第十九章四边形章末小结湖北省仙桃市第二中学曾向华第2课时1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形．重点精析4.在研究梯形的问题时，经常通过辅助线把它转化为三角形或平行四边形的问题．3．梯形的面积S=（上底+下底）×高/2=中位线×高.等腰梯形的判定定理是：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形。2．等腰梯形的性质是：两腰相等；同一底上的两个角相等；两条对角线相等；等腰梯形是轴对称图形．已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．课堂演练证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=BO=CO=DO且∠AOB=∠COB=90°，∠BAO=∠ABO=45°.∵CF⊥BE，∴∠OEB+∠OBE=90°.又∵∠OEB+∠OCG=90°，∴∠OBE=∠OCG.∴△EOB≌△GOC（ASA）.∴EO=GO.∵∠COB=90°，∴∠OEG=∠OGE=45°.∴EG∥AB.∵AE与BG相交于点O且∠BAO=∠ABO=45°，∴四边形ABGE是等腰梯形.1.三角形的中位线：连接三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中位线.重点精析三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.2.梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠A=∠D，AB=DC.∵AM=DM，∴△ABM≌△DCM.（2）四边形MENF是菱形，理由如下：∵△ABM≌△DCM，∴MB=MC.∵M、N、E、F分别为AD、BC、BM、CM的中点，∴NE=1/2MC=MF，NF=1/2MB=ME.则NE=MF=NF=ME.即四边形MENF是菱形.课堂演练1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.⑴求证：△ABM≌△DCM;⑵四边形MENF是什么图形？请证明你的结论；⑶若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由.NMABCDEF证明：（3）梯形的高等于底边1/2BC.∵四边形MENF是正方形，∴∠BMC=90°.∵BM=CM，∴△BMC是等腰直角三角形.∴∠MBC=∠MCB=45°.∵N是BC的中点，∴MN⊥BC且MN=1/2BC.即梯形的高MN=1/2BC.课堂演练2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、G、H、F分别是AB、BD、AC、DC的中点，EF分别交BD、AC于G、H，AD=4，BC=6，求GH的长．解：∵E、G、H、F分别是AB、BD、AC、DC的中点且AD=4，BC=6，∴EG=1/2AD=2，HF=1/2AD=2，EF=1/2（AD+BC）=5.∴GH=EF-EG-HF=1.3.
反思
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：依据四边形的结构关系图，将四边形、平行四边形、梯形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代
表
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一种图形.反思小结1.今天我们复习了哪些知识？2.通过今天的复习，你在方法上有何收获？今天我们复习了梯形的概念、性质、判定以及中位线的性质，并利用相关性质与判定来解决问题.梯形的相关问题一般是通过辅助线将它转化为三角形或平行四边形的问题来解决。四边形平行四边形正方形矩形菱形梯形直角梯形等腰梯形如图，梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别是底AD和BC的中点，∠B+∠C＝90°，BC＝18，AD＝6，求MN的长．课外拓展反思：进而探究一般规律，若BC＝x，AD＝y，那么MN为多少？
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