PAGE§1.2.2同角三角函数的基本关系【学习目标】1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．2．理解同角三角函数的基本关系式．3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．【自学指导】请结合学习目标，认真阅读课本P18-20页内容，并完成以下填空。【知识梳理】1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝________；cos2α＝________；(sinα＋cosα)2＝____________________；(sinα－cosα)2＝________________；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝______；sinα·cosα＝______________________＝________________________.(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的变形公式：sinα＝________________；cosα＝______________.【典型例
题
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】例1、已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．解∵cosα＝－eq\f(8,17)<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).规律方法：已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”．本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cosα的值推断出α所在的象限，再分类求解．例2、化简下列各式：(1)eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))；(2)eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))，其中sinα·tanα<0.解(1)eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))＝eq\f(\r(cos10°－sin10°2),sin10°－\r(cos210°))＝eq\f(|cos10°－sin10°|,sin10°－cos10°)＝eq\f(cos10°－sin10°,sin10°－cos10°)＝－1.(2)由于sinα·tanα<0，则sinα，tanα异号，∴α是第二、三象限角，∴cosα<0，∴eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))＝eq\r(\f(1－sinα2,1－sin2α))＋eq\r(\f(1＋sinα2,1－sin2α))＝eq\f(|1－sinα|,|cosα|)＋eq\f(|1＋sinα|,|cosα|)＝eq\f(1－sinα＋1＋sinα,－cosα)＝－eq\f(2,cosα).规律方法：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．例3、求证：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).证明 ∵右边＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左边，∴原等式成立．规律方法：(1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简．(2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．(3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．【随堂训练】1.化简的结果是 ( )A.cosB.sinC.-cosD.-sin2.若α是第三象限角,则+的值为 ( )A.3B.-3C.1D.-13.已知α是第三象限角,sinα=-,则tanα等于 ( )A.-B.-C.D.4.已知tanα=,α∈,则cosα的值是 .5.若tanα=2,则= .6.化简:(1-cosα).
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