电子双缝衍射的蒙特卡罗模拟
物理1501 1509030115 崔汪明
摘要:本实验通过蒙特卡罗模拟的方法模拟出了电子双缝衍射的物理实验现象,并通过控制变量法逐个研究了实验变量(电子加速电压、双缝的宽度、间距,缝与屏的距离)对电子衍射图像的影响,总结出其原因。同时还采用蒙特卡罗方法模拟出了氢原子的电子云图。通过在网上查阅资料,在M A T L A B中编写程序,研究图像最后再结合理论知识
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
结果完成了这次的
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
性实验。
一、前言
蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),也称统计模拟方法,又称随机抽样法、统计实验法或随机模拟法。蒙特卡罗方法的基本思想是:为了求解数学、物理、
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
技术或生产管理等方面的问题,首先建立一个与求解有关的概率模型或随机过程,使它的参数等于所求问题的解,然后通过对模型或过程的观察或抽样实验来计算所求参数的统计特征,最后给出所求解的近似值。蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程,解决一些数值方法难以解决的问题,很少受几何条件限制,收敛速度与问题的维数无关。
在许多工程、通讯、金融等技术问题中,所研究的控制过程往往不可避免地伴有随机因素,若要从理论上很好地揭示实际规律,必须把这些因素考虑进去。理想化的方法是在相同条件下进行大量重复实验,采集实验数据,再对数据进行统计分析,得出其规律。但是这样需要耗费大量的人力、物力、财力,尤其当一个实验周期很长或是一个破坏性实验时,通过实验采集数据几乎无法进行,此时蒙特卡罗方法就是最简单、经济、实用的方法。因此,蒙特卡罗模拟广泛应用在粒子输运问题、统计物理、典型数学问题、真空技术、激光技术、医学、生物、探矿等方面。
蒙特卡罗方法研究的问题大致可分为两种类型,一种是问题本身是随机的,另一种本身属于确定性问题,但可以建立它的解与特定随机变量或随机过程的数字特征或分布函数之间的联系,因而也可用随机模拟方法解决,如计算多重积分、求解积分方程、微分方程、非线性方程组、求矩阵的逆等。
本文通过蒙特卡罗方法模拟电子双缝衍射及氢原子的电子云图像,理解蒙特卡罗方法的基本思想,掌握使用蒙特卡罗方法的实验方法;观察不同变量下的电子衍射图像,得出不同变量对电子衍射图像的影响。
二、实验原理
电子双缝衍射是一种典型的随机物理现象,使用蒙特卡罗模拟可以方便地再像电子衍射过程。电子双缝衍射是微观粒子具有波动性的重要证明实验,开始是作为假想实验而提出的, 1988年才由Tonomura等人做出了该实验。鉴于一般教学仪器不具备进行该实验的条件,而运用蒙特卡罗随机模拟方法,可以借助计算机的数据可视化技术、绘图技术,构建出电子双缝衍射的动态随机过程,清晰地演示出电子衍射的全过程。
运用蒙特卡罗方法来处理电子衍射问题,首先必须根据要处理问题的规律,建立一个概率模型,然后进行随机抽样实验,从而得出一组按已知分布的随机数序列。最后依据这一随机数序列,借助计算机程序设计语言或图形软件,就可实现电子双缝衍射动态随机过程的模拟。
1. 概率模型的构建
图1是电子双缝衍射的示意图。衍射屏位
于X ’O ’Y ’平面,观测屏位于XOY 平面,缝电子双缝衍射的Matlab 程序如下,共产生1000个电子电子双缝衍射的Matlab 程序如下,共产生1000个电子S 1和S 2的宽度均为a ,两缝中心间距为(a+b ),衍射屏到观测屏的距离为D 。设动量为p 、能量为E 的自由电子沿Z 轴正方向入射到双缝,其波函数为
(2-1)
图1 电子双缝衍射示意图 设在t =0时刻,波前到达双缝处(Z=0),由式(6-2-1)可知,在双缝处波函数为一常数。 为简单起见,设在衍射屏上的波函数为:
(2-2)
根据费曼的路径积分理论,电子经过双缝而在t 时刻到达观测屏上P 点的衍射波函数为
(2-3)
式中,k=2π/λ 所以,电子经过双缝在观测屏上P 点出现的几率密度为
(2-4)
设D >> (a+b ),则有
(2-5)
代入式(2-4)有
(2-6)
式中,
。
根据上述电子在观测屏上出现的几率密度函数进行随机抽样,便得到按此几率密度函数分布的随机数序列。在蒙特卡罗方法中,有多种方法可实现按已知分布的随机抽样,这里采用舍选法。
舍选法的具体做法是:(1)计算机在一定的范围内随机地选取观测屏一坐标点(x i ,y i ),并计算H=w(x i )/w max 的值。其中,w(x i )是几率密度函数w (x)在点(x i ,y i )的值,w max 是几率密度函数的最大值;(2)计算机产生一个0至1之间均匀分布的随机数M;(3)将H与M进行比较,若H>=M,则选取该点,若H
=M%用分支结构选择符合条件的坐标点
hold on%保留当前坐标系中已存在的图形对象
h_point=plot(x,y,'.r','EraseMode','none','markerSize',10);
%用红颜色显示符合条件的坐标点,并赋句秉值给h_point i=i+1;
pause(0.001) %暂停一小段时间
set(h_point,'color','w') %将当前坐标点由红颜色变为白颜色end
end
三、材料与方法
实验材料,计算机,Matlab软件或者Octave软件。
实验
内容
财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容
包括:
研究电子加速电压对电子双缝衍射图像的影响并分析原因,控制其他三个变量的大小不变,改变电子加速电压,以U=1000V,a=2e-7m,b=1e-6m,D=0.25m为对照组观察两组图像的差别,得出结论并结合理论知识分析原因;研究双缝的宽度、间距,缝与屏之间的距离对电子衍射图样的影响,方法与上面相同,改变所要研究的对象大小,保持其他变量不变,对比图像,得出结论。
四、实验结果与讨论
基础性实验内容:
经过Matlab模拟出的实验图像:
图2 对照组,U0、a0、b0、D0图3 改变加速电压U=2U0
图4改变缝宽 a = 2a0图5 改变缝间距 b = 2b0
图6 改变缝与屏的距离D= 2D0
实验结果分析:对比图3跟图2可以发现,当增大电子加速电压时,电子条纹会变窄,条纹间距也会变窄,条纹数量增加每条条纹上的电子数量无多大变化;对比图2和图4可以发现,当增大缝的宽度时,电子条纹会变窄,条纹间距也会变窄,而且电子分布更往中间部分集中,条纹数量增加;对比图2和图5可以发现,当增大缝的间距时,电子条纹会变窄,条纹间距也会变窄,条纹数量会增加,电子分布更均匀而不是往中间集中,这点与上面一条相反;对比图2和图6可以发现,当增大缝与屏的距离时,电子条纹会变宽,条纹间距也会变宽,这与上面三条都相反,条纹数量减少,电子分布相较于图2更加均匀。
设计性试验内容
利用氢原子概率密度函数进行随机抽样得到概率密度函数分布的随机序列,借助Matlab 软件编程,模拟出氢原子的电子云图。
根据量子力学原理,氢原子中电子的几率分布由电子的定态波函数可以唯一确定。求解薛定锷方程,可以得到在球极坐标系中电子的定态波函数为
其中为径向函数,为球谐函数,为主量子数,
为角量子数,为磁量子数。径向函数
表
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达式为
其中为原子序数(氢原子),是第一玻尔半径,是归一化常数,是缔合拉盖尔多项式
球谐函数为
其中
是缔合勒让德函数,
当氢原子处于态时,电子在点周围的体积元
中出现的概率为
因此概率密度为
在网上查阅得到氢原子各能级核外电子的概率密度函数如下:
1S能级,W100(r,θ,φ)=1/(πa03)*exp(-2r/a0);
2S能级,W200(r,θ,φ)=1/(32πa03)*(2-r/a0)*exp(-r/a0);
2P能级,W210(r,θ,φ)=1/(32πa05)*r2*exp(-r/a0)*cos2θ;
... ...,
最大概率密度:W max = 1/(16πa03e2);
其中,a0= 0.529e-10m(第一玻尔轨道半径)。
模拟方法同基础实验,也是用取舍法,设Y = W/W max,计算机随机产生一个0到1之间均匀分布的随机数M,将Y与M做比较,若Y>=M,则保留该点,否则舍去,重复上述步骤。
Matlab模拟,程序如下:
a0 = 5.29e-11; %给a0赋值
plot3(0,0,0,'m','markerSize',32) %显示原子核位置
axis([-5e-10 5e-10 -5e-10 5e-10 -5e-10 5e-10]) %设置坐标轴范围
grid on %设置网络
xlabel('x');ylabel('y'),zlabel('z'); %标注x、y、z轴
i = 1;
while i<=3000 %用循环结构控制电子位置点的显示数目TH = pi*rand; %产生随机数并赋值给TH PHI = 2*pi*rand; %产生随机数并赋值给PHI
R = 9*a0*rand; %产生随机数并赋值给R
Y = 0.5*(2-(R/a0))^2*exp(2-(R/a0)); %计算Y
[x,y,z]=sph2cart(TH,PHI,R); %将空间球坐标系转化为空间直角坐标系M = rand; %产生随机数并赋值给M
if Y>=M %用分支结构选择符合条件的坐标点
hold on %保留当前坐标系中已存在的图像对象point = plot3(x,y,z,'.r','EraseMode','none','markerSize',5);
%用绿颜色显示符合条件的坐标点,并赋句柄值给point i = i+1;
pause(0.01) %暂停0.01秒
set(point,'color','g') %将当前坐标点由红色变为绿颜色end
end
这是模拟1S能级的电子云,运行以上程序可得到核外电子三维动态随机运动过程的模拟图像(如图7),改变程序中Y的定义式即可得到不同能级的电子云图。
图7 1S电子云图8 2P电子云2d图
图9 2P电子电子云
从模拟的图中可以看出,氢原子1S能级电子云呈球形,而P能级呈纺锤形,这与理论的推导结果相符合,
五、结论
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的近似解。这种方法在处理随机问题时十分有效,蒙特卡罗方法可以大大降低实验难度,不需要严苛的实验环境,对个人的操作要求也很低,理解和掌握这种方法在以后解决某些问题的过程中有很大的借鉴意义。
六、思考题
2.缝的大小对模拟的电子双缝衍射图像有何影响?为什么?
缝宽越大,电子条纹越窄,条纹间距越窄,衍射条纹越密。
3.电子数量是否越多越好?为什么?
不是,图10是电子数目为20000的电子衍射图像,衍射条纹之间的间距也会有电子出现,只不过出现的概率比较小,当衍射的电子数目很大时,条纹间距也会被电子所覆盖,而达不到实验的目的,得不到该有的模拟效果。电子数目太少看不出清晰的条纹,适当提高电子数目确实会使图像更清晰准确,但是不能无限制的增加,所以要在这两者之间找到一个平
衡;而且电子数目设置越多,程序运行的时间也越长,实验效率大大降低。
图10 电子数目为20000时的衍射图像
七、原始数据
浙公网安备 33021202002483