初等函数的图形
幂函数的图形
指数函数的图形
对数函数的图形
三角函数的图形
各三角函数值在各象限的符号
sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα
三角函数的性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠kπ+
,k∈Z}
{x|x∈R且x≠kπ,k∈Z}
值域
[-1,1]x=2kπ+
时ymax=1
x=2kπ-
时ymin=-1
[-1,1]
x=2kπ时ymax=1
x=2kπ+π时ymin=-1
R
无最大值
无最小值
R
无最大值
无最小值
周期性
周期为2π
周期为2π
周期为π
周期为π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性
在[2kπ-
,2kπ+
]上都是增函数;在[2kπ+
,2kπ+
π]上都是减函数(k∈Z)
在[2kπ-π,2kπ]上都是增函数;在[2kπ,2kπ+π]上都是减函数(k∈Z)
在(kπ-
,kπ+
)内都是增函数(k∈Z)
在(kπ,kπ+π)内都是减函数(k∈Z)
反三角函数的图形
反三角函数的性质
名称
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
定义
y=sinx(x∈〔-
,
〕的反函数,叫做反正弦函数,记作x=arsiny
y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数,叫做反余弦函数,记作x=arccosy
y=tanx(x∈(-
,
)的反函数,叫做反正切函数,记作x=arctany
y=cotx(x∈(0,π))的反函数,叫做反余切函数,记作x=arccoty
理解
arcsinx表示属于[-
,
]
且正弦值等于x的角
arccosx表示属于[0,π],且余弦值等于x的角
arctanx表示属于(-
,
),且正切值等于x的角
arccotx表示属于(0,π)且余切值等于x的角
性质
定义域
[-1,1]
[-1,1]
(-∞,+∞)
(-∞,+∞)
值域
[-
,
]
[0,π]
(-
,
)
(0,π)
单调性
在〔-1,1〕上是增函数
在[-1,1]上是减函数
在(-∞,+∞)上是增数
在(-∞,+∞)上是减函数
奇偶性
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
周期性
都不是同期函数
恒等式
sin(arcsinx)=x(x∈[-1,1])arcsin(sinx)=x(x∈[-
,
])
cos(arccosx)=x(x∈[-1,1]) arccos(cosx)=x(x∈[0,π])
tan(arctanx)=x(x∈R)arctan(tanx)=x(x∈(-
,
))
cot(arccotx)=x(x∈R)
arccot(cotx)=x(x∈(0,π))
互余恒等式
arcsinx+arccosx=
(x∈[-1,1])
arctanx+arccotx=
(X∈R)
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) =
tan(A-B) =
cot(A+B) =
cot(A-B) =
倍角公式
tan2A =
Sin2A=2SinA?CosA
Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A
三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)3
cos3A = 4(cosA)3-3cosA
tan3a = tana·tan(
+a)·tan(
-a)
半角公式
sin(
)=
cos(
)=
tan(
)=
cot(
)=
tan(
)=
=
和差化积
sina+sinb=2sin
cos
sina-sinb=2cos
sin
cosa+cosb = 2cos
cos
cosa-cosb = -2sin
sin
tana+tanb=
积化和差
sinasinb = -
[cos(a+b)-cos(a-b)]
cosacosb =
[cos(a+b)+cos(a-b)]
sinacosb =
[sin(a+b)+sin(a-b)]
cosasinb =
[sin(a+b)-sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a) = -sina
cos(-a) = cosa
sin(
-a) = cosa
cos(
-a) = sina
sin(
+a) = cosa
cos(
+a) = -sina
sin(π-a) = sina
cos(π-a) = -cosa
sin(π+a) = -sina
cos(π+a) = -cosa
tgA=tanA =
万能公式
sina=
cosa=
tana=
其它公式
a?sina+b?cosa=
×sin(a+c) [其中tanc=
]
a?sin(a)-b?cos(a) =
×cos(a-c) [其中tan(c)=
]
1+sin(a) =(sin
+cos
)2
1-sin(a) = (sin
-cos
)2
其他非重点三角函数
csc(a) =
sec(a) =
双曲函数
sinh(a)=
cosh(a)=
tg h(a)=
公式一
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)= sinα
cos(2kπ+α)= cosα
tan(2kπ+α)= tanα
cot(2kπ+α)= cotα
公式二
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)= -sinα
cos(π+α)= -cosα
tan(π+α)= tanα
cot(π+α)= cotα
公式三
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)= -sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
cot(-α)= -cotα
公式四
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)= sinα
cos(π-α)= -cosα
tan(π-α)= -tanα
cot(π-α)= -cotα
公式五
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)= -sinα
cos(2π-α)= cosα
tan(2π-α)= -tanα
cot(2π-α)= -cotα
公式六
±α及
±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(
+α)= cosα
cos(
+α)= -sinα
tan(
+α)= -cotα
cot(
+α)= -tanα
sin(
-α)= cosα
cos(
-α)= sinα
tan(
-α)= cotα
cot(
-α)= tanα
sin(
+α)= -cosα
cos(
+α)= sinα
tan(
+α)= -cotα
cot(
+α)= -tanα
sin(
-α)= -cosα
cos(
-α)= -sinα
tan(
-α)= cotα
cot(
-α)= tanα
(以上k∈Z)
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用
A?sin(ωt+θ)+ B?sin(ωt+φ) =
×sin
三角函数公式证明(全部)
公式表达式
乘法与因式分解
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|
-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解
-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系
X1+X2=-b/a
X1*X2=c/a
注:韦达定理
判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注:方程有一个实根
b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理
b2=a2+c2-2accosB
注:角B是边a和边c的夹角
正切定理
[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}
圆的
标准
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方程
(x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标