1.局部Taylor展开式：Taylor公式2.带Lagrange余项的Taylor公式：带Lagrange余项的Maclaurin公式：§4函数单调性与凸性的判别法函数单调性判别法函数的凸性及其判别法一.函数单调性的判别法定义定理1证明：说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,定理2证明：证明：证明：解：注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．Nove.17Mon.Review函数单调性判别法例4.证明时,成立不等式证:令从而因此且证*证明令则从而即二.函数的凸性及其判别法问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于弦的上方图形上任意弧段位于弦的下方定义1若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数是凸函数或凹函数。凹函数凸函数定义1’凹函数凸函数定义2定理证明：几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。求拐点的步骤：解：解：二阶导数不存在的点也可能是拐点.Nove.23Mon.Review函数单调性判别法函数凸性及其判别法若函数可微：凹函数凸函数函数凸性判别法：求拐点的步骤：3.考察在这些点的左、右的凹凸性。拐点：解：导数不存在，二阶导数也不存在。凸凹凹证明：证明：hw：p1731(3,5)，2(3,5,7,9).p1881(3,5),2(1),3,5,6.更进一步有不等式：例.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列
表
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判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸
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小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线证明：令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.证明:当时，有证明:xxxFp2-=sin)(令,则是凸函数即2.(自证)函数的极值：极大值与极小值§5函数极值、函数作图函数的极值与求法；渐近线；函数作图。一.函数的极值与求法定义：函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定理1(必要条件)注意:例如,极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点).定理2(第一充分条件)(是极值点情形)证明：求极值的步骤:(不是极值点情形)例1.解列表讨论极大值极小值图形如下解：定理3（第二充分条件）证明：极小值极大值定理3’(第二充分条件)例1.若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形；解：证明：证明：解：小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为极值可疑点.函数的极值必在极值可疑点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)Hw：p1733(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.二.渐近线定义:1.垂直渐近线例如有垂直渐近线两条:2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:3.斜渐近线斜渐近线求法:注意:解：解：三.函数作图1.函数基本性质：1).定义域，值域，连续范围；2).函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称；3).周期性。2.利用导数研究函数性质：3.渐近线1).垂直渐近线；2).水平与斜渐近线。4.描点作图解：p1887(1,3,5),8,11(2).p2294,6,8,9,10(1,4,6,7,9),12(1),13(1,3),15,20,21,30列表–xyy..对函数进行全面讨论并画图：解所以，曲线有渐近线x=00(拐点)++因––––00++3极小值+例1.0.间断点0xy3.列表–xyy.对函数进行全面讨论并画图：解所以，曲线有渐近线y=0，因++–++0因y(–x)=–y(x)，图形关于原点对称。–101–0(拐点)间断点间断点–+及x=1，x=–1x=02.0xy1–1.小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.最大值最小值极大值极小值拐点凸的凹的单增单减
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