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第1讲 菱形(基础) 学生版

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第1讲 菱形(基础) 学生版菱形(根底)【学习目标】理解菱形的概念.掌握菱形的性质定理及判定定理.【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释:菱形的定义的两个要素:①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形,然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外,还有一些特殊性质:菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.菱形也是轴对称图形,有两条对称轴(对角线所在的直线),对称轴的交点就是对称中心.要点诠释:(1)菱形是特殊的平行...

第1讲 菱形(基础) 学生版
菱形(根底)【学习目标】理解菱形的概念.掌握菱形的性质定理及判定定理.【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释:菱形的定义的两个要素:①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形,然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外,还有一些特殊性质:菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.菱形也是轴对称图形,有两条对称轴(对角线所在的直线),对称轴的交点就是对称中心.要点诠释:(1)菱形是特殊的平行四边形,是中心对称图形,过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两局部.(2)菱形的面积有两种计算方法:一种是平行四边形的面积公式:底X高;另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和).实际上,任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.(3)菱形可以用来证明线段相等,角相等,直线平行,垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种:定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释:前两种方法都是在平行四边形的根底上外加一个条件来判定菱形,后一种方法是在四边形的根底上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质C1、(广安)如图,四边形ABCD是菱形,CE±AB交AB的延长线于点E,CF±AD交AD的延长线于点F,求证:DF=BE.【总结升华】此题考查了菱形的性质,角平分线的性质,关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.同时考查了全等三角形的判定与性质.举一反三:【变式1】(温州模拟)如图,在菱形ABCD中,点E是AB±的一点,连接DE交AC于点0,连接B0,且ZAED=50°,那么ZCB0=度.【变式2】菱形ABCD中,ZA:ZB=1:5,假设周长为8,那么此菱形的高等于().A.-B.4C.1D.22类型二、菱形的判定C2、如下图,在Z\ABC中,CD是ZACB的平分线,DE〃AC,DF〃BC,四边形DECF是菱形吗?试说明理由.【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时,首先判定这个四边形是平行四边形,再由一对邻边相等来判定它是菱形.举一反三:【变式】如下图,AD是AABC的角平分线,EF垂直平分AD,分别交AB于E,交AC于F,那么四边形AEDF是菱形吗?请说明理由.▼3、如下图,在Z\ABC中,ZBAC=90°,AD1BC于点D,CE平分ZACD,交AD于点G,交AB于点E,EFJBC于点F.求证:四边形AEFG是菱形.【总结升华】判定一个四边形是菱形,关键是把条件转化成判定方法所需要的条件.举一反三:【变式】如下图,在OABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG〃DB交CB的延长线于点G.(1)求证:DE/7BF;⑵假设ZG=90°,求证四边形DEBF是菱形.类型三、菱形的应用▼4、如下图,是一种长0.3m,宽0.2m的矩形瓷砖,E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点,阴影局部为淡黄色花纹,中间局部为白色,现有一面长4.2m,宽2.8m的墙壁准备贴如下图规格的瓷砖.试问:(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后,这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?4w,一£,一一。【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的,因而铺满墙面后,要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数.将相同的图形拼在一起,在顶点周围的儿个图形也能拼成一定的图案,不要忽略周围图形的拼接.【稳固练习】选择题(潍坊模拟)以下说法中,错误的选项是()A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边C.菱形的对角线互相垂直D.对角线互相垂直的四边形是菱形(莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直3.如图,在菱形ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点,如果EF=2,那么菱形ABCD的周长是()TOC\o"1-5"\h\zA.4B.8C.12D.164.如图,在菱形ABCD中,AB=5,ZBCD=120°,那么△ABC的周长等于()A.20B.15C.10D.55.如图,在菱形ABCD中,AC、BD是对角线,假设ZBAC=50°,那么NABC等于()A.40°B.50°C.80°D.100°6.将矩形纸片ABCD按如下图的方式折叠,得到菱形AECF.假设AB=3,那么BC的长为()A.1B.2C.V2D.V3填空题7.菱形的周长为40cm,两个相邻角度数之比为1:2,那么较长对角线的长为cm.8.(南充)如图,菱形ABCD的周长为8cm,高AE长为灰m,那么对角线AC长和BD长之比为rCE菱形ABCD两对角线AC=8cm,BD=6cm,那么菱形的高为.(内江)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE±BC,垂足为点E,那么OE=.11.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点0,AB=13,AC=10,过点D作DE〃AC交BC的延长线于点E,那么ABDE的周长为・12.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点B的坐标为(8,4),那么C点的坐标为—13.如图,在菱形ABCD中,ZABC=120°,E是AB边的中点,P是AC边上一动点,PB+PE的最小值是占,求AB的值.14.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB,CD的中点,连接DE、BF、BD.假设AD1BD,那么四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论.15(泰安校级期中)如图,在左ABC中,ZABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE±BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.求证:BD=DF;求证:四边形BDFG为菱形;假设AG=13,CF=6,求四边形BDFG的周长.【答案与解析】一.选择题【答案】D;【答案】D【解析】...菱形具有的性质:对边相等,对角相等,对角线互相平分,对角线互相垂直;平行四边形具有的性质:对边相等,对角相等,对角线互相平分;.・.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是:对角线互相垂直.应选D.【答案】【解析】【答案】【解析】3.4.D;BC=2EF=4,周长等于4BC=16・B;VZBCD=120°,AZB=60°,又VABCD是菱形,ABA=BC,「.△ABC是等边三角5.形,故可得△ABC的周长=3AB=15.【答案】C;6.【解析】..•四边形ABCD是菱形,.\ZBAC=-ZBAD,CB〃AD,VZBAC=50°,AZBAD2=100°,・.・CB〃AD,.\ZABC+ZBAD=180o,:.ZABC=180°-100°=80°.D;【答案】【解析】ZDAF=ZFAO=Z0AE=30°,所以2BE=CE=AE,3BE=3,BC=0BE=J^.二.填空题7.【答案】10^3;【解析】8.【答案】【解析】由题意,菱形相邻内角为60°和120°,较长对角线为2V102-52=10x/3.1:V3;如图,设AC,BD相较于点O,菱形ABCD的周长为8cm,•.AB=BC=2cm,,•BE=7aB*AE^1(河),.•高AE长为•.CE=BE=lcm,•.AC=AB=2cm,.•OA=lcm,AC±BD,ob=7aB2-OA2=^3(cm),/.BD=2OB=2V3cm,AC:BD=1:V5.249.【答案】—ctn;524【解析】菱形的边长为5,面积为一x6x8=24,那么高为一cm.510.【答案】125..・・ACLBD,OB=OD=【BD=3,OA=OC=—AC=4,【解析】・.•四边形ABCD为菱形,TOC\o"1-5"\h\z22在RtAOBC中,・..OB=3,OC=4,VOE1BC,.\1OE*BC=1OB*OC,22・・・oe=M=HHYPERLINK\l"bookmark37"\o"CurrentDocument"55故答案为511.【答案】60;【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在RtAAOB中利用勾股定理求出0B=12,BD=20B=24,DE=20C=10,BE=2BC=26,ABDE的周长为60.12.【答案】(3,4);【解析】过B点作BD10A于D,过C点作CE10A于E,BD=4,0A=x,AD=8-x,x2=(8-x)2+42,解得x=5,所以0E=AD=8—5=3,C点坐标为(3,4).解答题13.【解析】解:VZABC=120°.•.ZBCD=ZBAD=60°;・.•菱形ABCD中,AB=AD「.△ABD是等边三角形;又...E是AB边的中点,B关于AC的对称点是D,DE±AB连接DE,DE±jAC交于P,PB=PD;DE的长就是PB+PE的最小值刀;设AE=x,AD=2x,DE=^(2x)2-x2=V3x=>/3,所以x=l,AB=2x=2.【解析】四边形BFDE是菱形,证明:VAD1BD,.•.△ABD是直角三角形,且AB是斜边,・.・E为AB的中点,1・.・DE=—AB=BE,2..•四边形ABCD是平行四边形,・.・DC〃AB,DC=AB,•.・F为DC中点,E为AB中点,11・.・DF=-DC,BE=-AB,22.\DF=BE,DF〃BE,.・・四边形DFBE是平行四边形,VDE=EB,.・・四边形BFDE是菱形.【解析】证明:•••/ABC=90°,BD为AC的中线,•••BD=』AC,2*.*AGIIBD,BD=FG,四边形BGFD是平行四边形,CF±BD,/.CF±AG,又•.•点D是AC中点,df=1ac,2BD=DF;证明:BD=DF,四边形BGFD是菱形,解:设GF=x,那么AF=13-x,AC=2x,•.•在RtAACF中,ZCFA=90°,/.AF2+CF2=AC2,即(13-x)2+62=(2x)2,解得:x=5,.•・四边形BDFG的周长=4GF=20・
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