2000~2010上海高考数学试卷集合

2001年全国高考理工类数学试题（上海卷） 2002年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1．若z∈C，且 (3+z)i=1 (i是虚数单位)，则z = . 2．已知向量 和 的夹角为120°，且| |=2，| |=5，则（2 — ）· = . 3．方程log3(1—2·3x)=2x+1的解x= . 4．若正四棱锥的底面边长为2 cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 . 5．在二项式(1+3x)n和(2x+5)n的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn，n是正整数，则 = . 6．已知圆 (x+1)2+y2=1和圆外一点P (0，2)，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切是 . 7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2个受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示） 8．曲线 （t为参数）的焦点坐标是 . 9．若A、B两点的极坐标为A（4， ）、B（6，0），则AB中点的极坐标是 .（极角用反三角函数表示） 10．设函数f (x)=sin2x.若f (x+t)是偶函数，则t的一个可能值是 . 11．若数列 中，a1=3，且an+1=an2（n是正整数），则数列的通项公式an= . 12．已知函数y=f (x)（定义域为D，值域为A）有反函数y=f -1(x)，则方程f (x)=0有解x=a，且f (x)＞x（x∈D）的充要条件是y=f -1(x)满足 . 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。 13．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ） （A）{z||z|=1, ≤argz≤ ,z∈C} ； （B）{z||z|≤1, ≤argz≤ ,z∈C} （C）{z||z|=1, Imz≥ ,z∈C} ； （D）{z||z|≤1, Imz≥ ,z∈C} 14．已知直线 、m，平面α、β，且 ⊥α，m β.给出下列四个命题：（1）若α∥β，则 ⊥m ；（2）若 ⊥m，则α∥β；（3）若α⊥β，则 ⊥m；（4）若 ∥α，则α⊥β，其中正确命题的个数是（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 15．函数y=x+sin|x|，x∈[—π，π]的大致图象是（ ） 16．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系.如图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ） （A）气温最高时，用电量最多 （B）气温最低时，用电量最少 （C）当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加； （D）当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加 三、解答题（本大题满分86分）解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．（本题满分12分）如右上图，在直三棱柱ABO—A/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A/B/的中点，P是侧棱BB/上的一点.若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 18．（本题满分12分）已知点A（— ，0）和B（ ，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x—2交于D、E两点.求线段DE的长. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分。 已知函数f (x)=x2+2x·tanθ—1，x∈[—1， ]，其中θ∈（— ， ）. （1）当θ= — 时，求函数y=f (x)的最大值与最小值； （2）求θ的取值范围，使y=f (x)在区间[—1， ]上是单调函数. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范围 [200，400） [400，500） [500，700） [700，900） … 获得奖券的金额（元） 30 60 100 130 … 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的优惠率= ，试问： （1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于 的优惠率？ 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。 已知函数f (x)=a·bx的图象过点A（4， ）和B（5，1）. （1）求函数f (x)的解析式； （2）记an =log2f (n)，n是正整数，Sn是数列 的前n项和，解关于n的不等式anSn≤0； （3）对于（2）中的an与Sn，整数104是否为数列{ anSn }中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由. 22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。 规定 = ，其中x∈R，m是正整数，且 =1，这是组合数 （n、m是正整数，且m≤n）的一种推广. （1）求 的值； （2）组合数的两个性质：① = ；② + = . 是否都能推广到 （x∈R，m是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； （3）已知组合数 是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时， ∈Z. 参考答案 一、1.—3—i; 2.13; 3.—1; 4.30°； 5. ； 6. ； 7. ； 8.（0，1）； 9.（ ，arctan ）； 10. 或 … 11. 12.f -1(0)=a,且f -1 (x)＜x (x∈A)或y= f -1 (x)的图象在直线y=x的下方，且与y轴的交点为(0，a). 二、DBCC 三、17. [解法一] 如图,以点为原点建立空间直角坐标系 由题意，有 设，则 因为 因为平面AOB 是OP与底面AOB所成的角 [解法二]取中点E，连结DE、BE，则 平面 是BD在平面内的射影。 又因为 由三垂线定理的逆定理，得 在矩形中，易得 得 （以下同解法一） ∠POB=arctan . 18. [解] 设点C（x,y），则 根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线 由 故点C的轨迹方程是 由，得 因为，所以直线与双曲线有两个交点。 设、， 则 故 19. [解] （1）当 时 时， 的值最小为 ； 当x = - 1 时， 的值最大为 （2）函数 图像的对称轴为 。 ∵ 在区间 上是单调递增函数， ∴ 或 ，即 或 因此，θ的取值范围是 20. [解] （1） （2）设商品的标价为x元 则，消费额： 由已知得（I） 或（II） 不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为 因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于的优惠率。 21. [解] （1）由，得故 （2）由题意 由得，即 故 （3），，， 当时， 当时， 因此，96不是数列中的项。 22. [解] （1） （2）性质①不能推广。例如取x= ； 有意义，但 无意义；性质②能推广，它的推广形式是 ， ，m是正整数，事实上，当m = 1时，有 当 时， = （3）当 时，组合数 ∈Z 。当 时， = 0∈Z 。 当 时， 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数 学（理工农医类） 第Ⅰ卷 （共110分） 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 1．函数 的最小正周期T= . 2．若 . 3．在等差数列 中，a5=3, a6=－2,则a4+a5+…+a10= 4．在极坐标系中，定点A 点B在直线 上运动，当线段AB最短 时，点B的极坐标是 5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示） 6．设集合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且 = . 7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示） 8．若首项为a1，公比为q的等比数列 的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）= . 9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示） 10．方程x3+lgx=18的根x≈ .（结果精确到0.1） 11．已知点 其中n的为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积，则 = . 12．给出问题：F1、F2是双曲线 =1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. 二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ） A．y=tg|x|. B．y=cos(－x). C． D． . 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） A．α、β都垂直于平面r. B．α内存在不共线的三点到β的距离相等. C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β. D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β. 15．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为集合M和N，那么“ ”是“M=N”的 （ ） A．充分非必要条件. B．必要非充分条件. C．充要条件 D．既非充分又非必要条件. 16．f( )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（ ）=af（ ）+b，则下 列关于函数g（ ）的叙述正确的是 （ ） A．若a<0,则函数g（ ）的图象关于原点对称. B．若a=－1，－2 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱 宽l是多少？ （2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设 计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小？ （半个椭圆的面积公式为 ，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米） 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分. 在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零. （1）求向量 的坐标； （2）求圆 关于直线OB对称的圆的方程； （3）是否存在实数a，使抛物线 上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围. 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立. （1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由； （2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M； （3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围. 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理工农医类）答案 一、（第1题至第12题） 1．π. 2． . 3．－49 . 4． . 5．arctg2. 6．[1,3]. 7． 8． 的一组数）. 9． 10．2.6 . 11．4π 12．|PF2|=17. 二、（第13题至第16题） 题 号 13 14 15 16 代 号 C D D B 三、（第17题至第22题） 17．[解] 故 的最大值为 最小值为 . 18．[解]连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD. 在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD= . 又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以 ∠B1DB=30°，于是BB1= BD=2. 故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1= . 19．[解]（1） （2）归纳概括的结论为： 若数列 是首项为a1，公比为q的等比数列，则 20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为 . 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得 .因此隧道的拱宽约为33.3米. （2）[解一] 由椭圆方程 ，得 故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小. [解二]由椭圆方程 ，得 于是 得 以下同解一. 21．[解]（1）设 得 所以v－3>0,得v=8,故 ={6，8}. （2）由 ={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程： 由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为 . 设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则 故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10. （3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则 故当 时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点. 22．[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)= （2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点， 所以方程组： 有解，消去y得ax=x, 显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T. 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M. （3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M. 当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有 f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx . 因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R， 于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]， 故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立， 只有T= ，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z . 当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立， 即sin(kx－k+π)= sinkx 成立， 则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z . 综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z} 2004年高考数学上海卷(理科) 符号意义 本试卷所用符号 等同于《实验教材》符号 向量坐标 正切 tg tan 一、填空题(本大题满分48分,每小题4分) 1、若 ,则 = . 2、设抛物线的顶点坐标为 ,准线方程为 ,则它的焦点坐标为 . 3、设集合 ,集合 .若 ,则 . 4、设等比数列 （ ）的公比 ,且 ,则 . 5、设奇函数 的定义域为 .若当 时, 的图象如右图,则不等式 的 解是 . 6、已知点 ,若向量 与 同向, =2 ,则点B的坐标为 . 7、在极坐标系中,点 到直线 的距离 . 8、圆心在直线 上的圆C与y轴交于两点 , ,则圆C的方程为 . 9、若在二项式 的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示) 10、若函数 在[0,+∞)上为增函数,则实数a、b的取值范围 是 . 11、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 12、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设 是公比为 的无穷等比数列,下列 的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号) ① 与 ; ② 与 ; ③ 与 ; ④ 与 . 其中n为大于1的整数, 为 的前n项和. 二、选择题(本大题满分16分,每小题4分) 13、在下列关于直线 、 与平面 、 的命题中,真命题是( ) A．若 且 ,则 . B． 若 且 ∥ ,则 . C． 若 且 ,则 ∥ . D． 若 且 ∥ ,则 ∥ . 14、三角方程 的解集为( ) A． . B． . C． . D． . 15、若函数 的图象可由函数 的图象绕坐标原点O逆时针旋转 得到,则 ( ) A． . B． . C． . D． . 16、某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( ) A．计算机行业好于化工行业. B．建筑行业好于物流行业. C．机械行业最紧张. D．营销行业比贸易行业紧张. 三、解答题(本大题满分86分) 17、(本题满分12分) 已知复数 满足 , , 其中 为虚数单位, , 若 ,求a的取值范围. 18、(本题满分12分) 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分 记函数 的定义域为 , ( ) 的定义域为B. (1) 求 ； (2) 若 , 求实数a的取值范围. 20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分 已知二次函数 的图象以原点为顶点且过点 ,反比例函数 的图象与直线 的两个交点间距离为8, . (1) 求函数 的表达式； (2) 证明：当 时，关于 的方程 有三个实数解. 21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分 如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) (1)​ 证明：P-ABC为正四面体； (2)​ 若PD= PA, 求二面角D-BC-A的 大小；(结果用反三角函数值表示) (3)​ 设棱台DEF-ABC的体积为V, 是 否存在体积为V且各棱长均相等的直 平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造 出这样的一个直平行六面体,并给出证 明；若不存在,请说明理由. 22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分 设 , ,…, ( ) 是二次曲线C上的点, 且 , , …, 构成了一个公差为 （ ） 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记 . （1）若C的方程为 , . 点 及 , 求点 的坐标； (只需写出一个) （2）若C的方程为 (a>b>0). 点 , 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求 的最小值； （3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点 存在的充要条件,并说明理由. 上海数学(理工类) 参考答案 一、填空题(本大题满分48分,每小题4分) 1、3 2、(5,0) 3、{1,2,5} 4、2 5、(－2,0)∪(2,5] 6、(5,4) 7、 8、(x－2)2+(y+3)2=5 9、 10、a>0且b≤0 11、用代数的方法研究图形的几何性质 12、①、④ 二、选择题(本大题满分16分,每小题4分) 13、B 14、C 15、A 16、B 三、解答题(本大题满分86分) 17、【解】由题意得 z1= =2+3i, 于是 = = , = . < ,得 , . 18、【解】由题意得 ,∴ ( ). 于定, 框架用料长度为 . 当 ,即 时等号成立. 此时, x≈2.343,y=2 ≈2.828. 故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省. 19、【解】(1) , 得 , 或 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞) (2) 由 , 得 . ∵ ,∴ , ∴ . ∵ , ∴ 或 , 即 或 , 而 , ∴ 或 , 故当 时, 实数 的取值范围是(－∞,－2]∪[ ,1) 20、【解】(1)由已知,设 ,由 ,得 , ∴ . 设 (k>0),它的图象与直线 的交点分别为 ， 由 ,得 , ∴ .故 . (2) 【证法一】 ,得 , 即 . 在同一坐标系内作出 和 的大致图象,其中 的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, 与的图象是以 为顶点,开口向下的抛物线. 因此 与 的图象在第三象限有一个交点, 即 有一个负数解. 又∵ ， 当 时, , ∴当 时,在第一象限 的图象上存在一点 在 图象的上方. ∴ 与 的图象在第一象限有两个交点,即 有两个正数解. 因此,方程 有三个实数解. 【证法二】由 ,得 , 即 ,得方程的一个解 . 方程 化为 , 由 ， ,得 , , ∵ , ∴ ,且 . 若 ,即 ,则 , , 得 或 ,这与 矛盾, ∴ . 故原方程 有三个实数解. 21、【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等, ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又∵截面DEF∥底面ABC, ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体. 【解】(2)取BC的中点M,连接PM,DM.AM. ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM, 则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角. 由(1)知,P-ABC的各棱长均为1, ∴PM=AM= ,由D是PA的中点,得 ,∴ . (3)存在满足条件的直平行六面体. 棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V. 设直平行六面体的棱长均为 ,底面相邻两边夹角为 , 则该六面体棱长和为6, 体积为 . ∵正四面体P-ABC的体积是 ,∴ , .可知 故构造棱长均为 ,底面相邻两边夹角为 的直平行六面体即满足要求. 22、【解】(1) ,由 ,得 . 由 ，得 ∴点 的坐标可以为 . (2) 【解法一】原点O到二次曲线 （ ）上各点的最小距离为 ,最大距离为 . ∵ , ∴ ,且 , ∴ . ∵ , >0 ∴ 在[ ,0)上递增, 故 的最小值为 · = . 【解法二】对每个自然数 , 由 ，解得 ∵ ,得 ∴ 以下与解法一相同. (3) 【解法一】若双曲线 － =1,点 , 则对于给定的 , 点 存在的充要条件是 . ∵原点O到双曲线C上各点的距离 ,且 , ∴点 存在当且仅当 2> 2,即d>0. 【解法二】若抛物线 ,点 , 则对于给定的 , 点 存在的充要条件是 .理由同上 【解法三】若圆 （ ）, , 则对于给定的n, 点 存在的充要条件是 . ∵原点O到圆C上各点的最小距离为0,最大距离为2 , 且 =0, ∴d>0且 .即 . 2005年上海高考数学试卷（理工农医类）详细解答 考生注意： 1．​ 答卷前，考生务必讲姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．​ 本试卷共22道试题，满分150分．考试时间120分钟，请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1、​ 函数 的反函数 =__________。 解答： 反函数 = 2、​ 方程 的解是__________ 解答： 3、​ 直角坐标平面 中，若定点 与动点 满足 ，则点P的轨迹方程是__________。 解答：设点P的坐标是(x,y)，则由 知 4、​ 在 的展开式中， 的系数是15，则实数 =__________。 解答： 的系数 5、​ 若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程是__________。 解答：由双曲线的渐近线方程为 ，知 ， 它的一个焦点是 ，知 ，因此 双曲线的方程是 6、​ 将参数方程 （ 为参数）化为普通方程，所得方程是__________。 解答： 7、​ 计算： =__________。 解答： =3 8、​ 某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程。从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________。（结果用分数表示） 解答： 9、​ 在 中，若 ，AB=5，BC=7，则 的面积S=__________。 解答：由余弦定理 解的AC=3，因此 的面积 10、​ 函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，则 的取值范围是__________ 解答： 从图象可以看出直线 有且仅有两个不同的交点时, 11、​ 有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面三角形的三边长分别为 。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则 的取值范围是__________。 解答：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况 四棱柱有一种，就是边长为 的边重合在一起，表面积为24 +28 三棱柱有两种，边长为 的边重合在一起，表面积为24 +32 边长为 的边重合在一起，表面积为24 +36 两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况 表面积为12 +48 最小的是一个四棱柱，这说明 12、用 个不同的实数 可得到 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 行的数阵。对第 行 ，记 ， 。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以， ，那么， 在用1，2，3，4，5形成的数阵中， =________。 解答：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360， 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。 13、若函数 ，则该函数在 上是（ ） A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值 解答： ，所以 单调递减， 是开区间，所以最小值无法取到，选A 14、已知集合 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 解答： = ，选B 15、过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 解答： 的焦点是(1，0)，设直线方程为 (1) 将(1)代入抛物线方程可得 ，x显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是 ，选B 16、设定义域为R的函数 ，则关于 的方程 有7个不同实数解的充要条件是（ ） A． 且 B． 且 C． 且 D． 且 解答： 有7个不同实数解的充要条件是方程 有两个根，一个等于0，一个大于0。此时应 且 。选C 1、​ 解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分） 已知直四棱柱 中， ，底面 是直角梯形， 为直角， ， ， ， ，求异面直线 与 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） [解] 17．[解法一]由题意AB//CD， 是异面直线BC1与DC所成的角. 连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得 ， 又在Rt△ACC1中，可得AC1=3. 在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H， 得 又在 中，可得 ， 在 ∴异而直线BC1与DC所成角的大小为 [解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直 角坐标系. 则C1（0，1，2），B（2，4，0） 所成的角为 ， 则 ∴异面直线BC1与DC所成角的大小为 18．（本题满分12分） 证明：在复数范围内，方程 （ 为虚数单位）无解． [证明]原方程化简为 设 、 ，代入上述方程得 将（2）代入（1），整理得 无实数解，∴原方程在复数范围内无解. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，点 、 分别是椭圆 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于 轴上方， ． （1）求点P的坐标； （2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于 ，求椭圆上的点到点M的距离 的最小值． [解] ．[解]（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0） 设点P的坐标是 ，由已知得 由于 （2）直线AP的方程是 设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是 ， 于是 椭圆上的点 到点M的距离d有 由于 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底 （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 解：（1）设中低价房面积形成数列 ，由题意可知 是等差数列， 其中a1=250，d=50，则 令 即 ∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. （2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列， 其中b1=400，q=1.08， 则bn=400·(1.08)n－1 由题意可知 有250+(n－1)50>400 · (1.08)n－1 · 0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6， ∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 对定义域分别是 、 的函数 、 ， 规定：函数 ． （1）若函数 ， ，写出函数 的解析式； （2）求问题（1）中函数 的值域； （3）若 ，其中 是常数，且 ，请设计一个定义域为 的函数 ，及一个 的值，使得 ，并予以证明． 解（1） （2）当 若 其中等号当x=2时成立， 若 其中等号当x=0时成立， ∴函数 （3）[解法一]令 则 于是 [解法二]令 ， 则 于是 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分． 在直角坐标平面中，已知点 ， ， ，…， ，其中 是正整数．对平面上任一点 ，记 为 关于点 的对称点， 为 关于点 的对称点，……， 为 关于点 的对称点． （1）​ 求向量 的坐标； （2）​ 当点 在曲线 上移动时，点 的轨迹是函数 的图象，其中 是以3为周期的周期函数，且当 时， ，求以曲线 为图象的函数在 的解析式； 对任意偶数 ，用 表示向量 的坐标 [解]（1）设点 ，A0关于点P1的对称点A1的坐标为 A1关于点P2的对称点A2的坐标为 ，所以， （2）[解法一] 的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移 4个单位得到. 因此，基线C是函数 的图象，其中 是以3为周期的周期函数，且当 [解法二]设 若 当 （3） 由于 ， 选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开) 2006年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知集合A＝ －1，3，2 －1 ，集合B＝ 3， ．若B A，则实数 ＝ ． 2．已知圆 －4 －4＋ ＝0的圆心是点P，则点P到直线 － －1＝0的距离是 ． 3．若函数 ＝ （ ＞0，且 ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则 ＝ ． 4．计算： ＝ ． 5．若复数 同时满足 － ＝2 ， ＝ （ 为虚数单位），则 ＝ ． 6．如果 ＝ ，且 是第四象限的角，那么 ＝ ． 7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2 ，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ． 8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4， ），B（5，－ ），则△OAB的面积是 ． 9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）． 10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ． 11．若曲线 ＝| |＋1与直线 ＝ ＋ 没有公共点，则 、 分别应满足的条件是 ． 12．三个同学对问题“关于 的不等式 ＋25＋| －5 |≥ 在[1，12]上恒成立，求实数 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 的取值范围是 ． 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ） （A） ＝ ；（B） ＋ ＝ ； （C） － ＝ ；（D） ＋ ＝ ． 14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ） （A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件． 15．若关于 的不等式 ≤ ＋4的解集是M，则对任意实常数 ，总有[答]（ ） （A）2∈M，0∈M； （B）2 M，0 M； （C）2∈M，0 M； （D）2 M，0∈M． 16．如图，平面中两条直线 和 相交于点O，对于平面上任意一点M，若 、 分别是M到直线 和 的距离，则称有序非负实数对（ ， ）是点M的“距离坐标”．已知常数 ≥0， ≥0，给出下列命题： ①若 ＝ ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点 有且仅有1个； ②若 ＝0，且 ＋ ≠0，则“距离坐标”为 （ ， ）的点有且仅有2个； ③若 ≠0，则“距离坐标”为（ ， ）的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分） 求函数 ＝2 ＋ 的值域和最小正周期． [解] 18．（本题满分12分） 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1 ）？ [解] 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ． （1）求四棱锥P－ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的大小（结果用反 三角函数值表示）． [解]（1） （2） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 ＝2 相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线 过点T（3，0），那么 ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1） （2） 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知有穷数列 共有2 项（整数 ≥2），首项 ＝2．设该数列的前 项和为 ，且 ＝ ＋2（ ＝1，2，┅，2 －1），其中常数 ＞1． （1）求证：数列 是等比数列； （2）若 ＝2 ，数列 满足 ＝ （ ＝1，2，┅，2 ），求数列 的通项公式； （3）若（2）中的数列 满足不等式| － |＋| － |＋┅＋| － |＋| － |≤4，求 的值． [解]（1） （2） （3） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分） 已知函数 ＝ ＋ 有如下性质：如果常数 ＞0，那么该函数在 0， 上是减函数，在 ，＋∞ 上是增函数． （1）如果函数 ＝ ＋ （ ＞0）的值域为 6，＋∞ ，求 的值； （2）研究函数 ＝ ＋ （常数 ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数 ＝ ＋ 和 ＝ ＋ （常数 ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 ＝ ＋ （ 是正整数）在区间[ ，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）． [解]（1） （2） （3） 上海数学(理工农医类)参考答案 2006年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分．） 1．已知集合A＝ －1，3，2 －1 ，集合B＝ 3， ．若B A，则实数 ＝ ； 解：由 ，经检验， 为所求； 2．已知圆 －4 －4＋ ＝0的圆心是点P，则点P到直线 － －1＝0的距离是 ； 解：由已知得圆心为： ，由点到直线距离公式得： ； 3．若函数 ＝ （ ＞0，且 ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则 ＝ ； 解：由互为反函数关系知， 过点 ，代入得： ； 4．计算： ＝ ； 解： ； 5．若复数 同时满足 － ＝2 ， ＝ （ 为虚数单位），则 ＝ ； 解：已知 ； 6．如果 ＝ ，且 是第四象限的角，那么 ＝ ； 解：已知 ； 7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2 ，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的 标准方程是 ； 解：已知 为所求； 8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4， ），B（5，－ ），则△OAB的面积是 ； 解：如图△OAB中， (平方单位)； 9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成 一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）； 解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有 种方法； 2) 剩下的一套全排列，有 种方法； 所以，所求概率为： ； 10．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体 中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ； 解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方 体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线 面对”，所以共有36个“正交线面对”； 11．若曲线 ＝| |＋1与直线 ＝ ＋ 没有公共点，则 、 分别应满足的条件是 ． 解：作出函数 的图象， 如右图所示： 所以， ； 12．三个同学对问题“关于 的不等式 ＋25＋| －5 |≥ 在[1，12]上恒成立，求实数 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 的取值范围是 ； 解：由 ＋25＋| －5 |≥ ， 而 ，等号当且仅当 时成立； 且 ，等号当且仅当 时成立； 所以， ，等号当且仅当 时成立；故 ； 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结 论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题 后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括 号内），一律得零分． 13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） ； 解：由向量定义易得， （C）选项错误； ； 14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上” 的 [答]（ ） （A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件； 解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况： 1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”； 2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”； 必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”； 故选（A） 15．若关于 的不等式 ≤ ＋4的解集是M，则对任意实常数 ，总有[答]（ ） （A）2∈M，0∈M； （B）2 M，0 M； （C）2∈M，0 M； （D）2 M，0∈M； 解：选（A） 方法1：代入判断法，将 分别代入不等式中，判断关于 的不等式解集是 否为 ； 方法2：求出不等式的解集： ≤ ＋4 ； 16．如图，平面中两条直线 和 相交于点O，对于平面上任意一点M，若 、 分别是M到 直线 和 的距离，则称有序非负实数对（ ， ）是点M的“距离坐标”． 已知常数 ≥0， ≥0，给出下列命题： ① 若 ＝ ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的 点有且仅有1个； ② 若 ＝0，且 ＋ ≠0，则“距离坐标”为 （ ， ）的点有且仅有2个； ③ 若 ≠0，则“距离坐标”为（ ， ）的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 解：选（D） ① 正确，此点为点 ； ② 正确，注意到 为常数，由 中必有一个为零，另 一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距 离为 （或 ）； ③ 正确，四个交点为与直线 相距为 的两条平行线和与直线 相距为 的两条平行线的交点； 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分） 求函数 的值域和最小正周期． [解] ∴ 函数 的值域是 ,最小正周期是 ； 18．（本题满分12分） 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待 营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C处的乙 船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到 ）？ [解] 连接BC,由余弦定理得 BC2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10 . ∵ , ∴sin∠ACB= , ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD相交 于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ． （1）求四棱锥P－ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的大小（结果用 反三角函数值表示）． [解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得 ∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°. 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO, 于是,PO=BOtg60°= ,而底面菱形的面积为2 . ∴四棱锥P-ABCD的体积V= ×2 × =2. （2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、 OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立 空间直角坐标系. 在Rt△AOB中OA= ,于是,点A、B、 D、P的坐标分别是A(0,－ ,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, ). E是PB的中点,则E( ,0, ) 于是 =( ,0, ), =(0, , ). 设 的夹角为θ,有cosθ= ,θ=arccos , ∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos ； 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF. 由E是PB的中点,得EF∥PA， ∴∠FED是异面直线DE与PA所成 角(或它的补角)， 在Rt△AOB中AO=ABcos30°= =OP， 于是, 在等腰Rt△POA中， PA= ，则EF= . 在正△ABD和正△PBD中,DE=DF= ， cos∠FED= = ∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos . 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在平面直角坐标系 O 中，