第九章 第六次课
教学
内容
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：§9-4二、三重积分的应用
教学目的：
（1） 掌握二重积分计算空间曲面面积。
（2） 会求重心及转动惯量，对质点的引力。
重点：空间曲面面积的求法
难点：重积分的物理应用。
关键：
（1） 掌握二重积分计算空间曲面面积。
（2） 根据微元法，理解和掌握重心及转动惯量，对质点的引力的意义和求法。
教学过程：
§4、重积分的应用
一．几何应用
1．体积
⑴以
为底，
为顶的曲顶柱体的体积：
⑵空间区域
的体积：
2．面积
⑴平面区域
的面积：
⑵空间曲面的面积：设空间曲面方程为：
，
；
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数
的一阶偏导数在
上连续，求此曲面的面积。
①将曲面任意分割为
个小的曲面：
，
，...,
,其中
既表示第
张小曲面又表示第
张小曲面的面积，则
；
②设
第
张小曲面
在
坐标面上的投影区域，
，
对应的曲面上的点为
，其中
；过
作曲面的切平面，当
时，小片切平面的面积记为
，则
；
设
表示曲面上
点处的切平面的法向量，
表示该法向量与
轴正方向的夹角，
，则
；应为曲面方程
，故法向量
由所考虑小片曲面的任意性，通常写作
~~~~空间曲面的面积微元，记作
，则
；
③记
{
的直径}，则
。根据二重积分的定义，有
例1．求圆柱面
将球面
割下部分（
）的面积。
解：由对称性只考虑：
，
：
；
例2．求圆柱面
，
所围成的立体的表面积。
解：由对称性，只考虑
，
：
；
例3．已知A球的半径为R，B球的半径为h且球心在A球的表面上。求夹在A球内部的B球的部分面积（
）。
解：建立坐标系A：
；B：
；则两球面的交线在
面的投影区域为
：
，在A球内部的B球面为：
，则A球内部的B球的表面积
二．物理应用（以下涉及的密度函数均为连续函数）
1．质量问题
⑴平面薄片的质量
设该薄片占有平面区域
，面密度函数为
，则质量微元为：
，故
；
⑵空间物体的质量
设该物体占有空间区域
，体密度函数为
，则质量微元为：
，故
；
例4．设一物体占有的空间区域
由曲面
，
，
围成，密度为
，求此物体的质量。
解：
2．重心问题
⑴平面薄片的重心
设在
平面上有
个离散的质点
，质量为
，
，已知其重心坐标为：
，
；其中
~~质点系相对于
轴的静力矩，
质点系相对于
轴的静力矩，
~~质点系的总质量，即
，
；
设薄片占有平面区域
，面密度函数为
，相对于
轴的静力矩微元为
，则
，同理相对于
轴的静力矩
，则重心坐标为：
特别，当质量均匀分布即
常数时，重心计算公式为：
此时
表示薄片
的面积。若薄片
关于
轴对称，则
即重心在
轴上；若薄片
关于
轴对称，则
即重心在
轴上；一般均匀薄片的重心一定在其对称轴上，此时也称重心为形心。
例3．求位于
与
之间的均匀薄片的重心。
解：由条件，
，且
，
所以
，重心坐标为：
。
⑵空间区域的重心
类似上面的讨论，可得空间区域的
重心为
如果
上质量是均匀分布的，即
常数，此时若以
表示
的体积，则重心坐标为：
，
，
；此时如果
关于
面对称，则
，即重心一定在对称面
面上，...
3．转动惯量
⑴平面薄片的转动惯量
转动惯量是对物体在转动过程中的惯性大小的度量。对于质量为
、且位于平面上
处的质点，其转动惯量为：
对于质点系：质量
，坐标
，
，则
对于平面薄片
，密度函数为
，相对于
轴的转动惯量微元：
，从而
，同理
，以及
；
⑵空间物体的转动惯量
空间物体为
，密度
，则同上讨论可得：
...
例4．求半径为
，高为
的圆柱体对于过其中心并且平行于母线的轴的转动惯量（
）。
解：建立坐标系如图，过中心且平行于母线的轴即为
轴
例5．求抛物线
，直线
所围成的均匀薄片对于直线
的转动惯量。
解：
4．引力问题
例6．求密度为
的均匀半球体对于在其中心的一单位质量的质点的引力。
解：设球半径为
，建立坐标系如图，由对称性，
；
，
，
，
故
；
，从而
例7．均匀半径为
的圆板（
），过板的中心且垂直于板面的直线上距中心为
处，有一单位质量的质点，求圆板对质点的引力。
解：建立坐标系如图，设引力为：
，由对称性及均匀性可知
，
，
（
表明引力方向与
方向相反）
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