2018届江苏高考数学模拟试题(2)数学之友

2018届江苏高考数学模拟试题(2)数学之友2018届江苏高考数学模拟试题（2）南师大《数学之友》数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：球体的体积公式：V＝，其中为球体的半径．5．运行如图所示的流程图，则输出的结果是▲．6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S15＝30，a7＝1，则S10的值为eq\o(▲,\s\do1(________))．7．已知是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为▲．8．在直角坐标系xOy中，双曲线x2－eq\F(y2,3)＝1的左准线为l，则以l为准线的抛物线的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程是▲．9．四面体中，平面，平面，且，则四面体的外接球的表面积为▲.10.已知，且，，则▲.11．在平面直角坐标系xOy中，若直线：与圆：相切，且圆心在直线的上方，则的最大值为▲．12．正五边形ABCDE的边长为，则的值为▲．13．设，e是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则a的取值范围为▲．14．若对任意实数x和任意θ∈[0，EQ\F(π,2)]，恒有(x+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥EQ\F(1,8)，则实数a的取值范围是▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且.将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记A(x1，y1)，B(x2，y2).（1）若，求；（2）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，若，求角的值..16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D为AB的中点.（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：BC1⊥平面AB1C.17．(本小题满分14分)某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其中为探测器在静水中行进时的速度，为行进时的时间（单位：小时），为常数，为能量次级数．如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．（1）求关于的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定的大小，使该探测器消耗的能量最少．(本小题满分16分)如图，椭圆的右焦点为F，右准线为l，过点F且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，P是AB的中点，过点B作BM⊥l于M，连AM交x轴于点N，连PN.（1）若，求直线AB的倾斜角；（2）当直线AB变化时，求PN长的最小值.19．(本小题满分16分)设函数，其图象与轴交于，两点，且x1＜x2．（1）求的取值范围；（2）证明：（为函数的导函数）；（3）设点C在函数的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记，求的值．20．(本小题满分16分)已知数列{}满足（1）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；（2）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．数学Ⅱ（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲OAEBClD(第21题A)如图，圆O的直径AB＝8，C为圆周上一点，BC＝4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(12,2x))的一个特征值为3，求M的另一个特征值及对应的一个特征向量．C．选修4—4：坐标系与参数方程已知点P是曲线C：（为参数，）上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，求点P的直角坐标．D．选修4—5：不等式选讲已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A的发生的概率；（2）设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在集合1，2，3，4，…，中，任取（，，N*）元素构成集合．若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；若的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为．令．（1）当时，求，，的值；（2）求．2018高考数学模拟试题（2）数学I答案一、填空题答案1.{0}2.33.1204.5.6.－57.（0，1）8.y2＝2x9.10.11.解：因为直线：与圆：相切，所以又因为圆心在直线的上方，所以，所以，所以的最大值为．12.6解：利用在上的投影得，=6．13．解：①时，，所以在单调递减，且，所以在有一个小于0的零点．时，在单调递增，因为，所以在有一个小于1的零点．因此满足条件．②（1）时，在单调递减，，所以在上没有零点．又因为，故在上也没有零点.因此不满足题意．（2）时，在上单调递减，在上单调递增，，所以在上没有零点．又因为，故在上也没有零点.因此不满足题意．（3）时，，在上没有零点，零点只有2，满足条件．（4）时，在上没有零点，在上有两个不相等的零点，且和为a，故满足题意的范围是．综上所述，a的取值范围为．14.a≤EQ\r(,6)或a≥EQ\F(7,2)解：因为对任意、都成立，所以，(x+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥EQ\F(1,2)(2sinθcosθ-asinθ-acosθ)2，(2sinθcosθ-asinθ-acosθ)2≥EQ\F(1,4)，即对任意θ∈[0，EQ\F(π,2)]，都有或，因为,当θ∈[0，EQ\F(π,2)]时，，所以，同理a≤EQ\r(,6).因此，实数a的取值范围是a≤EQ\r(,6)或a≥EQ\F(7,2)．二、解答题答案15.解：（1）由三角函数定义，，，因为，，所以..（2）依题意，，，所以，,依题意，，化简得，因为，则，所以，即.16.证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，四边形ACC1A1为矩形，设AC1∩A1C=G，则G为AC1中点，D为AB中点，连DG，则DG∥BC1.因为DG平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.（2）由（1）四边形BCC1B1为矩形，又BC=BB1，则四边形BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C，由（1）CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC，又AC⊥BC，则AC⊥平面BCC1B1，AC⊥BC1，因此，BC1⊥平面AB1C.17.解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4km/h，即，所以，即，；（2）(ⅰ)当能量次级数为2时，由（1）知，，（当且仅当即km/h时，取等号）（9分）(ⅱ)当能量次级数为3时，由（1）知，，所以得，当时，；当时，，所以当时，．答：(ⅰ)该探测器消耗的最少能量为；(ⅱ)km/h时，该探测器消耗的能量最少．解（1）显然，当AB⊥x轴时，易得，不合题意.所以可设AB的方程为，与椭圆方程联立得，设A（x1，y1）,B（x2，y2）,则，，因此，解得，所以直线AB的倾斜角等于或.（2）因为椭圆的右准线的方程为，由（1），当AB不垂直于x轴时，点，所以直线AM的方程为，令y=0，得=.当AB⊥x轴时，易得，所以无论AB如何变化，点N的坐标均为.因此，当AB⊥x轴时，PN取最小值，PNmin=.19.解（1）．若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾．所以，令，则．当时，，是单调减函数；当时，，是单调增函数.于是当时，取得极小值．因为函数的图象与轴交于两点，(x1＜x2)，所以，即．.此时，存在；存在，又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围.（2）因为两式相减得．记，则，设，则，所以是单调减函数，则有，而，所以．又是单调增函数，且所以．（3）依题意有，则．于是，在等腰三角形ABC中，显然C=90°，所以，即，由直角三角形斜边的中线性质，可知，所以，即，所以，即．因为，则，又，所以，即，所以20.解：（1）因为{}是递增数列，所以，又，，因为成等差数列，所以，解得，当，，与{}是递增数列矛盾，所以.（2）因为{}是递增数列，所以，于是①由于，所以②由①②得，所以③因为{}是递减数列，所以同理可得，.④由③④得，所以，所以数列{}的通项公式为．数学Ⅱ答案21．【选做题】答案A．选修4—1：几何证明选讲解：连结OC，BE．因为AB是圆O的直径，所以BE⊥AE．因为AB＝8，BC＝4，所以OB＝OC＝BC＝4，即△OBC为正三角形．OAEBClD(第21题A)所以∠BOC＝60．又直线l切⊙O与于点C，所以OC⊥l．因为AD⊥l，所以AD∥l．所以∠BAD＝∠BOC＝60．在Rt△BAE中，因为∠EBA＝90－∠BAD＝30°，所以AE＝eq\f(1,2)AB＝4．B．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝eq\b\bc\|(\a\al\vs4(λ－1－2,－2λ－x))＝(λ－1)(λ－x)－4．因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1．由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1．设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(x,y))，则eq\b\lc\{(\a\al(－2x－2y＝0，,－2x－2y＝0，))从而y＝－x．取x＝1，得y＝－1，所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(1,－1))．C．选修4—4：坐标系与参数方程解：由题意得,曲线C的普通方程为(1)直线OP的方程为(2)联立(1)(2)得（舍）或所以点P的坐标为D．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式可知,所以,当且仅当时取等号.【必做题】答案22.解：（1）由已知有,　　所以事件A发生的概率为.（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2；　　　　；.所以随机变量X的分布列为X012P　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　23.解：（1）当时，集合为．当时，偶子集有，，奇子集有，，，，；当时，偶子集有，，奇子集有，，，，，，；（2）当为奇数时，偶子集的个数，奇子集的个数，所以，．当为偶数时，偶子集的个数，奇子集的个数，所以．一方面，，所以中的系数为；另一方面，，中的系数为，故．综上，