nullnull第四章
金属自由电子论null解：（1）由周期性边界条件得null每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则在面积元中容纳电子数为又所以E到E+dE之间的状态数null（2）在E到E+dE内的电子数为dN在绝对零度时则null4.2 设金属中的电子可看成是在边长为L的方匣内运动的自由
粒子，试分别采用驻波边界条件和周期性边界条件，求状态密
度的
表
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示式。解：电子在方匣中运动，设其势函数 可写为，则薛定谔方程(1) 令 (2) (3) null代入(1)式可得(4) 应用驻波边界条件： null可得驻波解为式中波矢的各分量分别为(5) 这里 为任意正整数， 因而 也只取正值。 由(5)式得知， 间中一个状态代表点所占体积为代表金属体体积。 null由上式知道， 空间中的状态密度等于8V。 这样，如计入自旋，之间的状态数 从(2)式知道， 于是， 状态密度为 (6)null另一方面，若应用周期性边界条件 则从(3)(4)两式可得行波解波矢各分量分别为 (7) 取正负整数，电子的能量仍然表示为 null从(7)式知道，在 空间中，每个状态代表点所占体积为 因而 空间中的状态密度为V， 计入自旋， 之间的状态数为故状态密度 (8) 对比(6),(8)两式知道，利用驻波边界条件和周期性边界条件求
出的状态密度表示式是一样的。null解：体心立方又所以null解：因null所以可得null解：因为能量为E的等能面的方程式可写为null椭球的体积为得椭球内所含状态数为之间的状态数为null(1).解一维薛定谔方程 (1) 令 (2) 解：null从(1)式解得 利用周期性边界条件 ，得到 … 从上式可求得电子态在k空间的密度 从(2)式又知道 (3) 可见能量E是波矢 的偶函数， 和 对应同一能级，因而 在能量区间 内的电子态数 null(4) 式中 为电子的能态密度。即 代入(4)式，成为 由(3)式得null于是得 计及电子的自旋，则得到能态密度为 (2).电子服从费密统计。故应有 当T=0K时，费密分布函数null因此 (5) (3).按照定义，电子的平均能量(T=0K)利用(5)式化简，从上式即得 null（1）处于k状态的自由电子能量为 ，k为电子波矢。由此得到，费密球内证明：当T=0K时，电子全部占据费密球内各态。空间中，状态密度等于V，计入自旋，在波矢 的球壳内的状态数为 在，null电子的总能量于是 (1) 由此得到空间能量密度为null(2) 因为费密球内电子的总数(2) 把(2)式代入(1)式便得电子的平均能量null设g(E)为单位体积样品的状态密度，当系统由0K加热直至温度T时，(1) 式中的f(E)是费密分布函数。的积分可利用如下的积分公式求得：如 ，有 解：它的总能量(1)式已经过部分积分，其中最后null式中y(E)为能量E的某一函数。，从(1)式立即得到 (2)因为在通常讨论的温度范围，随温度的变化甚微而可以忽略，
于是从(2)式可得二维电子气的比热为令
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