《线性代数》
授 课 教 案
刘思圆
第一章 行列式
本章说明与要求:
行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问
题
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：
(1) 行列式的定义；
(2) 行列式的基本性质及计算方法；
(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．
本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．
计算行列式的基本思路是：按行(列)展开
公式
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，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．
行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．
。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。
。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。
§1.1 二阶与三阶行列式
行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．
设有二元线性方程组
(1)
用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22 – a12a21≠0 时，有
(2)
这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来
表
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示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号
为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．
根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成
，
，
如果记
，
，
则当D≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成
，
， (3)
象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．
首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．
例1 用二阶行列式解线性方程组
解：这时
，
，
，
因此，方程组的解是
，
，
对于三元一次线性方程组
(4)
作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号
(5)
为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．
例2
令
，
，
．
当 D≠0时，(4)的解可简单地表示成
，
，
(6)
它的结构与前面二元一次方程组的解类似．
例3 解线性方程组
解：
，
，
，
．
所以，
，
，
．
例4 已知
，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)．
解：
，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零．
为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．
思考题：
当a、b为何值时，行列式
．
§1.2 排列
在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识．
定义1由数码1，2，…，n组成一个有序数组称为一个n级排列．
例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．
数字由小到大的n级排列1234…n 称为自然序排列．
定义2在一个n级排列i1i2…in中，如果有较大的数 it 排在较小的数 is 的前面(is
j时，经过i与j的对换后，排列的逆序数减少1个．所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性．
再讨论一般情况，设排列为
a1a2…al i b1b2…bmjc1c2…cn
将i与j作一次对换，则排列变为
a1a2…al j b1b2…bmi c1 c2…cn
这就是对换不相邻的两个数的情况．但它可以看成是先将i与b1对换，再与b2对换，…，最后与bm的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列
a1a2…alb1b2…bmi j c1…cn
然后将数j与它前面的数i，bm…，b1作m+1次相邻两数的对换而成．而对换不相邻的数i与j(中间有m个数)，相当于作2m+1次相邻两数的对换．由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇数，因此，不相邻的两数i，j经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同．
定理2 在所有的n级排列中(n≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为
个．
证明：设在n!个n级排列中，奇排列共有p个，偶排列共有q个．对这p个奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2)，则由定理1知p个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有q个，所以p≤q；同理将全部的偶排列施以同一对换(1，2)，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有q≤p，所以q = p，即奇排列与偶排列的个数相等．
又由于n级排列共有n!个，所以q + p = n!，
．
定理3 任一n级排列i1i2…in都可通过一系列对换与n级自然序排列12…n互变，且所作对换的次数与这个n级排列有相同的奇偶性．
证明：对排列的级数用数学归纳法证之．
对于2级排列，结论显然成立．
假设对n–1级排列，结论成立，现在证明对于n级排列，结论也成立．
若in=n，则根据归纳假设i1i2…in–1是n–1级排列，可经过一系列对换变成12…(n–1)，于是这一系列对换就把i1i2…in变成12…n．若in≠n，则先施行in与n的对换，使之变成i1'i2'…'i'n–1n，这就归结成上面的情形．相仿地，12…n也可经过一系列对换变成i1i2…in，因此结论成立．
因为12…n是偶排列，由定理1可知，当i1i2…in是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i1i2…in具有相同的奇偶性．
思考题：
1．决定i、j的值，使
(1) 1245i6j97为奇排列；
(2) 3972i15j4为偶排列．
2．排列n (n–1)(n–2)…321经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？
§1.3 n阶行列式
本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n阶行列式的定义．
已知二阶与三阶行列式分别为
其中元素aij的第一个下标i表示这个元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示此元素位于第j列，称为列标．
我们可以从中发现以下规律：
(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；
(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；
(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号．
作为二、三阶行列式的推广我们给出n阶行列式的定义．
定义1 由排成n行n列的n2个元素aij (i，j=1，2，…，n)组成的符号
称为n阶行列式．它是n!项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号．于是得
＝
(1)
其中
表示对所有的n级排列j1j2…jn求和．
(1)式称为n阶行列式按行标自然顺序排列的展开式．
称为行列式的一般项．
当n=2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中用对角线法则定义的是一致的．当n=1时，一阶行列为|a11|= a11．如
当n=4时，4阶行列式
表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项．根据n阶行列式的定义，4阶行列式为
例如a14a23a31a42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N(4312)=5，所以该项取负号，即–a14a23a31a42是上述行列式中的一项．
为了熟悉n阶行列式的定义，我们来看下面几个问题．
例1 在5阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号？
解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514．
因 N(23514)=4，故这一项应取正号．
例2 写出4阶行列式中，带负号且包含因子a11a23的项．
解：包含因子a11a23项的一般形式为
按定义，j3可取2或4，j4可取4或2，因此包含因子a11a23的项只能是
a11a23a32a44或a11a23a34a42
但因 N(1324)=1为奇数
N(1342)=2为偶数
所以此项只能是 –a11a23a32a44．
例3 计算行列式
解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项．但只有以下四项
adeh，adfg，bceh，bcfg
不为零．与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N(1234)=0，N(1243)=1，N(2134)=1和N(2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即
= adeh–adfg–bceh+bcfg
例4 计算上三角形行列式
其中aii≠０ (i=1， 2，…， n)．
解：由n阶行列式的定义，应有n!项，其一般项为
但由于D中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可．在D中，第n行元素除ann外，其余均为０．所以jn=n；在第n–1行中，除an–1n–1和an–1n外，其余元素都是零，因而jn–1只取n–1、n这两个可能，又由于ann、an–1n位于同一列，而jn=n．所以只有jn–1 = n–1．这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a11a22…ann一项不等于零．而这项的列标所组成的排列的逆序数是N(12…n)=0故取正号．因此，由行列式的定义有
=a11a22…ann
即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积．
同理可求得下三角形行列式
=a11a22…ann
特别地，对角形行列式
=a11a22…ann
上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积．
例5 计算行列式
解 这个行列式除了a1na2n–1…an1这一项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号，列标的n级排列为n(n–1)…21，N(n(n–1)…21)= (n–1)+ (n–2)+…+2+1=
，所以
=
同理可计算出
=
=
由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0．
在n阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n个元素的行标排成自然序排列，即
．事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n个元素的次序是可以任意写的，一般地，n阶行列式的项可以写成
(2)
其中i1i2…in，j1 j2…jn是两个n阶排列，它的符号由下面的定理来决定．
定理1 n阶行列式的一般项可以写成
(3)
其中i1i2…in，j1j2…jn都是n级排列．
证明：若根据n阶行列式的定义来决定(2)的符号，就要把这n个元素重新排一下，使得它们的行标成自然顺序，也就是排成
(4)
于是它的符号是
现在来证明(1)与(3)是一致的．我们知道从(2)变到(4)可经过一系列元素的对换来实现．每作一次对换，元素的行标与列标所组成的排列i1i2…in，j1j2…jn就同时作一次对换，也就是N(i1i2…in)与N(j1j2…jn)同时改变奇偶性，因而它的和
N(i1i2…in)+N(j1j2…jn)
的奇偶性不改变．这就是说，对(2)作一次元素的对换不改变(3)的值，因此在一系列对换之后有
这就证明了(1)与(3)是一致的．
例如，a21a32a14a43是4阶行列式中一项，它和符号应为(–1)N(2314)+N(1243)= (–1)2+1= –1．如按行标排成自然顺序，就是a14a21a32a43，因而它的符号是(–1)N(4123)=(–1)3= –1
同样，由数的乘法的交换律，我们也可以把行列式的一般项
中元素的列标排成自然顺序123…n，而此时相应的行标的n级排列为i1i2…in，则行列式定义又可叙述为
．
思考题：
1．如果n阶行列式所有元素变号，问行列式的值如何变化？
2．由行列式的定义计算
f(x)=
中x4与x3的系数，并说明理由．
§1.4 行列式的性质
当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n阶行列式的值是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算．
将行列式D的行列互换后得到的行列式称为行列式D的转置行列式，记作DT，即若
， 则
．
反之，行列式D也是行列式DT的转置行列式，即行列式D与行列式DT互为转置行列式．
性质１ 行列式D与它的转置行列式DT的值相等．
证：行列式D中的元素aij(i， j=1， 2， …，n)在DT中位于第j行第i列上，也就是说它的行标是j， 列标是i，因此，将行列式DT按列自然序排列展开，得
这正是行列式D按行自然序排列的展开式．所以D=DT．
这一性质表明，行列式中的行、列的地位是对称的，即对于“行”成立的性质，对“列”也同样成立，反之亦然．
性质２ 交换行列式的两行(列)，行列式变号．
证：设行列式
将第i行与第s行(1≤i＜s≤n)互换后，得到行列式
显然，乘积
在行列式D和D1中，都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积，根据§3 定理１，对于行列式D，这一项的符号由
决定；而对行列式D1，这一项的符号由
决定．而排列1…i…s…n与排列1…s…i…n的奇偶性相反，所以
= –
即D1中的每一项都是D中的对应项的相反数，所以D= –D1．
例１ 计算行列式
解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得
将第一、五列互换，得
推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零．
证：将行列式D 中对应元素相同的两行互换，结果仍是D，但由性质２有
D= –D， 所以D=0．
性质３ 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即
证：由行列式的定义有
左端＝
＝
＝右端．
此性质也可表述为：用数k乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k乘此行列式．
推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零．
证：由性质３和性质２的推论即可得到．
性质４ 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即
证：左端＝
＝
＝
＝右端．
性质5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变．即
i行×k加
到第s行
证：由性质４
右端=
+
=k０
+
=左端
作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子．
例2 计算行列式
解：这个行列式的特点是各行４个数的和都是６，我们把第２、３、４各列同时加到第１列，把公因子提出，然后把第１行×(–1)加到第２、３、４行上就成为三角形行列式．具体计算如下：
例3 计算行列式
解：
例4 试证明：
证：把２、３列同时加到第４列上去，则得
例5 计算n+1阶行列式
解：将D的第２列、第３列、…、第n+1列全加到第１列上，然后从第１列提取公因子
得
×(–a1)
×(–a2)
……
×(–an)
=
=
例6 解方程
解法一：
所以方程的解为x1=0， x2=1， …， xn–2=n–3， xn–1=n–2．
解法二：根据性质２的推论，若行列式有两行的元素相同，行列式等于零．而所给行列式的第１行的元素全是１，第２行，第３行，…第n行的元素只有对角线上的元素不是１，其余均为１．因此令对角线上的某个元素为１，则行列式必等于零．于是得到
1–x=1
2–x=1
…
(n–2)–x=1
(n–1)–x=1
有一成立时原行列式的值为零．所以方程的解为x1=0， x2，=1，…， xn–2=n–3， xn–1=n–2．
例7 计算n阶行列式
解：将第1行乘以(–1)分别加到第２、３、…、n行上得
从第一列提出x–a1，从第二提出x–a2，…，从第n列提出x–an，便得到
由
并把第２、第３、…、第n列都加于第1列，有
例8 试证明奇数阶反对称行列式
证：D的转置行列式为
从DT中每一行提出一个公因子(–1)，于是有
，但由性质1知道DT=D
∴ D=(–1)nD
又由n为奇数，所以有D= –D，
即 2D=0， 因此 D=0．
思考题：
1．证明下列各题：
．
2．计算下列n阶行列式：
；
§1.5 行列式按一行(列)展开
本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法——降阶法．为此，先介绍代数余子式的概念．
定义 在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列后，余下的元素按原来的位置构成一个n–1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Ｍij．元素aij的余子式Ｍij前面添上符号(–1)i+j称为元素aij的代数余子式，记作Aij．即Aij＝(–1)i+jMij．
例如：在四阶行列式
中a23的余子式是M23=
而 A23=(–1)2+3M23= –
是a23的代数余子式．
定理１ n阶行列式D等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin (i=1，2，…，n)
或 D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj (j=1，2，…，n)．
证明：只需证明按行展开的情形，按列展开的情形同理可证．
1°先证按第一行展开的情形．根据性质４有
按行列式的定义
同理
… … …
所以 D=a11A11+a12A12+…+a1nA1n．
2°再证按第i行展开的情形
将第i行分别与第i–1行、第i–2行、…、第１行进行交换，把第i行换到第１行，然后再按１°的情形，即有
定理２ n阶行列式D中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即：
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