第三章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性和能观性是卡尔曼(Kalman)在I960年首先提出来的，它是最优控制和最优估值的设计基础。能控性和能观性是分别分析u(t)对状态x(t)的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的反映能力。§3—1能控性的定义能控性所研究的只是系统在控制作用u(t)的作用下，状态矢量x(t)的转移情况，而与输出y(t)无关。矢量的线性无关与线性相关：如果Gxi*C2x2C3X3Cnxn=0式中的常数C1,C2Cn满足G=C?=C3性无关。0,则把向量X「X2Xn叫做线1110L1Xi二011X2二1X3_0_00□便是线性例如向量0Cn无关。若向量Xi,x2…xn中有一个向量Xi为其余向量的线性组合,即：Xi、CjXjj=ij-i则称向量Xi,X2xn为线性相关。例如向量XiX3二2_4便是线性相关。Xi不全为零。故为线性相关。具有约旦
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型系统的能控性判据1•单输入系统先将线性定常系统进行状态变换，又例如在式中X3X2,Xi3x^0式中系数并把状态方程的A阵和B阵化为约旦标准型（A,E?）,再根据B阵确定系统的能控性。具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为x八xbu或x二Jxbu20,各根互异。其中：（特征值有重根的）1011001101J0nb2bX11C2c1x1c2x2ycy(t)u(t)b1X1C2_bn卜面列举两个二阶系统，对其能控性加以剖析。「0例:1)厂匕x2二2X2pu00Xu2巾2m2从上式看出X1与u无关，即不受u控制，因而只有一个特故为状态不完全能控的，—01殊状态。X=X2(t)是能控制状态，因而为不能控系统。11X_b2例：2)y约旦型)c2]xX厂'1x1x2X2=2X2b?u（为y=GNc2x2lL（t）川2*C2虽然X1与u(t)无直接关系，但它与X2是有联系的，而X2却是受控于u(t)的，所以系统的各状态完全能控的。几点结论：系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。系统矩阵A是由系统的结构和内部参数决定的，控制矩阵b是与控制作用的施加点有关的。因此系统的能控性完全取决于系统的结构、参数以及控制作用的施加点。在A为对角线型矩阵的情况下，如果b的元素有为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与u(t)无关。这样，该方程的解无强制分量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时间tf内，衰减到零状态。从状态空间上说，xT=%,X2…Xn1是不完全能控的。在A为约旦标准矩阵的情况下，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，故只有当b中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，相应的为一个一阶标量齐次微分方程，而成为不完全能控的。在结构图中与u(t)无关的孤立方块，其自由解是Xi(0)eit，故为不能控状态。(见p84例
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)一•线性连续定常系统的能控性定义设线性定常系统x=Ax•Bu能控性定义：如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间［totf］内，使系统由某一初始状态x(to)转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的。几点说明：1•在线性定常系统中，为简便，可以假定初始时刻to=0，初始状态为X(0)，而任意终端状态就指定为零状态，x(tf)=02•假定x(t。)=0，而x(tf)为任意终端状态，若存在一个无约束控制作用u(t)，在有限时间［totf］内，能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)。3.在讨论能控性的同时，控制作用从理论上说是无约束的(而实际上是不可能的)其取值并非是唯一的，我们关心的只是它能否将X(to)驱动到X(tf)，而不计较X的轨迹如何。对于离散时间系统对于单输入的n阶线性定常离散系统x(k1)=Gx(k)Hu(k)u(k)是标量控制作用，它在(k1,k)区间内是个常值。若存在控制作用序列u(k),u(k+1)…u(L-1)能将第k步的某个状态x(k)在l上到达零状态，x(L)=0(Lk的有限数)就称此状态是能控的。若系统在第k步上的所有状态x(k)都是能控的，那么此系统是状态完全能控的，称为能控系统。直接从A与B判别系统的能控性1.单输入系统：M=BABA2B…An，B】线性连续定常单输入系统，x=AxBu如果能用一个无约束的控制信号，在有限的时间内t。”tf，使初始状态转移到任一终止状态，这个系统称为可控系统。如果系统中各个状态都可控，我们称之为完全能控系统。对状态方程的解：tx(t)=(t-to)x(O)t。(t-)bu()dt-to(3—17)对任意的初始状态矢量x(to)，应能找到u(t)，使之在有限时间内tf-to转移到零状态'x(tf^01，令t=tf,x(tf)=0上式得：.tf(tf-to)x(to)…t(tf-)bu()dto左边同乘一个1(tf-to)八(to-tf)tfx(to)…t。(to-)bu()d(3—18)根据凯莱一哈密顿定理，A的任一次幂，可由其0.12…(n-1)幂的和表示n-1区ajkAj=0(对任何的k)kAt、.tk故：⑴飞二^Ak=0k!(3-19)kkn-1⑴八打Ak八亍ajkk=ok!k=ok!j=ok其中：-j(t)八ajk口k=0k!将上式代入式(3-18)有nTnTx(t0)AjbjAjbjj=oj=0tf-ti(to-)u()dt0其中jn—1=Aj八Aj'tkajk..j=ouok!(3—20)其中p0.12n1,i=0,1,2,...,n-1由于u(t)为标量函数，又是定限积分,(3-20)写成矩阵形式所以j也是标量，将式x(to)…BABA2BAn1Bj(3-21)要是系统能控，则对任意给定的初始状态x(to)，应能从式(3—21)解出j来。X1（t°）=-[bAbA2bAn1b1-1x2（to）一Xn一l（t。）（3—22）M=BABA2BAn1B〔的逆存在。A,B构成的能控性矩阵M二■xj例1：_x2rankM二n因此必须保证系统秩等于n（即满秩）即rankM二n，当系统rankM时，系统为不能控的，单输入系统x二AxBu，其能控的充分必要条件是由bAbAbI必须是满秩1x1II-1…x2」1cu01AB-11=1o0-1OO11BB,AB「0rankMn不能控-01000.111111x=I001x0uB二0例2:iiiiiI-a。-a1■a20_1011i-11111AB二1
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，如果时间间隔取得太近，y(t)的各值相差无几，保证不了其各方程状态的独立性。一旦确定了初始状态，便可根据给定的控制量(输入)，t利用状态转移方程：x(t)「(t-to)x(to)，J(t-)BuC)d求各个瞬时的状态。1.对系统进行坐标变换成约旦标C阵，判别其能观性。2.直接根二.定常系统能观性的判别定常系统能观性的判别:准型，然后根据标准型下的据A阵和C阵进行判别。转换成约旦标准型的判别方法(3-25)x二Axx(topX。y=cx(1)A为对角线矩阵:1101-|人21Z=1111_0nCiiC12C1n11C21C22C2n1111-Cm1Cm2Cmn1」■iXieltI2X2x(t)_e"IJ』nXn_eChXiC12X2+…+C1nXnC21X1C22X2+…+C2nXnACyiX2XioX20XnXnOXi(3—26)(3—27)ym=CmiXi+Cm2X2+…+cX^mn八n将式(3—26)代入式(3—27)cii1C12"ciJeAltXio'1c11A2t/xx|C21C22C2n|eX20y(t)=|……IlF1i-Cm1Cm2Cmn」lentXno」从状态矢量而言，系统矩阵A为对角线矩阵时，y2测的充分必要条件是输出矩阵C中没有全为零的列(3—28)系统能观若第i列-01111X==1c+1iu-3-4」3s-12亠3s+4=s+4s+3所以其中S1——101y二■2Jx1」S2=-3全为零与之相应的Xi(t)为不能观的例：判别系统的能观性11「1TzT_1ATT-1131^-1-1_乙z"Bu3112z2121T_1AT2u»亠_12其中：2-1023u1z-0-3-32101111cTz=111iz=1-1-3ll21-1cXz=cTz5yC阵没有全零的列，完全能观的(2)A为约旦标准型矩阵：(以三阶为例)宀101A=J二0■i1_00J11SJ状态方程的解-|1It01eJt八(t)二e七II注：0-I:00-'1tXi(t)11eIX10x(t)二X2(t)二-X3(t)c111C12C131C=1|C21C221C23lC31C32C33」丄t22!1.n-11t(n-1)!ta1严(n-2)!a■4t0---1+丄鮎t12加IteX20孑eX30'1teX30tx'iteX20teX30y^t)C111C121tC13eX1011te%寸t2ey2(t)=1C21C2211C23■1t丄■1teX20teX30M(t)-C31C32C33‘1teX30IJy(t)(3-29)由以上可知，当输出矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)中总包含看系统的全部自由分量而为完全能观充要条件:1•在系统矩阵为约旦标准型的情况下，系统能观的充要条件是输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列元素不全为J—|_A^零。由于任意系统矩阵A经T’AT变换后，均可演化为对角线或约旦型，此时只需根据输出矩阵CT是否有全为零的列,或对应约旦块的CT的第一列是否全为零，便可以确定系统的能观性。3•直接从A,C阵判断系统的能观性。X(t)=(t-to)x°n-1(t-t。)八j(t-t°)Ajj=on-1y(t)=Cx(t)YPj(t-t°)CAjx。j=0.1.27nTj=0-C111CAy(t)=*oi人i…IiJcA2X。i:(3-30)!can-1一根据在时间区间to兰t兰tf测量到的，要能从式(3-30)唯一的确定Xo，完全能观的充要条件是nmn矩阵的秩为n其中mn为C阵输出的结构CCAN二CA2I,II：I_CAn_1例:或NTx1I.IX2CTatct11x1L_2-1.[x2」(AT)n1cT】0(3—31)0宀X2系统是否可控可观的?-21_1「}011BAB1二1T」的秩为2,所以系统是状态完全能控的。101111-1_1Idn]f丨；「01『/1Cbcab-10101一1IL-2为1,系统输出完全能控。n「ca一rr111rnC='10CA10二11IL_2-1秩为2,系统完全能观测。§3-4离散系统的能控性与能观性一•能控性矩阵M离散时间系统的状态方程如下：x(k1)=Gx(k)Hu(k)当系统为单输入系统时u(k)-标量控制作用，控制阵H为n维列矢量。G-系统矩阵(n%n)x-状态向量(n><1)米样周期为常数根据§3-1能控性定义，在有限个采样周期内，若能找到阶梯控制信号，使得任意一个初始状态转移到零状态，那么系统的状态是完全能控的。x(0)看能否找到阶梯控制_0怎样才能判定能否找到控制信号呢？先看一个实例：x(k1)二Gx(k)Hu(k)(3-33)10101111G=02-2卄0110_12任意给一个初始状态,u(0)，u(1)，u(2)在三个采样周期内使x(3p0，利用递推法k=0,x(1)=Gx(0)Hu(0)11002121II1II1111=02-210u(0)=20u(0)一-110.0一11一1k=1,x(2)二Gx(1)Hu(1)=G2X(0)GHu(0)Hu(1)1100210011IlI1I1Iin=0211-220220u(0)0u(1)一-110_-1110_1_121o-111=6-2u(0)0u(1)0-11k二2,x(3pGx(2)Hu(2)=G3x(0)G2Hu(0)GHu(1)Hu(211002111101101二02■2602-2-2u(0)IL"110_0It10_-111001「1102-20u(1)0u(2)110_1!h\21n-11111二121-2u(0)-2u(1)0u2一4I--3一-1_1令x(3p0,从上式得到三个标量方程，求解u(0),u(1),u(2)写成状态方程1111u(0)111211-2-20u(1)127IL-3-11一u(2)_41111u(0)111211-2-20u(1)二-12IL-3-11_u(2)一4系数矩阵是非奇异，其逆阵存在，方程有解u(0)1I11-1111211-511u(1)…-2-2012=11_u(2)-3-11一4.-8在第三步时，使状态转移到零，因此为能控系统，所以有解的充要条件(能控)系数矩阵满秩。对于式(3-33),初始条件为x(0)时，其解k—1(3-37)xk二GKX(O)'Gkj1Hu(j)j=o如果能控k=n时，解得u(0),u(1「u(n-1)使x(k)在第n个采样时刻为零k-1x(0)=0从而有：瓦j=0或Gn_1Hu(0^Gn「2Hu(1)GHu(n-2)Hu(1)=Gnx(0)u(0)I1u(1)Gn」HGn_2HGHH二-Gnx(0)u(n-2)_u(n-1)(3-38)M=HGHG2HGk-2H(3-39)上面例题:11I111H二0GH—2_1-1Gn-1H】的秩等于n12-311110IIIM=0-2-201_1-1-3_00对于多输入系统，H不再是n维列向0I01秩为3,能控。而是nyr矩阵H，r上式有解的充要条件是能控性矩阵是输入n的维数，m是一个n沃nr矩阵。121100u,(k)例x(k+1)=；01O；x(k)+；O10花2(k)例：〔103」]001」]u3(k)」10021441H二010G2卄010_001421011001212441M二0100100101111满秩，能控_0011034210写成式（3-38）u1（0）IIU2（0）U3（°）2144121100U1（1）010010010U2（1）4210103001U3（1）ui（2）u2（2）II-Us（2）1I…2_12n3_x1（0）iiii10X2（0）03_X3（0）它是一个待求变量为9只有三个方程的方程组，只要是满秩就有解，而且是无穷多组解，能控关心的是有解，具体是什么样的控制信号，在此无关紧要。在多输入系统中，n阶系统初始状态转移到原点，只需要一个采样周期，x(0)就能转移到原点。HU(O)…Gx(O)'H1已知，G已知，x(0)已知，求u(0)即可。二•能观性矩阵N设离散系统的能观性x(k1)=Cx(k)y(k)二Cx(k)(3—41)y-m维矢量C-mn输出矩阵H-n维G-nnx-n1如果知道有限采样周期内的输出y(k),就能唯一地确定任意初始状态矢量x(0),则系统是完全能观的，现推导能观性条件x(kpGkx(0)y(k)=CGkx(O)(3-42)若系统能观，那么在知道y(0),y(i厂y(n-1)时，应能确定出，X(0)=〔X1(0)X2(0)Xn(0)“式(3—42)可得：y(0pGx(0)y(1pCGx(0)y(n-1)=CGn-1x(0)写成矩阵的形式，y(0)1nC1x1(0)1y(1)二1:ICG1:11，nx1X2(°)11:11・11_y(n-1)1・_CGn_1111一Xn(O)(3—43)x(0)有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于n,这个系数矩阵称为能观性矩阵。或NT二CTgtct(Gn_1)TCT1_CGn_1(3—44)§3—6能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性有其内在关系，即卡尔曼提出的对偶原理,利用对偶关系可以把系统能控性分析转化为对偶系统能观性的分析。一•线性系统的对偶关系Xi两个系统:第一个系统为:yi二A1xC=CR(3—106)Ci!(?2]?=A??i?ux二Rc?斥內1汕」+昭「？2」-0A?22」」？2-启2」=Z?11?11?山/?12?2能控的5?2=A22x2+B2u=A22x2其中i?2=0，所以B2u=0式（3—103）将系统的状态空间分解成能控的和不能控的两部分，其中ni维空间?1=乩1?1+BiU+尺12?2是能控的。而（n-nj维子空间系统?2=?22?2是不能控的，U对?2不起作用，？2仅作无控的自由运动。若不考虑（n-小）维子系统，便可得到一个低维的能控系统。能控部分*纠I】—1兀2不能控部分Rn1Ro'自由运动对于非奇异变换阵，Rc=心1R2（3—107）其中n个列矢量可以按如下的方法构成，前n1个列矢量R1,R2/Rn1是能控性矩阵，M中的n1个线性无关的列，另外的（n-n1）个列Rn11「Rn在确保Rc为非奇异的条件下，完全是任意的。例：判别下列定常系统的能控性，若不是完全能控的，试将该系统按能控性进行分解。-1-3x-3y「01-2]x10-1M=BABA2B〕=111-3系统]01-2_jrankM2n系统是不完全能控的按式（3-107）R厂RR2R31构成非奇异变换阵。101I0R1二B二L1c1R2二AB=1R3LI二0i厶1亠11101,1任意取得（因_0_1_1不能控）11001Rc=110c1111R3是任意取得但要保证Rc为非奇一011异矩阵。-1-1-2-2x0-10?=RC1ARc?R：Bu二1]0100y二CRcWO1-2】110^=1-1-21:?_0111R='0'如果选取R3为另一矢量3，保证Rc为非奇异阵11」101110-1-10I111Rc二110?=|1-2-2?0u1i于是：--111_01100-1_0-11-1RC112-111y=1-1-21?1-11把系统分解两部分，二维能控子空间的状态空间表达式是相同的，属能控标准U型，能控部分状态表达式为：0-111*u1-20二•按能观性分解设线性定常系统：x=AxBuy=Cx（3—108）是状态不完全能观的，其能观性判别矩阵rankN二n〔”n,则存在非奇异变换x二达式（3-108）变换为〜=A〜+〜口y=Cx右0丿」-~- A21A22（n-n,）其中：A二R0ARonl(n_njRO1BBiB2nl(11-nJCRC101(n-njCJCAN二I:的秩CA"1。〜将状态空间表(3-110)(3-111)(3-112)(3-113)A11■A21〜0〜BiA22〜uB2Xi其中：yi二A11x1B1u二C1~1能观
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