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指数函数、对数函数、幂函数讲义

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指数函数、对数函数、幂函数讲义指数函数、对数函数、幂函数讲义指数函数、对数函数、幂函数讲义PAGEPAGE\*MERGEFORMAT16指数函数、对数函数、幂函数讲义指数与指数函数知识要点1.指数(1)n次方根的定义:若xn=a,则称x为a的n次方根,“”是方根的记号.在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,0的奇次方根是0;正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数,0的偶次方根是0,负数没有偶次方根.(2)方根的性质①当n为奇数时,=a.②当n为偶数时,=|a|=(3)分数指数幂的意义①a=(a>0,m...

指数函数、对数函数、幂函数讲义
指数函数、对数函数、幂函数讲义指数函数、对数函数、幂函数讲义PAGEPAGE\*MERGEFORMAT16指数函数、对数函数、幂函数讲义指数与指数函数知识要点1.指数(1)n次方根的定义:若xn=a,则称x为a的n次方根,“”是方根的记号.在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,0的奇次方根是0;正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数,0的偶次方根是0,负数没有偶次方根.(2)方根的性质①当n为奇数时,=a.②当n为偶数时,=|a|=(3)分数指数幂的意义①a=(a>0,m、n都是正整数,n>1).②a==(a>0,m、n都是正整数,n>1).2.指数函数(1)指数函数的定义一般地,函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数.(2)指数函数的图象底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.(3)指数函数的性质①定义域:R.②值域:(0,+∞).③过点(0,1),即x=0时,y=1.④当a>1时,在R上是增函数;当0<a<1时,在R上是减函数.经典例 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.·等于A.-B.-C.D.2.函数y=2的图象与直线y=x的位置关系是3.若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过二、三、四象限,则一定有<a<1且b>>1且b>0<a<1且b<0>1且b<04.函数y=-ex的图象A.与y=ex的图象关于y轴对称B.与y=ex的图象关于坐标原点对称C.与y=e-x的图象关于y轴对称D.与y=e-x的图象关于坐标原点对称5、下图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,则a、b、c、d与1的大小关系是<b<1<c<d<a<1<d<c<a<b<c<d<b<1<d<c6、若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是___________________.7、函数y=()的递增区间是___________.8、已知2≤()x-2,求函数y=2x-2-x的值域.9、要使函数y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上y>0恒成立,求a的取值范围.基础练习1、已知f(x)=ax,g(x)=-logbx,且lga+lgb=0,a≠1,b≠1,则y=f(x)与y=g(x)的图象()A.关于直线x+y=0对称B.关于直线x-y=0对称C.关于y轴对称D.关于原点对称2、下列函数中值域为正实数的是=-5x=()1-x==3、函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a,则a的值为A.B.4、。5、化简(a>0,b>0)的结果是___________________.6、满足条件m>(mm)2的正数m的取值范围是___________________.7、已知9x-10·3x+9≤0,求函数y=()x-1-4()x+2的最大值和最小值.能力提高8、若a2x+·ax-≤0(a>0且a≠1),求y=2a2x-3·ax+4的值域.9、解方程4x+|1-2x|=11.创新能力10、若关于x的方程25-|x+1|-4·5-|x+1|-m=0有实根,求m的取值范围.能力拓展1若60a=3,60b=5.求12的值.2方程2x=2-x的解的个数为______________.对数与对数函数概念1.对数的定义:如果ab=N(a>0,a≠1),那么b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b.易得:——对数恒等式2.指数式与对数式的关系:ab=NlogaN=b(a>0,a≠1,N>0).要能灵活运用这个关系,能随时将二者互化。3.对数运算性质:①loga(MN)=logaM+logaN.②loga=logaM-logaN.③logaMn=nlogaM.(M>0,N>0,a>0,a≠1)④换底公式:logbN=(00且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时,点Q(x-2a,-y)是函数y=g(x)图象上的点(1)写出函数y=g(x)的解析式;(2)若当x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定a的取值范围解:(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x-2a,y′=-y即x=x′+2a,y=-y′∵点P(x,y)在函数y=loga(x-3a)的图象上,∴-y′=loga(x′+2a-3a),即y′=loga,∴g(x)=loga(2)由题意在[a+2,a+3]上x-3a≥(a+2)-3a=-2a+2>0;又a>0且a≠1,∴0<a<1,∵|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga|=|loga(x2-4ax+3a2)|而|f(x)-g(x)|≤1,∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1,∵0<a<1,∴又a+2>2a.知u(x)=x2-4ax+3a2在[a+2,a+3]上为增函数,∴只需解得0<a≤,∴所求a的取值范围是0<a≤方法提炼(1).求对称图象的函数解析式的方法;(2).先去绝对值,再利用单调性列不等式组求a的取值范围.练习1、(1);(2)_____________2、函数的图像与函数的图像关于直线对称,则__________。3、设的反函数为,若,则________.4、已知,,则用a,b表示为5、若偶函数满足且时,则方程的根的个数是()。A.2个;B.4个;C.3个;D.多于4个6、若点在第一象限且在上移动,则()A.最大值为1;B.最小值为1;C.最大值为2;D.没有最大、小值7、给出四个函数图象分别满足:①②③④与下列函数图象对应的是()A.①②③④B.①②③④C.①②③④D.①②③④8、函数,若(其中、均大于2),则的最小值为()。A.;B.;C.;D.9、已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则为()。A.   B.   C.    D.10、设,则()。A.B.C.D.11.已知,则()A.B.C.D.12.若,则()A.4B.16C.256D.8113.设函数f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f(2)的大小关系是()(a+1)=f(2)(a+1)>f(2)(a+1)<f(2D.不能确定14.设,则与的大小关系为()A.B.C.D.与的大小关系不确定【探索题】在函数的图象上有A、B、C三点,它们的横坐标分别为、、,若△ABC的面积为S,求函数的值域.幂函数一、知识要点:1.幂的有关概念(1)正整数指数幂(2)零指数幂(3)负整数指数幂(4)正分数指数幂;(5)负分数指数幂(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2.根式的内容(1)根式的定义:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,叫做根式,叫做根指数,叫被开方数。(2)根式的性质:①当是奇数,则;当是偶数,则②负数没有偶次方根,③零的任何次方根都是零3.幂函数:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.注意:①幂函数中的为任意实数。②形如,,,…等形式的函数都不是幂函数4.幂函数性质归纳所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.二、函数图象幂函数的基本形式是,其中是自变量,是常数.在学习与研究幂函数时,同学们要十分重视幂函数图象的作用,借助幂函数图象,掌握幂函数性质.  1、牢记常用幂函数图象常用的幂函数有五个,即,,,,.对于这五个常用幂函数的图象,同学们不但要能在单个坐标系中单独作出,而且要能在同一个坐标系中全部作出.  2、借助图象掌握函数性质  在高中阶段学习函数知识时,需要对函数图象及其基本性质熟练掌握,而掌握函数基本性质的一个最基本,最有效的方法就是借助函数图象.①.观察单个幂函数的性质,可以得到一个性质表.定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性上增上减,上增上增上增,上分别减定点, ②.由性质表可以得出幂函数的共性,总结如下:  (1)当时,图象过定点;在上是增函数.  (2)当时,图象过定点;在上是减函数;在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限接近.  ③.借助图象掌握性质:从水平方向看,由图象上点的横坐标的变化范围,得出函数的定义域;从垂直方向看,由图象上点的纵坐标的变化范围,得出函数的值域;由图象的对称性得出奇偶性;由图象的上升与下降得出单调性.  3、幂函数图象分布规律  在第一象限内观察图象的分布规律,可以得出如下结论:幂函数的图象,在第一象限内,在直线的右侧,图象由下至上,指数由小到大;在轴和直线之间,图象由上至下,指数由小到大.  要熟记这个分布规律,同学们可以通过两个特例来巧记,如观察函数与在第一象限的图象,很快就可以发现在的右侧,的图象在的图象的上方,而在轴和直线之间时,的图象在的图象的下方.  同时,同学们还可以通过分析幂函数的指数特点,探讨指数具有什么特征,图象分布在哪些象限,或者由指数特征探讨图象的对称性等,来掌握幂函数的性质,这里就不再细说了,同学们不妨自己探讨一下.  4、图象基本特点与分布规律的应用  例1 幂函数与在第一象限内的图象如图1所示,则(  ).  A.B.C.D.练习1 如图2,已知幂函数,,,在第一象限内的图象分别是,则的大小关系是     .已知幂函数与的图象与轴都没有交点,且的图象关于轴对称,求的值.诊断练习:如果幂函数的图象经过点,则的值等于2.函数y=(x2-2x)的定义域是3.函数y=的单调递减区间为4.函数y=在第二象限内单调递增,则m的最大负整数是________.例题:例1比较下列各组数的大小:(1),,1;  (2)(-),(-),;(3),,(-);  (4),.例2已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点,且的图象关于y轴对称,求的值.例3幂函数是偶函数,且在上为增函数,求函数解析式.课堂练习:1.幂函数的图象过点,则的值为.2.比较下列各组数的大小:;;.3.幂函数的图象过点(2,),则它的单调递增区间是.4.设x∈(0,1),幂函数y=的图象在y=x的上方,则a的取值范围是.5.函数y=在区间上是减函数.6.一个幂函数y=f(x)的图象过点(3,),另一个幂函数y=g(x)的图象过点(-8,-2),(1)求这两个幂函数的解析式;(2)判断这两个函数的奇偶性;(3)作出这两个函数的图象,观察得f(x)”连结下列各式:,.2.函数的定义域是3.是偶函数,且在是减函数,则整数的值是.4.已知,x的取值范围为5.若幂函数的图象在0
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