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特征根法求数列通项

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特征根法求数列通项文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.特征根法在求递推数列通项中的运用各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如:(08年广东高考)设p、q为实数,α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根,数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5⋯⋯))⋯⋯⋯⋯⋯2)求数列{xn}的通项公式。3)若p,q1,求数列{x}的前n项的和s1...

特征根法求数列通项
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.特征根法在求递推数列通项中的运用各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如:(08年广东高考)设p、q为实数,α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根,数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5⋯⋯))⋯⋯⋯⋯⋯2)求数列{xn}的通项公式。3)若p,q1,求数列{x}的前n项的和s1nn4(09年江西高考)各项均为正数的数列an中a1a,b1b,且对满足mnpq的正整数m,n,p,q都有,anamapaq,an)(1am)(1ap)(1(1aq)1)当a1,b4时,求通项an。25像上述两道题,如果不能顺利求出数列的通项公式,就不能继续做后面的题,想得高分就难,对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。本文就一、两种题型进行探讨,重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用,希望能对部分同学有帮助。类型一、递推公式为an2pan1qan(其中p,q均为非零常数)。先把原递推公式转化为an2x1an1x2(an1x1an),其中x1,x2满足x1x2p2pxq0的两个非零根。x1x2,显然x1,x2是方程xq1)如果a2x1a10,则an2x1an10,an成等比,很容易求通项公式。1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.2)如果a2x1a10,则{an2x1an1}成等比。公比为x2,所以an1x1an(a2x1a1)x2n1,转化成:an1x1an(a2x1a1),x2n1x2x2n2(I)又如果x1x2,则{an1}等差,公差为(a2x1a1),x2n1所以an1a2(n1)(a2x1a1),即:a1[a(n1)(a2xa)]xn1x2n11n2112an[a2(n2)(a2x1a1)]x2n1可以整理成通式:an(ABn)x2n1x2x2Ii)如果x1x2,则令an1bn1,x1A,(a2x1a1)B,就有x2n1x2bn1AbnB,利用待定系数法可以求出bn的通项公式所以an[a1x2(1x2)(x1)n1(a2x1a1)x2]x2n2,化简整理得:x1x2x2x1x2ana1(1x2)x1n1a1x1a2x2n1,x1x2x1x2小结特征根法:对于由递推公式an2pan1qan,a1,a2给出的数列an,方程x2pxq0,叫做数列an的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根,当x1x2时,数列an的通项为anAx1n1Bx2n1,其中A,B由a1,a2决定(即把a1,a2,x1,x2和n1,2,代入anAx1n1Bx2n1,得到关于A、B的方程组);当x1x2时,数列an的通项为an(ABn)x2n1,其中A,B由a1,a2决定(即把a1,a2,x1,x2和n1,2,代入an(ABn)x2n1,得2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.到关于A、B的方程组)。简例应用(特征根法):数列an:3an25an12an0(n0,nN),a1a,a2b的特征方程是:3x25x20x11,x22,23anAx1n1Bx2n1AB()n1。又由a1a,a2b,于是3aABA3b2a故an3(ab)(2)n1b2B3b2aAB3(ab)33下面再看特征根法在08年广东高考题中的应用:设p、q为实数,α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根,数列{xn}满足x=p,x=p-q,x=px-qxn-2(n=3,4,5⋯⋯)122nn-1)⋯⋯⋯⋯⋯2)求数列{xn}的通项公式。3)若p,q1,求数列{x}的前n项的和s1nn4解:2)显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5⋯⋯)的特征根方程就是x2-px+q=0,而α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根,所以可以直接假设:⑴当α=β时,设xn(ABn)n1,因为x1=p,x2=p2-q,所以2PP2qABp解得A(A2B)p2qP2qpB⑵当时,设xnAn1Bn1,因为x1=p,x2=p2-q,所以ABp22解得Appq,BppqABp2qxnp2pqn1+p2pqn13文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.3)p1,q11时,)小题的⑴项可以直接得到4,由第22AB1xn(n1)1n,可以用错位相减法求和顺利拿下第3)小题。22本题是08年广东高考真题,开始前两问均以字母的形式出现,给考生设置了接题障碍,如果在考前曾经学过特征根法,记住公式,那本题对这同学来说无疑是几分种的事情,或对特征根法有一定的了解,也许是多花点时间的问题,至少是接题思路和方向明确,绝不会象无头苍蝇一样乱撞。知道特征根法的来龙去脉、公式、以及运用也是学生能力拓展的一种表现。特征根法还能应用于下面一种数列题型的解答:类型二、an1panqranh解法:如果数列{an}满足下列条件:已知a1的值且对于nN,都有panq(其中p、q、r、h均为常数,且phqr,r0,a1h),那么,an1hrran可作特征方程xpxq,当特征方程有且仅有一根x0时,如果a1x0则rxhanx0;如果a1x0则1是等差数列。当特征方程有两个相异的根x1、anx0x2时,则anx1是等比数列。(证明方法如同类型一,从略)anx2例:已知数列{an}满足性质:对于nan43,求{an}的通项N,an1,且a12an3公式.解:数列{an}的特征方程为xx4,变形得2x22x40,其根为2x311,22.故特征方程有两个相异的根,则有4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.cna11p1rn131112)n1,nN.∴cn21)n1,nN.()((a12p2r321225521n11,nN.即an∴an2cn125(5)(5)n4,nN.cn121n112(5)n5()5例:已知数列{an}满足:对于nN,都有an113an25.(1)若a15,求an;(2)an3若a13,求an;(3)若a16,求an;(4)当a1取哪些值时,无穷数列{an}不存在?解:作特征方程x13x25.变形得x210x250,3特征方程有两个相同的特征根5.(1)∵a15,a1.对于nN,都有an5;(2)∵a13,a1.∴bn1(n1)r11)1a1r3(n1315p51n1,令bn0,得n5.故数列{an}从第5项开始都不存在,28当n≤4,nN时,an15n17.bnn5(3)∵a16,5,∴a1.∴bn11)rn1N.(n1,na1pr8令bn0,则n7n.∴对于nN,bn0.∴an1155n43,nN.bn1n1n78(4)、显然当a13时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,a15时,数列{an}是存在的,当a15时,则有5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.bn1(n1)r1n1,nN.令bn0,则得a1pra158a15n13,nN且n≥2.n1∴当a15n13(其中nN且N≥2)时,数列{an}从第n项开始便不存在。n13或5n13于是知:当a1在集合{:nN,且n≥2}上取值时,无穷数列{an}n1都不存在。变式:(2005,重庆,文,22,本小题满分12分)数列{an}满足a11且8an1an16an12an50(n1).记bn1(n1).1an2(Ⅰ)求b1、b2、b3、b4的值;(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.解:由已知,得an2an5,其特征方程为2x5解之得,x11518anx8x2或x21616416(an1)512(an5)an12,an142164168an8anan111an1an1a11142n1522,22n1an?()nnan152an5an5a1522244444下面再欣赏用特征根法解决09年江西高考真题各项均为正数的数列an中a1a,b1b,且对满足mnpq的正整数m,n,p,q都有,anamapaq,(1ap)(1(1an)(1am)aq)6文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.1)当a1,b4时,求通项an25解:由anamapaq得ana1an1a2an)(1am)(1ap)(1(1an)(1a1)(1an1)(1a2)(1aq)化间得an2an112x1,x11,x21。an12,作特征方程x2x所以an11an11an11an3n1an13an11an13n3n1从上面的解答不难看出特征根法在某些特殊的数列递推题型中有比较轻巧灵活简便的运用,而离开特征根法,这些题目不仅难度较大,运算较烦,许多同学只能是望题兴叹!其实从网络上搜索便知特征根法在许多的数学分支领域、科学应用领域都有着广泛的应用。7文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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