小学奥数周期问题教师版

知识点说明 周期问题： 周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期. 分类： 1．图形中的周期问题； 2．数列中的周期问题； 3．年月日中的周期问题． 周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。 ⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个； 例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？ 这个数列的周期是2， ，所以第18个数是2． ⑵如果比整数个周期多 个，那么为下个周期里的第 个； 例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？ 这个数列的周期是3， ，所以第16个数是1． ⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算． 例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？ 这个数列从第二个数开始循环，周期是2， ，所以第16个数是2． 板块一、图形中的周期问题 【例 1】 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列： ●●○●●○●●○… 你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？ 1【解析】 仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为 ，正好有30个周期，第90个是白球． …1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球． 【巩固】 美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的： ○●○○○●○○○●○○○…… 那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？ 美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？ 2【解析】 观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为 …2，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有 （个） 【例 2】 小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列． ⑴第73颗是什么颜色的？    ⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？ ⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？ 3【解析】 ⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗． (组)……3(颗)，第73颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的．  ⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有 (颗)珠子．第10颗黄珠子是第l0组的第2颗，所以它是从头数的第47颗．列式： (颗) ⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子．第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有完整的两组(第9、10组)，共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗．列式： (颗)． 【巩固】 奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第28个字是什么字？ 4【解析】 这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期．因为 …3，所以28个字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第28个字是“欢”字． 【巩固】 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？ 5【解析】 从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是： 1，5，9，13，……，这些编号被4除所得的余数都是1． ，即73被4除的余数是1，因此第73盏灯是白灯． 【例 3】 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后　又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去．问： ⑴第150盏灯是什么颜色？ ⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？ 6【解析】 ⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是 （盏）灯． ，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯． ⑵如果是200盏灯，就是 的周期．每个周期都有4盏蓝灯， （盏） 前200盏彩灯中有80盏蓝灯． 【巩固】 在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第50颗，那么其中白珠有多少颗？ 7【解析】 …5． （个）． 【巩固】 小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来． ⑴最后1枚是几分硬币 ⑵这200枚硬币一共价值多少钱？ 8【解析】 ⑴每个周期有 枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断 ……2，所以最后一枚是1分硬币 ⑵每个周期中6枚硬币共价值 （分），用这个数乘以周期次数再加上余下的，就可以得到一共价值多少了 （分），所以，这200枚硬币一共价值398分． 【巩固】 桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？ 9【解析】 …1, …2,所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的． 【巩固】 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？ 10【解析】 这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有 （朵）花．因为 ……6，所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花．按花的排列规律，这6朵花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花．在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？有两种解法： （方法1） ……6 红花有： （朵）绿花有： （朵）红花比绿花少： （朵） （方法2） ……6，一个周期少的： （朵）， （朵），余下的6朵中还有5朵红花，所以 （朵）. 【例 4】 如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我， ”，第二组是“们， ”…… 我 们 爱 科 学 我 们 爱 科 学 我 …… ……                         ⑴写出第62组是什么？ ⑵如果“爱， ”代表1991年，那么“科， ”代表1992年……问2008年对应怎样的组？ 11【解析】 （1）要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ ”七个字母为一个周期 ……2 , ……6，所以第62组是“们， ” ⑵2008是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按“ ” 七个字母为一个周期： （组）， ……2 ……3，所以2008年对应的组为“学， ”． 【巩固】 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），那么第50组是什么？ 新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运…… 奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……   12【解析】 要知道第50组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么．第一行“新北京新奥运”是6个字一个周期， …2，第50个字就是北．再看第二行“奥林匹克运动会”是7个字一个周期， …1，第50个字就是奥．把第一行和第二行合在一起，第50组就是“北奥”． 【例 5】 如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼。一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去。由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？ 13【解析】 0米。根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！四次再次回到0号位置！2004是4的倍数，所以第2004号位和0号位之间的距离是0米。 板块二、数列中的周期问题 【例 6】 小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3… 你知道他写的第81个数是多少吗？ 你能求出这81个数相加的和是多少吗？ 14【解析】 ⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数．81个数则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7， …1 ⑵每个周期各个数之和是： ．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ． ，所以，这81个数相加的和是279． 【巩固】 根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？ 1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17…… 1【解析】 观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增加，0～4共五个数，则可列式为：5×9＋1=46，即51为第46个数。 【例 7】 ⑴ …… （25个4），积的个位数是几？ ⑵24个2相乘，积末位数字是几？ 15【解析】 ⑴按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，……，奇数个4相乘得数的末位数字是4，偶数个4相乘得数的末位数是6，所以 …1，25个4相乘，积的末位数字是4． ⑵按照乘数的个数，末位数字的规律是2，4，8，6，2，4，8，6，……，4个一组 ，所以24个2相乘，积末位数字是6． 【巩固】 紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如， ，在9后面写2， ，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问：这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？ 16【解析】 ⑴根据题意，写出这列数的前面部分数字：42……“286884”这6个数字重复出现，周期是6． ⑵第1999个数字是：因为 ，所以，第l999个数字是6． ⑶这1999个数字的和是： 【例 8】 12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图． ⑴从1号同学开始，顺时针传l00次，手绢应在谁手中？ ⑵从1号同学开始，逆时针传l00次，手绢又在谁手中？