关于分式递推数列的若干的研究

目录摘要●●●●●●●●●■●●●●●●●●●●■■●●●●●●●●●●●■■●■●●●●●■●●●●●●●●●●●●●●●●■●●●●■●●绪论前言符号约定根本概念常系数一阶线性分式递推数列通项公式一特征根方法不动点方法矩阵方法主要性质有穷数列与无穷数列周期性单调性极限性质常系数一阶高次分式递推数列可化为常系数一阶高次等幂比型的分式递推数列一常系数一阶二次等幂比型常系数一阶三次等幂比型常系数一阶次等幂比型一可化为等幂比型的分式递推数列的求解具有三角函数倍和角展开式特征的次分式递推数列正切和角展开式型正余切倍角展开式型其它倍角展开式应用举例具有双曲函数倍和角展开式特征的次分式递推数列双曲正切和角展开式型双曲正余切倍角展开式型其它双曲倍角展开式应用举例常系数高阶高次分式递推数列可化为常系数阶线性连和型的分式递推数列常系数阶线性连和型常系数阶线性连和型可化为常系数阶线性连积型的分式递推数列常系数二阶线性连积型常系数阶线性连积型可化为常系数阶线性幂积型的分式递推数列常系数二阶线性幂积型常系数阶线性幂积型可化为幂积型的分式递推数列的求解常系数高阶高次分式递推数列应用举例 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 与展望参考文献致谢四四四四删Ⅲ关于分式递推数列的假设干研究专业名称课程与教学论申请者姓名石岩导师姓名吴康摘要本文对分式递推数列进行了假设干研究主要成果有找到了连和型连积型幂积型三类可求解的任意高阶高次分式递推数列提出了一些解法上的思路和猜测而且编拟了相关的 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目提供了三类可求解的常系数一阶高次分式递推数列及其解法并通过新定义的类三角函数和类双曲函数对初始值及相关系数是复数的情形给出了解决方法系统总结了常系数一阶线性分式递推数列的通项公式及其主要性质有穷数列与无穷数列周期性单调性极限性质并在单调性和极限性质方面提出了新的见解本文的研究成果丰富了分式递推数列的理论内容为编拟分式递推数列的相关题目提供了依据与参考也为进一步研究分式递推数列提供了一些新的思路与方向关键词分式递推数列高阶高次分式递推数列等幂比连和型连积型幂积型弛曲关于分式递推数列的假设干研究绪论前言数列是重要的数学知识传统的等差等比数列是初等数学中的核心内容之一从无穷数列到数列极限再到函数极限从数列求和到数项级数再到数列的生成函数这些都说明了数列是连接离散与连续的纽带沟通初等与高等的桥梁递推关系作为确定数列的一种重要方式一直受到人们的关注如何通过数列的前几项及递推关系求出通项公式成为大家热衷讨论的课题递推数列问题如今对于常系数线性齐次和假设干非齐次递推数列的通项公式已经有了一般的求解方法Ⅲ而对于其它类型的递推数列由于种类繁多人们暂时都只是研究它们中的一些特殊类型脚笔者对分式递推数列非常感兴趣查阅此类递推数列的相关文献发现对于常系数一阶线性分式递推数列的通项公式及其性质已有很多研究成果儿劓而对高阶高次分式递推数列的研究还没有形成系统的理论从研究方法上看主要是将其转化为等差等比数列或常系数高阶线性齐次递推数列等已有方法求解的数列不过可求解的类型特征不够明显种类也并不多内容是有待充实的那么什么类型的分式递推数列是可求解的如何求解求解出的分式递推数列有什么性质如何运用这些性质来解决问题这一系列的问题是非常值得思考和研究的带着这些问题笔者对分式递推数列进行假设干研究本文的主要工作是对常系数一阶线性分式递推数列已有的研究成果进行归纳总结并提出了新的见解同时找到了可求解的一阶高次高阶高次分式递推数列的假设干类型以及相应的解法本文的这些成果丰富了分式递推数列的理论内容为编拟分式递推数列的相关题目提供了依据与参考也为进一步研究分式递推数列提供了一些新的思路和方向符号约定复数集∈实数集定义域为的数列柑虚数集定义域为的数列非负整数集届整数集定义域为的数列正整数集苤三坌壅望燕墼型箜董王堡壅一根本概念本文分别用武 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示复数集实数集虚数集非负整数集整数集正整数集以下的定义是笔者参考相关文献重新整理归纳再加以定义的定义嘲按照一定次序排成的一列数称为数列数列是一类特殊的函数其定义域用表示那么有如下四种形式扣以墨∈∈一一∈一本文只研究前两种形式而且是时的情况即∈和一约定∈当时数列称为有穷数列或有限数列可以写成口口简记为届当时数列称为无穷数列或无限数列可以写成口口口简记为蒯定义瞪数列中的每一个数称为数列的项第一个数称为首项口称为通项在本文中为首项∽∈为第以项刀称为标数定义域即为标数的集合定义伽假设数列柑从第七项起每一项都满足关系式七∈足∈口口础口¨那么称式为数列吒柑所满足的一个七阶递推关系式其中瓴屯以为定义在∈上的七元函数尼称为阶数口口一称为初始值关于分式递推数列的假设干研究定义鲫定义在∈上的七元函数厂屯毛和七个常数口口∈从开始由递推关系式巳吒砌≥七按照顺序依次计算出直到存在某一正整数苫七一使得∈但口硭那么称口峨是由和生成的数列其定义域为一否那么对任意的正整数万苫七那么称口例是由和生成的数列其定义域为一定义鲫由初始值和递推关系式生成的数列口榴称为七阶递推数列约定本文中出现的所有口与彬口之间的递推关系式都满足条件玎苫七咒∈七∈后文将不再标记其中数列口村的定义域是由初始值和递推关系式决定的说明有时递推关系式以隐函数的形式给出即与吒吒之间的关系由一个方程妒口一一七一给出其中为复数域上的元函数由式确定了是吼的函数∞本文只研究可化为显函数形式的递推关系定义假设在数列吼柑中通项与标数具有如下的函数关系一∽∈其中为复数域上的一元函数那么式称为数列口的通项公式函数称为该数列的对应函数定义称由及递推关系式吒畿删关于分式递推数列的假设干研究生成的数列楫为阶次分式递推数列其中瓴屯政和屯五都是关于吒≮的复系数七元多项式的次数的次数苫且与的最大公因式为一所说明不可能为零多项式否那么就与与的最大公因式为一矛盾关于分式递推数列的假设干研究常系数一阶线性分式递推数列在分式递推数列中最简单最根本的一类就是常系数一阶线性分式递推数列在其通项公式和主要性质有穷数列与无穷数列周期性单调性极限等方面已经有了很多成果本节将对这些成果进行归纳总结并在判断此类数列的单调性和求极限方法方面有了一些新的成果定义跚旧称由‰及递推关系式业吼上生成的数列柑为常系数一阶线性分式递推数列其中系数和初始值满足条件鼋为复常数且≠一旦妒约定后文中出现的矩阵二三都用膨来表示出现式时在无特殊说明的情况下其系数及初始值总满足条件定义埘称方程工旦竺工一肛留为式的特征方程其根称为式的特征根或不动点说明化简式得国一一式与式等价即也满足乒一旦否那么对于式当一旦时由一争一一号一得矿一所以阻与阻≯矛盾因此口式也可称为式的特征方程通项公式关于分式递推数列的假设干研究求数列通项公式的方法有很多种如特征根方法矩阵方法生成函数法迭代法累加法累乘法本节主要论述了前两种方法用于求解常系数一阶线性分式递推数列的通项公式是后面研究高阶高次分式递推数列的根底特征根方法不动点方法定理啪设口是由及式生成的数列式的特征根为口‖那么当口或时数列吒矧为常数列当口‖时①假设咄数列焉腊蛾孔龇Ⅷ万擞呻七黼项公式为怕驯口竺亟二壁尘二旦壁∑壁鱼垒二竺立二翌竺伽一一口厂口一再汇瓦丽一叩②假设口峨那么数列去卜等差飙斧差为焉数列柑的通项公式为¨翥揣旧矩阵方法运用矩阵的特征值理论及相似矩阵的方法也可以求常系数一阶线性分式递推数列的通项公式定义忉嗍称为式的系数矩阵记三耋引理∞设凡九是矩阵二三的两个特征值即为陋曩的两个根其中为二阶单位矩阵关于分式递推数列的假设干研究二如假设如那么≯¨其中假设九贝批其中嵋口二评注对于特殊的二阶矩阵二了的一次幂的计算文中还介绍了利用三角函数换元法令去去将口一变形为√√丽由理知口口定理口删由口及式生成的数列口危的通项公式为口盟∈\见吼其中仨州广评注和式中数列的定义域一还是一所生成的数列是无穷数列还是有穷数列如果是有穷数列总共有多少项这些都是由递推关系式及初始值决定的关于常系数一阶线性分式递推数列的定义域的具体确定方法将会在节中得到解答例己知口吾及历求数列粗的通项公式解法一特征根方法虮而她吐铲黼触阿得嚣嚣叫故等删巧百∽∈剁解法二钷阵方法关于分式递推数列的假设干研究三的特征值为≈九根据引理取一二三那么吾二故十二斗根据定理得一一删吒卷嚣舞一筹矿口矿评注比拟两种方法解法一相对容易一些观察通项公式可知对任意的万∈分母都不为零故该数列的定义域为例一及吒塑丛求数列眉的通项公式解法一特征根方法由塑得毛屯一根据定理可得匕一疗故川∈幺霉∈一万解法二矩阵方法三驴特征值为一九根删理取鸩卦那么一崛厅刀根据定理得力一露石一而评注比拟两种方法解法一相对容易一些观察通项公式可知使得分母为零的最小的非负正整数是故该数列的定义域为主要性质要研究数列的周期性单调性极限等性质需要确定该数列的项数因此本节的首要任务就是确定该数列是有穷数列还是无穷数列有穷数列与无穷数列关于分式递推数列的假设干研究文中曾举反例说明满足递推关系式吒竺越的无穷数列不十一定存在年文中给出了满足上述递推关系式的无穷数列存在的充要条件同时也找到了确定有穷数列项数的方法但是其中涉及到的特征方程与本文定义有所不同容易让人误解故本文将其结论稍做修改得到了定理和推论说明由定义可知当一时横是无穷数列一时村是项数为的有穷数列定理设柑是由及式生成的数列式的特征根为假设或声贝假设一口‖那么①当卢时营攀甓树②当口一声时静方程璺野鱼罢的解譬一‖推论订设柑是由及式生成的数列式的特征根为口卢假设眉为有穷数列贝一口‖且当黑一霉时数列吒柑共有‰项一口一当口≠卢方程掣鱼罢有最非负整数解时数列共有‰项§一§评注除了文中给出的判断方法笔者发现其实运用定理所得到的通项公式可以直接讨论这个问题所得结论如下假设口或卢那么假设≠口‖那么①当矾卜№焘端帆一关于分式递推数列的假设干研究一②当口一小一营方程镑一篇的解斜一这个结论与定理相比虽然形式复杂一些但本质是一样的而且在求出通项公式后更容易判断该数列是有穷数列还是无穷数列如例和例周期性约定本文中的周期都是指最小正周期一周期表示周期为厂本小节中的数列满足定理的条件即为无穷数列定理幻设矧是由口及瓦二鬲∈生成的无穷数列其特征方程国一的两个根为口卢判别式为那么剜是卜周期数列兮露一口或多假设一口‖那么①当时口矧是周期数列营此时周期为②当△?时舒是周期数列营砥一卢一芋其中且一七表示辐角此时周期为③当△时感不是周期数列评注由定理通项公式的求法可知心为周期数列的充要条件是递推关系式转化为等比数列或等差数列的形式后公比为或公差为由此即可证得定理定理警是由口及吒鬲∈生成的无穷数列那么吒矧是卜周期数列营口而式递推数列的假设干研究是周期数列营存在且一七期为及竺量芸‰∈生成的无翩是一周期数列静日一矧是一周期数列静留吼感是一周期数列营口矧是一周期数列兮当厂七∈但七芒时口矧不是周期数列推论嗍设鼎是由口及吒鬲∈之生成的无穷数列假设口一畦三臣那么感不是周期数列一评注定理给出了当递推关系式中的系数为实数时常系数一阶线性分式递推数列的周期情况所得结论涉及到其特征方程特征根判别式以及在判别式小于零时两复数商的辐角定理那么将的取值范围推广到复数域而且可以直接根据和‰之间的关系式来判断是否为周期数列比定坪更加适用例乏一瓦巧一那么数列柑是否为周期数列假设是请求出周期假设不是请说明理由可知¨柑为一周一一筇一分析根据定理由筹一而耐互关于分式递推数列的假设干研究期数列倘假设由递推关系式计算出口一口一口一一亏吩一一也可知道柑为一周期数列但是当数列吒柑的周期很大或是非周期数列时通过计算前面几项是不能解决问题的单调性定义Ⅱ目假设数列柑的各项满足关系式那么称柑为单调递增递减数列简称材递增递减递增数列和递减数列统称为单调数列约定本文中的单调指严格单调槲简记为口埘茸简记为口撕已有文献大多数都是通过递推数列的递推函数来研究数列的单调性的如文而笔者那么利用常系数一阶线性分式递推数列的对应函数来研究得出了定理同时根据文给出了定理用以说明如何用递推函数来判断数列的单调性引理力假设数列吼柑的对应函数∈在∞上单调递增递减那么数列君递增递减定理吒眉是由及磊∈生成的数列实数口卢为其特征根口之卢且≠口‖当口一毗设‖而‰并①假设‖且一螈那么数列口柑递增递减②假设‖那么数列口递减递增口加递增递减当口时假设那么数列柑递增递减 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 当一声时由定理得吒一气三器笋其对应函数为故减②假设‖?那么一肛跏嘲御袖偶数时考察函龅鼢等刚有蜘≮帮由①司知当一‖一嘁即似时故一在∞上单调递增递减由引理知数到递增递减孙嘲臣刀为奇数时考察函数删搿贝有椭眷等产驰式比照可知鄂‖一肾棚似城时故一在∞上单调递减递增由引理知数列口孙递减递增综上所述①假设‖且一嘁那么数列吒柑递增递减②假设‖且似城那么数列口递减递增口拥递增递减考察其对应当口声时由定理可知一夏磊石弦而函数口瓦再而那么有椭际再而而丽关于分式递推数列的假设干研究假设口那么?故在∞上单调递增递减由引理知数列吒村递增递减引理一实函数一尝兰留∈当时函数在口口一里∞上单调递增证明因为竺旦三一芝二旦由反比例函数性质可知当‖口马时函数在一里∞上单调递增定理町设吒屉是由口及口一瓦以留∈生成的数列口声为其特征根且卢假设吼柑的递推函数三薏在够∞调递增在卢口上∞工在∞上?那么当‖口时数列气柑递增当口口时数列槲递减证明当声口及时由得口即口口由于在卢∞上单调递增所以口一厂一口即卢口口口重复上述过程可得‖口口口吒口故此时数列递增当口口时由得口即口口由于在妒∞上单调递增所以口一厂口即口重复上述过程可得口口口口故此时数列榴递减评注在研究一个具体的此类递推数列时可以先用引理判断递推函数的单调性再由定理去判断数列吼魁的单调性由于单调性的研究涉关于分式递推数列的假设干研究及到大小比拟因此一般不考虑虚数的情况例口一及吒丝必芸请判断数列吒柑的单调性分析由鱼芸得特征根为口一解法一根据定理由一币一号‰一蔫一一得‖故数列吒稻单调递增解法二根据引理该数列的递推函数一等等一一主在卜∞上单调递增由一一知厂在一上满足在∞上满足厂工根据定理当口一一时数列糟单调递增评注由上述两种解法可以看出根据笔者得到的定理判断数列的单调性更容易一些极限性质要研究常系数一阶线性分式递推数列的极限首先该数列应为无穷数列因此约定本小节中的数列都满足定理的条件即为无穷数列查看已有的研究成果发现个别结论有不够完整或者遗漏错漏的地方如文中的引理及定理都没有讨论两个特征根相等的情况和初始值的情况而当初始值为特征根时极限即为此特征根文中的命题在讨论特征根相等时忽略了此时特征根即为≮兰从而得出的是错误的文中利用递推函数的性质研究递推数列的极限方法也可以但是不能解决所有常系数一阶线性分式递推数列的极限问题限于篇幅不再展开说明结合各种文献及笔者的思考现总结出求常系数一阶线性分式递推数列极限的方法三种一是先由递推关系式求通项再求极限二是由递推关系式应用极限存在准那么两边夹准那么单调有界原理证明极限存在再求极耐们三是先假设极限存在再根据极限的定义及性质求出极限根据定理可以求出任意的常系数一阶线性分式递推数列的通项公式关于分式递推数列的假设干研究定理设口耳利是由‰及嚣生成的无穷数列口卢为其特征根设‖芒那么有一≯卢口
且口乒口当口乒声时舰届不存在一口声当口卢时舰吒口卢证明当口乒卢且口一口‖时由定理得口气三鬈笋设‖一心口∈假设贝进而Ⅳ一所以‖故一等吣假设肿删胪进而嬲专所以舰寺一故口一旦篡三孚一声假设‖那么段一进而一气器娄篙篙易知数列吼为周期数列周期不等于故数列蹦不存在极限当口一口时巳数列蒯为常数列故吒一口当口时一声数列剜为常数列故一卢肛且口≠卢口‖一口所以当口一‖时一届∞不存在‖≠口卢因为又补充那么此极限必为栗一个特征根向给出递推数列存在极限的必要性条件也是将文中的结论推广到了复数范围定理阳假设数列吒槲满足吒一厂一其中为上的一元连续函数那么蒯存在极限的必要条件是此极限为其特征方程厂的根证明假设数列感有极限设吒一口因为厂为连续函数所以厂瓴一厂从而以一厂即口缸数列感的极限为其特征方程一的根例请判断数列吒眉是有穷数列还是无口一吾及一口历穷数列假设是有穷数列请求出项数假设是无穷数列再判断该数列是否有极限有那么求出无那么说明理由即分析由笔得特征根为吣卢一一云方程掣一再万三无非负整数解根据定理数列柑是无穷数列口一一三根据定理‖厂一‖厂一‖一一×一土孤三故关于分式递推数列的假设干研究常系数一阶高次分式递推数列定义妇口及递推关系式一言舞专那么称数列柑为常系数一阶次分式递推数列其中荟荟喀一或∈∈不同时为零且的最大公因式为乒约定本节中出现的递推关系式都满足定义中的条件在第二章中已经研究过常系数一阶线性一分式递推数列相比之下一般的一阶高次所苫分式递推数列的通项公式很可能是没有通法解决的那么哪些类型的一阶高次分式递推数列的通项公式是可求解的如何求解这就是本节所要研究的内容从数学高考嘲数学竞赛∞¨烈以及相关的一些文章九翻嘲嘲嘲中发现主要有两种一类是可化为一阶等幂比型的分式递推数列另一类就是具有三角函数倍和角展开式特征的分式递推数列笔者发现双曲函数与三角函数关系密切也有类似的倍角展开式于是又找到了一类高次分式递推数列通项公式的解法同时考虑到三角函数与双曲函数的定义域和值域都在实数范围内的限制本文中还采用了另外两种与三角函数和双曲函数定义类似的函数类三角函数类双曲函数对递推关系式进行换元使研究范围推广到了复数域可化为常系数一阶次等幂比型的分式递推数列定义由及递推关系式雒∈生成的数列槲称为常系数一阶次等幂比数列定理矧为常系数一阶历次等幂比数列当所一时甙即为等比数列故数列蒯的通项公式为一一似三等加四暑当朋芑时数列的通项公式为一丽一乒的两个不相等的根其中是所给递推关系式中的系数常系数一阶二次等幂比型类型一一筹辛一引其中糟定理嘲设口‖是方程一一的两个不等的根气柑是由口及一乏生成的数列那么数列柑的通项公式为组吒鲁筹老等∽槲类型二碱皇等辛等圯其中焉加≯定理设口‖是方程一一的两个不等的根吒柑是由‰及一』墅塾吐二尘生成的数列那么数列柑的通项公式为纠一口一雩兽≥箬专笔筹一咒∈卢Ⅳ口一‖Ⅳ一口Ⅳ口一口Ⅳ类型三葺锗辛罨心其中万关于分式递推数列的假设干研究定理洲设口‖是方程工一一档乒的两个不等的根柑是由口及一锗生成的数列那么数列柑的通项公式为组吒一篆焉等∽呓槲专一砟其中一兰刍类型四一百≤溉定理嘲设吒柑是由口及一面‰生成的数列那么数君的通项公式为铲万瓦知Ⅳ以矧常系数一阶三次等幂比型类型一一番筹净一瓴其中小纠定理嘲设口夕是方程工一一≠的两个不等的根似一佃乒生成的数列那么数列吼柑是由口及吼一五耋汤丽柑的通项公式为口一旦兰三喜筹以∈类型二吒一石万夏瓦忑石辛心淇中焉≯一关于分式递推数列的假设干研究定理设口‖是方程工一的两个不等的根旧是由口及吒一丢誓譬毛丢端生成的数列那么数列榴的通项公式为吒鼍华虹堕≠拿鲣望Ⅳ刀酬‖口一‖Ⅳ口一口Ⅳ类韭等舞静三彻口二号一包其中一器一声口一定理嘲设口‖是方程一≯的两个不等的根眉是由口及巳丝差差主挚生成的数列那么数列吒柑的通项公式为口一麦丢芝三等一以∈类型四一孑丽概专一稚其中一百兰刍定理嘲设柑是由口及一彳丽‰生成的数列那么数列槲的通项公式为万‰Ⅳ哦珂钏常系数一阶次等幂比型本小节将讨论可化为常系数一阶≥次等幂比型的分式递推数列它包括了节的一和的情况定义称‖一声一口声∈刀∈为关于口卢的刀级幂差函数关于分式递推数列的假设干研究关于分式递推数列的假设干研究毗一焉等羚化简得酱四城中害鹤‖推论设口声是方程工一一似一的两个不等的根假设吒柑是由口及口一砭耋瓦砑矛证硒沥生成的数列那么数列口的通项公式为埘吒等籍等等∽吒删假设柑是由口及瓦矿葡砭汤瓦谚酉瓦面生成的数列那么数列的通项公式为驾?塑』窑建翌Ⅳ以删一声Ⅳ一口了口一Ⅳ说明为定理在的情况为定理在历旦的情况定理设柑是由口及做忉竺∽肼∞铲套二蜞霎一一卢式可化为阶掀等幂比乳僻其中器关于分式递推数列的假设干研究数列吒的通项公式为吒一∈其中一伽√说明定理的证明方法同证明定理的方法一样它们的结果从形式上讲具有倒数关系推论设口卢是方程石一一似的两个不等的根假设柑是由及彳似口∽口彳口乞一口墨砰碡石磅了瓦石生成的数列那么数列触的通项公式为口一麦薯芝詈三号等一以∈定理设树是由及一刁五百‰生成的数列那么数列吒扫的通项公式为吒一万知Ⅳ刊尼∈证明因为彳一胁彳一万瓦丽一万瓦瓦厩那么雒酉南一一舢口令百画所以万画根据定理即万画万舢口矿化简得铲万缸Ⅳ利忍三可化为等幂比型的分式递推数列的求解关于分式递推数列的假设干研究定理定理分别给出了三种具有特殊形式的分式递推数列它们的共同点是都可化为常系数一阶次等幂比型在求解通项公式的过程中如果知道最后可以化成什么形式那么就可以直接应用待定系数法如设口卢待定再进行换元求解但是随着次数的增加它们的形式越来越复杂很难看出它们的结构特征那么如何进行换元呢对于一般的一阶高次分式递推数列需要满足什么条件才能化为一阶等幂比型呢下面的定理将答复这个问题而定理给出的是二次的情况说明文中给出了定理但是没有详细证明定理叫蚴那么当方程组设柑是由口及吒盖篆丽石矿丽瓦石一面瓦丽有两个不同的根口夕一口卢时数列吒的通项公式为吒一酱其中年腻以糟ⅣⅣ证明由得阻一虹警藉舞生竖盟一了一口一二一储俎五瓦化简得因为口为方程组的根所以口口①口②口瓴一‰净一由②得一一易知和式中的口项系数相同②×一①得一‖一化简得№易知关于分式递推数列的假设干研究和式中的常数项相同故吒一口一百再丽同理做盱卢一镶辫方为二次等幂比型根除以埔再年两石般觚焉一习舶铮令一年刃¨韩ⅣⅣ叫肌一器四定理胁捌设以树是由以一丢篆骞生成的常系数一阶历≥次分式递推数列其中一薹矿一∽薹盔‖一且俨一或『一一表示『阶导数那么当方程组∽∽恰有两个不同的根口卢乒口卢时数列的通项公式为篙旧媾协精害羚特别地当妒即‰时口一万卅此时口兰三喜等Ⅳ一肌厅∈吒紫∈吒芒万函上∽∈悄例乏生成的数列求通设吒柑是由‰一及吒一五南项公式分析根据定理解一墓乌一丢乌得石一或那么递推关系可化为勉月一矿一四南墨根据定酗得瓦一鼬‖虮一万一一此题也可以看成是定理在彳曰委时的情况例设口柑是由口及一钥蹦婶二≥求通项公式嘲分析文中用如下解法解特征方程一麓舄的根为蜘孚取±得世蝎此处为何只取±文中并没有指出按照本文解法如下一关于分式递推数列的假设干研究缸缸缸解得那么递推关系可化为竺芝芒竺墨马根工研二丙得±那么递推关系可化为竺芝墨咀与根吼缸缸缸删一矿一籍靛瓤箬筹口一卜笃例设柑是由口一及吒一宝鲁曼乏求通项公式一分析根据定理解一得此方程组无解所以不能使用定理工一气的方法故暂时不知道如何求解具有三角函数倍和角展开式特征的小次分式递推数列本节主要研究具有三角函数倍和角展开式特征的苫次分式递推数列主要利用了换元法因为三角函数是定义在实数域上的因此当初始值和递推关系式中系数为实数时可用三角函数进行换元当初始值和递推关系式中的系数为虚数时可用类三角函数换元约定类三角函数及后面的类双曲函数中的自变量仍可称为角定义称一一旦茅一∈为类正弦函数为类余弦函数一生乒一一兰≠±∈为类正切函数关于分式递推数列的假设干研究面生≮≯±∈为类余切函数饯一七乒±∈为类正割函数一与乒±石∈为类余割函数评注类三角函数可以认为是复变函数中定义的复数域上的三角函数的另一种表达形式只要令定义中的工∈即得复数域上三角函数的定蚶定理类三角函数与三角函数有如下关系功一一证明思路利用节定义的类双曲函数将类三角函数辛类双曲函数号双曲函数辛三角函数即可找到类三角函数与类三角函数的关系证明过程略定理类三角函数的一些性质同角关系式戗§饼一一一一一茗一一一一倒数角关系式三一一∞三豇磊三一职积角展开式面一一一五罴嚣平方角展开式一一一一■■一一关于分式递推数列的假设干研究丽粤鳓一删删正切和角展开式型本小节将利用正切和角展开式采研冗一荚具碉特殊彤式明一彤线性分瓦逋推数列定理正切和角展开式型设柑是由及一篙曰为常数曰地±争生成的数列那么当口∈时数列口的通项公式为一锄以口∈其中一当口丑∈莨时数眉的通项公式为驴一而日麒中一√等加证明乳胙毗令悟二等根据式口硒一口由此递推得一化口一口关于分式递推数列的假设干研究一二『二二二一一一故一锄其中一∞乩胙观一灿销仁莩揪组删式及●口由此递推得一一类三角函数积角正切展开式一兰糍一一一口一口面故而∈腆忡辱矽藤说明在求时另外还有三组解也是满足题意的只需取一组解即后后面出现此种情况也是一样的特别地当口或口时数柑为常数列例给定实数列榴且销求的值改誊自年浙江省高中数学竞赛题分析令由于锄鲁一一√根据定理可得一瓯拦一吃一≥蛾刍觚吃一锄去所以吒乏×一一吒由此可见数列柑的周期为故口一一例给定数列柑且历面口一一求通项公式改编自年浙江省高中数学竞赛题撕变形得吒糕伽一号揪定觚口一一一关于分式递推数列的假设干研究一孛一一●鬲一一咒评注以上两个例题还可以用定理特征根方法来求解正余切倍角展开式型引理∞倍角正切展开式一咖口≯三勋旌荟刮鼢舻口墨∞口口吼伊证明得由∞口一口口一旺西一∞油广广●●●●咖棚口一刚良●¨鲢伊一■∽矿四功磊和穹泪活一弧坩广时恤哆■№≯万根据牛顿二项式定理可得踯矿刮咿荟刮六汹俨删口荟一『口口荟『故薹二兰兰兰兰竺二二口竹口荟刮盼一口荟一另口一乒三七万尼∈定理正切倍角展开式型设口∈是由口及关于分式递推数列的假设干研究铲鹳磬四荟‖五那么生成的数列且荟一\『时数列吒村的通项公式为二∈其中口当数列吼柑的通项公式为一而Ⅳ麒中口一√等一一一故口一其中口一当口∈酞时根据定义令根据定理及式得口一矿口一面口胛口一面矿舭一柚矿卜一瓦矿Ⅳ腆帕一压推论余切倍角展开式型设眉是由口及荟一歹二口一四那么生成的数列且荟一『当口∈时数歹的通项公式为关于分式递推数列的假设干研究当口∈疲时数列吒的通项公式为口而ⅣⅣ其中口一例设村是由‰及一主薏生成的数列当口一历时求通项公式矧当口一生≠时求通项公式解法一根据定理有吒一专害詈三雩辩其中口Ⅳ口一Ⅳ≠将代入即可解法二因为口一兰芸具有正切二倍角展开式特征根据定理当口一历时锄多肌压一孤孚∈当压竿半似∈肌叩小她一而刊鞣艄她一竽妒时一兰苫习墨歹例设柑是由‰及生成的数列且口≠±鱼求通口二项公式翱埘解法一根据定理可得ⅣⅣⅣ箩刀∈其中Ⅳ一ⅣⅣ口Ⅳ一当苫‖一日一其中秒评注由上面两个例题可以看出假设初始值口是实数还是虚数那么应用定理比拟容易假设未知初始值口的范围那么应用定理比拟好无需讨论其它倍角展开式应用举例虽然正余弦倍和角展开式不是分式形式但是只要利用分式换元仍然可以找到两类可求解的常系数一阶高次分式递推数列在本小节暂时只在实数范围内研究二倍角正弦展开式将上式两边平方得一秒嘲∈那么由式得岛钺一铀设由‰及吃一一吨一生成的数列为吮眉那么吃其中再令吃一圭且≠吒一一旦那么由式得口兰一一一矿化简得