】先确定，的取值，再判断有多少种取法，得集合A的个数.【详解】因为，，，所以2，当时、3、4、5、6、7，分别可以取3~7、4~8、5~8、6~8、7~8、8；当，、4、5、6、7时可以取4~8，5~8、6~8、7~8、8；当，=4、5、6、7时可以取5~8、6~8、7~8、8；当，=5、6、7时可以取6~8、7~8、8；当，=6、7时可以取7~8、8；当，=7时可以取8.所以满足条件的集合的个数为(5+5+4+3+2+1)+(5+4+3+2+1)+(4+3+2+1)+(3+2+1)+(2+1)+1=55,故答案为55.【点睛】本题考查加法计数原理，从集合S中任选3个元素组成集合A，再把不符合条件的去掉，就得到满足条件的集合A的个数．16.若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为_________．【答案】【解析】【分析】设四棱锥底面边长为a，高为h，由四棱锥的体积，得a,h的关系，利用四棱锥中的三角形建立外接球的半径R关于h的函数，再利用导数求函数何时区得最小值.【详解】设四棱锥底面边长为a，高为h，底面对角线交于O，由条件四棱锥P-ABCD为正四棱锥，其外接球的球心M在高PO上，设外接球半径为R，在直角三角形MAO中，，又该四棱锥的体积为9，所以所以，，，时，时，所以时R极小即R最小，此时体积最小.故答案为3.【点睛】本题考查函数解析式的求法，利用导数求函数的最值，考查空间想象能力及计算能力，属于中档题.三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）令，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）点均在函数的图象上，则,可得，并验证即可；（Ⅱ）证明：由，得；由，得；即证．试题解析：（Ⅰ）点在的图象上，，当时，；当时，适合上式，（）；（Ⅱ）由，，又，，成立．考点：数列与函数的综合，18.如图，在斜三棱柱中，已知，，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）余弦值为.【解析】【分析】（1）证明：连接，在平行四边形中，得，又，证得，利用线面垂直的判定定理得，进而得到平面平面.（2）取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到平和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值．【详解】（1）证明：连接，在平行四边形中，由得平行四边形为菱形，所以，又，所以，所以，又，所以，所以平面平面（2）取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则的法向量为，设面的法向量为，因为，所以由，令，则设所求二面角为，则故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。【答案】（1）记该批产品通过检验为事件A；则；（2）X的可能取值为400、500、800；，，，则X的分布列为X400500800P【解析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝.(2)X的可能取值为400，500，800，并且P(X＝400)＝1－，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝＝，∴X的分布列为X400500800PEX＝400×＋500×＋800×＝506.25.20.平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦点为、，直线经过焦点，并与相交于、两点．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在上是否存在、两点，满足//，？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）不存在满足条件的直线【解析】试题分析：（1）由椭圆几何性质求得得到椭圆方程；（2）首先设出CD直线，与椭圆联立整理为的二次方程，找到根与系数的关系，由已知转化出，代入点的坐标整理求的的值，最后要注意验证二次方程中是否成立试题解析：（1）依题意，，由得，椭圆的方程为（2）（方法一）若存在满足条件的直线，∵，∴，设直线的方程为由……6分，得，（*）设，，则，若线段的中点为，则即由已知，则，，，由，解得时，，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线（方法二）假设存在，，线段的中点为，则，由两式相减得代入、化简得：①由已知，则，由得，②由①②解得，即直线CD的方程为：联立得，∵，方程组无解，∴不存在满足条件的直线考点：1．椭圆方程及性质；2．直线和椭圆相交的有关问题21.已知函数,三个函数的定义域均为集合.（1）若恒成立，满足条件的实数组成的集合为，试判断集合与的关系，并说明理由；（2）记，是否存在，使得对任意的实数，函数有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数；若不存在，说明理由.（以下数据供参考：）【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）恒成立，则，易知在上递减；（2）令，，由零点存在性定理可知：，函数在定义域内有且仅有一个零点，同理可知，函数在定义域内有且仅有一个零点，假设存在使得，，消得，令利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.试题解析：(1).易知在上递减，存在，使得，函数在递增，在递减.由得(2).，由于，由零点存在性定理可知：函数在定义域内有且仅有一个零点，，同理可知函数在定义域内有且仅有一个零点假设存在使得，消得令递增此时所以满足条件的最小整数请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线的
参数
转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应
方程为：（为参数）．（1）写出直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程利用两角差的正弦公式展开后，再根据可化为直角坐标方程；（2）利用平方法消去曲线的参数方程中的参数，化为普通方程，然后根据直线与圆的位置关系及圆的几何性质进求解即可.试题解析：（1）∵，∴，∴，．（2）曲线为以为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离为，所以，最大距离为．23.设函数（1）解不等式；（2）当，时，证明：.【答案】（1）解集为；（2）见解析.【解析】【分析】(1)零点分区间，去掉绝对值，写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2)由（1）知，,，之后利用均值不等式可证明.【详解】（1）由已知可得：，当时，成立；当时，，即，则．所以的解集为.（2）由（1）知，，由于，则，当且仅当，即时取等号，则有．【点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．
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