2020年高考数学30道压轴题研究 新课标 人教版

2020年高考 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 30道压轴题研究1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；（3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明.(14分)2．已知函数对任意实数x都有，且当时，。时，求的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式。证明是偶函数。试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。当3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2为定值；过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。4.以椭圆＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.6已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。求a、b的值；求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；令。是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？7已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱︱是2和的等比中项。求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。8．已知数列{an}满足（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设数列{bn}的前项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论.9．已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围；（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．10.对任意都有（Ⅰ）求和的值．（Ⅱ）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；AOBxPy（Ⅲ）令试比较与的大小．：如图，设OA、OB是过抛物线y2＝2px顶点O的两条弦，且EQ\o(OA,\s\up5(→))·\o(OB,\s\up5(→))＝0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.(13分)12.知函数f(x)＝log3(x2－2mx＋2m2＋EQ\f(9,m2－3))的定义域为R(1)求实数m的取值集合M；(2)求证：对m∈M所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值.13.设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为函数f(x)=(1).求f(的值。（2）。证明：f(x)在[上是增函数。（3）。对任意正数x1、x2,求证：14．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和.对于任意的，都有.=1\*ROMANI、求数列的通项公式.=2\*ROMANII、若对于任意的恒成立，求实数的最大值.15.(12分)已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·=0，=－，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值.16.（14分）设f1(x)=,定义fn+1(x)=f1［fn(x)］,an=,其中n∈N*.求数列｛an｝的通项公式；(2)若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=,其中n∈N*,试比较9T2n与Qn的大小.17．已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）．（I）求点（x，y）的轨迹C的方程；（II）若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．18．已知函数对任意实数p、q都满足（1）当时，求的表达式；（2）设求证：（3）设试比较与6的大小．19．已知函数若数列：…，成等差数列.（1）求数列的通项；（2）若的前n项和为Sn，求；（3）若，对任意,求实数t的取值范围.20．已知△OFQ的面积为（1）设正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），，当取得最小值时，求此双曲线的方程.（3）设F1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A、B分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|=5|F1F|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21、已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足求的通项公式；②若的前项和为，求.22、直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝．椭圆C以A、B为焦点且经过点D．（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；（2）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．23、．设函数（1）求证：对一切为定值；（2）记求数列的通项公式及前n项和.24.已知函数是定义在R上的偶函数.当X0时,=.求当X<0时,的解析式;试确定函数=(X0)在的单调性，并证明你的结论.若且，证明：|－|<2.25、已知抛物线的准线与轴交于点，过作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与X轴交于D(X0,0)⑴求X0的取值范围。⑵△ABD能否是正三角形？若能求出X0的值，若不能，说明理由。26、已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且∣AD∣=2⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程。⑵过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且∣MN∣=，MN的中点到Y轴的距离为，求椭圆的方程。⑶与E点轨迹相切的直线l交椭圆于P、Q两点，求∣PQ∣的最大值及此时l的方程。YDCEAOBX27．（14分）（理）已知椭圆，直线l过点A（－a，0）和点B（a，ta）（t＞0）交椭圆于M.直线MO交椭圆于N.（1）用a，t表示△AMN的面积S；（2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值.28．已知函数f(x)=eq\f(bx+c,x+1)的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若数列{an}（n∈N*）满足：an>0，a1=1，an+1=[f(eq\r(an))]2，求数列{an}的通项公式an，并证明你的结论.30、已知点集其中点列在中，为与轴的交点，等差数列的公差为1，。（1）求数列，的通项公式；（2）若求；（3）若是否存在使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。21．经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线交于、两点.(12分)（1）若线段的中点为,直线的斜率为,试求点的坐标,并求点的轨迹方程（2）若直线的斜率,且点到直线的距离为,试确定的取值范围.1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率。（2）解：由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为。由方程组得，依题意，得。设，则，①。②由直线PQ的方程得。于是。③∵，∴。④由①②③④得，从而。所以直线PQ的方程为或（3，理工类考生做）证明：。由已知得方程组注意，解得因，故。而，所以。2①f(x)=(2k≦x≦2k+2,k∈Z)②略⑶方程在[1，4]上有4个实根3①x2=4y②x1x2=-4⑶P(±2,1)SMIN=4.解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1）设BC∶y＝kx＋1（k＞0）则AB∶y＝－x＋1把BC方程代入椭圆，是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0∴|BC|＝，同理|AB|＝由|AB|＝|BC|，得k3－a2k2＋ka2－1＝0（k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4由Δ＜0，得1＜a＜由Δ＝0，得a＝，此时，k＝1故，由Δ≤0，即1＜a≤时有一解由Δ＞0即a＞时有三解5解：依题意，知a、b≠0∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0∴a＞0且c＜0（Ⅰ）令f（x）＝g（x），得ax2＋2bx＋c＝0.（*）Δ＝4（b2－ac）∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0∴f（x）、g（x）相交于相异两点（Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标则|A1B1|2＝|x1－x2|2，由方程（*），知|A1B1|2＝∵，而a＞0，∴∵，∴∴∴4［（）2＋＋1］∈（3，12）∴|A1B1|∈（，2）6、解：（1）=依题意得k==3+2a=－3，∴a=－3，把B（1，b）代入得b=∴a=－3，b=－1（2）令=3x2－6x=0得x=0或x=2∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3f（－1）=－3，f（4）=17∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987∴A≥2020。已知g（x）=－∴∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0，当t＞3时，t－3x2＞0，∴g（x）在上为增函数，g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）当0≤t≤3时,令=0,得x=列表如下:x（0,）＋0－g（x）↗极大值↘g（x）在x=处取最大值－＋t=1∴t==＜3∴x=＜1③当t＜0时，＜0，∴g（x）在上为减函数，∴g（x）在上为增函数，∴存在一个a=，使g（x）在上有最大值1。7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,,=（－2－x,－y）=（2－x,－y）∴·=（－2－x,－y）·（2－x,－y）=由题意得∣PH∣2=2··即即，所求点P的轨迹为椭圆（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣双曲线的C实轴长2a=（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为所以，双曲线C的实半轴长a=又∴双曲线C的方程式为8.（1）（2）9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0∵该直线与圆相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分故设双曲线C的方程为．又双曲线C的一个焦点为∴，．∴双曲线C的方程为．………………………………………………4分（Ⅱ）由得．令直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根．因此　解得．又AB中点为，∴直线l的方程为．………………………………6分令x=0，得．∵，∴∴．………………………………………………8分（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使，若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使．根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是　　①…………………………………………10分由于点N是线段的中点，设，．则，即．代入①并整理得点N的轨迹方程为．………………12分10解：（Ⅰ）因为．所以．……2分令，得，即．……………4分（Ⅱ）又………………5分两式相加．所以，………………7分又．故数列是等差数列．………………9分（Ⅲ）………………10分………………12分所以……………………………………………………………………14分11．设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0则OA的方程为y＝kx由EQ\b\lc\{(\a\al(y＝kx,y2＝2px))解得A(EQ\f(2p,k2)，\f(2p,k))……4分又由，知OA⊥OB，所以OB的方程为y＝－EQ\f(1,k)x由EQ\b\lc\{(\a\al(y＝－\f(1,k)x,y2＝2px))解得B(2pk2，－2pk)……4分从而OA的中点为A'(EQ\f(p,k2)，\f(p,k))，OB的中点为B'(pk2，－pk)……6分所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为x2＋y2－EQ\f(2px,k2)－\f(2py,k)＝0……①x2＋y2－2pk2x＋2pky＝0……②……10分∵P(x，y)是异于O点的两圆交点，所以x≠0，y≠0由①－②并化简得y＝(k－EQ\f(1,k))x……③将③代入①，并化简得x(k2＋EQ\f(1,k2)－1)＝2p……④由③④消去k，有x2＋y2－2px＝0∴点P的轨迹为以(p，0)为圆心，p为半径的圆(除去原点).……13分12．(1)由题意，有x2－2mx＋2m2＋EQ\f(9,m2－3)＞0对任意的x∈R恒成立所以△＝4m2－4(2m2＋EQ\f(9,m2－3))＜0即－m2－EQ\f(9,m2－3)＜0∴EQ\f((m2－\f(3,2))2＋27,m2－3)＞0由于分子恒大于0，只需m2－3＞0即可所以m＜－EQ\r(3)或m＞EQ\r(3)∴M＝{m|m＜－EQ\r(3)或m＞EQ\r(3)}……4分(2)x2－2mx＋2m2＋EQ\f(9,m2－3)＝(x－m)2＋m2＋EQ\f(9,m2－3)≥m2＋EQ\f(9,m2－3)当且仅当x＝m时等号成立.所以，题设对数函数的真数的最小值为m2＋EQ\f(9,m2－3)……7分又因为以3为底的对数函数为增函数∴f(x)≥log3(m2＋EQ\f(9,m2－3))∴当且仅当x＝m(m∈M)时，f(x)有最小值为log3(m2＋EQ\f(9,m2－3))……10分又当m∈M时，m2－3＞0∴m2＋EQ\f(9,m2－3)＝m2－3＋EQ\f(9,m2－3)＋3≥2EQ\r((m2－3)·\f(9,m2－3))＋3＝9当且仅当m2－3＝EQ\f(9,m2－3)，即m＝±EQ\r(6)时，log3(m2＋EQ\f(9,m2－3))有最小值log3(6＋EQ\f(9,6－3))＝log39＝2∴当x＝m＝±EQ\r(6)时，其函数有最小值2.13．解析：（1）。，由根与系数的关系得，同法得f((2).证明：f/(x)=而当x时，2x2-tx-2=2(x-故当x时,f/(x)≥0,函数f(x)在[上是增函数。（3）。证明：,同理.又f(两式相加得:即而由（1），f(且f(,.14(=1\*ROMANI)当时,,,又{an}各项均为正数,.数列是等差数列,(=2\*ROMANII),若对于任意的恒成立,则.令,.当时,.又，.的最大值是.15.（1）设点M的坐标为(x,y)，由=－,得P(0,－),Q(,0),2分由·=0，得（3，－）(x,)=0,又得y2=4x,5分由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0,所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.6分（2）设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y2=4x,得k2x2+2(k2－2)x+k2=0,①7分设A（x1,y1）,B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个实根，∴x1+x2=－,x1x2=1,所以，线段AB的中点坐标为(,),8分线段AB的垂直平分线方程为y－=－(x－),9分令y=0,x0=+1,所以点E的坐标为(+1,0)因为△ABE为正三角形，所以点E（+1,0）到直线AB的距离等于｜AB｜,而｜AB｜==·,10分所以，=,11分解得k=±,得x0=.12分16.（1）f1(0)=2,a1==,fn+1(0)=f1［fn(0)］=,an+1====－=－an,4分∴数列｛an｝是首项为,公比为－的等比数列，∴an=(－)n－1.6分（2）T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n－1)a2n－1+2na2n,－T2n=(－a1)+(－)2a2+(－)3a3+…+(－)(2n－1)a2n－1+(－)·2na2n=a2+2a3+…+(2n－1)a2n－na2n,8分两式相减得T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n,所以，T2n=+n×(－)2n－1=－(－)2n+(－)2n－1,10分T2n=－(－)2n+(－)2n－1=(1－).∴9T2n=1－,Qn=1－,12分当n=1时，22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n＜Qn;当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n＜Qn;13分当n≥3时，22n=［（1+1）n］2=(C+C+C+…+C)2＞(2n+1)2,∴9T2n＞Qn.14分17．解（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+,y),–=（x,0）(1,y)=(x,–y).(+)(),(+)·()=0,(x+)(x)+y·(y)=0,故P点的轨迹方程为．　　　　　　　（６分）（II）考虑方程组消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0(*)显然1-3k20,=(6km)2-4(1-3k2)(-3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0.设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=，x0=,y0=kx0+m=,故AB中点M的坐标为（，）,线段AB的垂直平分线方程为y=（）,将D（0，–1）坐标代入，化简得4m=3k21,故m、k满足消去k2得m24m>0,解得m<0或m>4.又4m=3k21>1,故m(,0)(4,+)．　　（１２分）18．(1)解　由已知得．　　　(4分)(2)证明　　由(1)可　知　设则．两式相减得+…+．（9分）（3）解　由（1）可知则=　　故有=6．（１４分）19．（1）（2）（3）为递增数列中最小项为20．（1）（2）设所求的双曲线方程为又由当且仅当c=4时，最小，此时Q的坐标为所求方程为（3）设的方程为的方程为则有①②③设由①②得，代入③得的轨迹为焦点在y轴上的椭圆.21、解：（1）为偶函数　　　为奇函数　　　是以为首项，公比为的等比数列.（2）22、解析：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，A（-1，0），B（1，0）　　设椭圆方程为：　　令　∴　　∴　椭圆C的方程是：　　　（2），，l⊥AB时不符，　　设l：y＝kx＋m（k≠0）　　由　　　M、N存在　　设M（，），N（，），MN的中点F（，）　　∴　，　　∴　∴∴∴且　　∴　l与AB的夹角的范围是，．23、（1）24、（1）当X<0时,（3分）（2）函数=(X0)在是增函数；（证明略）（9分）（3）因为函数=(X0)在是增函数，由x得；又因为，所以，所以；因为，所以，且，即，所以，-2≤f(x1)–f(x2)≤2即|－|<2.（14分）25、解：⑴由题意易得M(-1,0)设过点M的直线方程为代入得………………………………………（１）再设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）则ｘ１＋x2=，ｘ１·x2=１y１＋y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(ｘ１＋x2)+2k=∴ＡＢ的中点坐标为（）那么线段ＡＢ的垂直平分线方程为，令得，即又方程（１）中△＝⑵若△ABD是正三角形，则需点D到AB的距离等于点到AB的距离d=据得：∴，∴，满足∴△ABD可以为正△，此时26、解：⑴设E（x，y），D（x0，y0）∵ABCD是平行四边形，∴，∴（4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）∴（x0+6，y0）=(2x+4，2y)∴又即：∴□ABCD对角线交点E的轨迹方程为⑵设过A的直线方程为以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4，则C=2设椭圆方程为，即…………………（*）将代入（*）得即设M（x1，y1），N（x2，y2）则∵MN中点到Y轴的距离为，且MN过点A，而点A在Y轴的左侧，∴MN中点也在Y轴的左侧。∴，∴∴∵∴∴即∴∴∴，，∵，∴∴∴所求椭圆方程为⑶由⑴可知点E的轨迹是圆设是圆上的任一点，则过点的切线方程是①当时，代入椭圆方程得：，又∴∴=令则，∵∴当t=15时，取最大值为15，的最大值为。此时，∴直线l的方程为②当时，容易求得故：所求的最大值为，此时l的方程为27．解（理）（1）易得l的方程为…1分由，得（a2t2+4）y2－4aty=0…2分解得y=0或即点M的纵坐标………………4分S=S△AMN=2S△AOM=|OA|·yM=…7分（2）由（1）得，令…………9分由当时，…10分若1≤a≤2，则，故当时，Smax=a11分若a＞2，则在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数.∴当t=1时,13分综上可得…………14分28.(1)∵函数f(x)=eq\f(bx+c,x+1)的图象过原点，即f(0)=0，∴c=0，∴f(x)=eq\f(bx,x+1).又函数f(x)=eq\f(bx,x+1)=b-eq\f(ab,x+1)的图象关于点（-1，1）成中心对称，∴a=1，b=1，∴f(x)=eq\f(x,x+1).(2)由题意有an+1=[eq\f(\r(an),\r(an)+1)]2，即eq\r(an+1)=eq\f(\r(an),\r(an)+1)，即eq\f(1,\r(an+1))=eq\f(1,\r(an))+1，∴eq\f(1,\r(an+1))-eq\f(1,\r(an))=1.∴数列{eq\f(1,\r(an))}是以1为首项，1为公差的等差数列.∴eq\f(1,\r(an))=1+(n-1)=n，即eq\r(an)=eq\f(1,n)，∴an=eq\f(1,n2).∴a2=eq\f(1,4)，a3=eq\f(1,9)，a4=eq\f(1,16)，an=eq\f(1,n2).29、解：（1）由，得…………2分，则…………4分（2）当时，，…………6分…………8分（3）假设存在符合条件的使命题成立当是偶数时，是奇数，则由得…………11分当是奇数时，是偶数，则由得无解综上存在，使得…………14分30.解：（1）设，，直线AB的方程为：把代入得：∴∴∴∴点M的坐标为；消去可得点M的轨迹方程为：；（2）∵∴∴∴∵∴，∴∴∴或∴或∴∴的取值范围为。