高数第一册 第一章 高数第一册 第一章 习题1.1 (4) (8) (10) 7. (6) (7) ) (8) (9) 13.(1) (2) (3) 14. 习题1.2 2。(1) ,解不等式 ,得 (2) ,解不等式 ,得 (3) ,解不等式 ,得 当 时, (4) ,解不等式 ,得 3.证: ,有 。 于是 ,有 ,即 4.(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 6.(1) 故 (2) (3)设 , 则 (4) 则 7(1) , 单增。 ,有上界。 (2) , 单增。 ,有上界。 (3) 10. 12. 13. 14. 17. . 18. 19 20 21 习题1.3 5. 6. 7. 10. 11. 12、利用洛必达法则求极限 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) = (8) (9) (10) 法二: (11) (12) (13) (14) 14.证明: 习题2.1 2. 3. 7.(单数)(没有) 14.(单数)(没有) 16.(单数) 19.(单数) 20.(单数) 习题2.2 6.(单数)(没有) 7.(单数) 8.(单数) 9 习题2.3 3. 6.(单数) 8(单) 12.(单数) 14 15 18(显示问题) 19(显示问题) 20 21.(单) 22.(单) P208 习题3.1 1、利用基本积分公式计算下列积分 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) P237习题3.2 1、用适当地变化被积
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达式的方法求下列积分。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) 2、用适当的代换求下列积分 (1) 解:令 ,则 , 故得 另一解法:令 ,则 , 故得 (2) 解:令 ,则 , 故得 (3) 解:令 ,则 , 故得 (4) 解:令 ,则 , 代入 故得 (5) 令 ,则 , , , 代入 故得 (6) 解:令 ,则 , , , 代入 故得 (7) 解:令 ,则 代入 故得 (8) 解:令 ,则 , 故得 (9) 解:由于被积函数的存在域为 ,因此可设 ,并限制 ,从而 , ,代入 故得 (10) 解:令 ,则 , , ,代入 故得 又 , (11) 解:被积函数的存在域为 或 ,分别考虑。 (1)当 时,可设 ,并限制 ,从而 , (2)当 时,可设 ,并限制 ,从而 , (12) (13) 解:令 ,则 , , (14) 解:令 ,则 , 故得 (15) (16) 解:被积函数的存在域为 ,因此可设 ,并限制 ,从而 , 代入得 注意到 ,最后得 (17) 解:令 ,则 故得 (18) 故 3、求下列积分 (1) 解: (2) 解: (3) 解: (4) 解: (5) 解: (6) 解: (7) 解: (8) 解: (9) 解: (10) 解:令 ,则 , ,故得 (或 4、用分部积分法求下列积分 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解:令 ,则 ,待入得 (7) (8) (9) 解:令 ,则 ,代入得 (10) (11) 解:如果a,b同时为零,积分显然为 ;若 , ,积分显然为 ; 若 ,有 于是有 (12) 解: (13) 解: (14) 解: (15) 解: (16) 解: 注: (17) 解: 作代换 ,得 (课本例七结果) 最后得 (18) 解: (19) 解: 故有 5、用有理函数积分法求下列积分 (1) 解:设 ,通分后应有 ,解得 , 。于是 (2) 解:设 ,通分后解得 , , 。于是 (3) 解:设 ,通分后解得 , , 于是 (4) 解:设 ,通分后解得 , , , 。于是 令解: (5) 解: 若用代定系数法较复杂 (6) 解:设 ,经计算解得 , , , 。于是 (7) 解:设 ,通分后解得 , , , 。于是 (8) 解:设 6、求下列三角函数的积分 (1) 解: (2) 解: (3) 解: (4) 解: (5) 解: (6) 解: 、 (7) 解: (8) (9) , 解:设 ,则 , , 代入得 其中 (10) 解: 其中设 (11) 解: (12) 解: (13) 解: (14) (令 ) 解:设 ,则 , , 代入得 其中 7、求下列无理函数的积分 (1) 解:设 ,则 , 代入得 (2) 解:令 ,则 , 代入得 (3) 解: (4) 解: (5) 解: ,令 , , , 故 另解:令 ,则 , , 。代入得 (6) 解: (7) 解:设 ,则 , , ,代入得 当 时 当 时 总之, (8) 解:设 ,则 , , , 代入得 (9) 解:设 ,则 , , ,代入得 (10) 解:设 ,则 , ,代入得 (11) 解:设 ,则 , , 代入得 其中 (12) 解:设 ,则 , , 代入得 其中 8、求下列积分 (1) 解: (2) 解: (3) 解: (4) 解: (5) 解:令 ,则 , ,代入得 (6) 解: (7) 解:令 ,则 , ,代入得 (8) 解: (9) 解: (10) 解: (11) 解: (12) 解: (13) 解: (14) 解: (15) 解: (16) 解: (17) 解: (18) 解: (19) 解: (20) 解:当 时 当 时 总之 (21) 解: (22) 解: (23) 解: (24) 解: (25) 解: (26) 解: (27) 解: (28) 解:设 ,则 , , 。代入得 (29) 解:设 ,则 , 代入得 (30) 解:设 ,则 , ,代入得 (31) 解:当 时 当 时 总之 (32) 解: (33) 解: (34) 解: (35) 解: (36) 解: 这里暗中分别假定了被积函数 , 是连续的 (37)设 ,求 解:由 ,得 ,于是 第四章 4、求下列微分方程的特解。 (1) , , 解:特征方程为 ,解得 , ,通解为 , ,利用初始条件有 , 解得 ,所以特解为 (2) , , 解:特征方程为 ,解得 , ,通解为 , ,利用初始条件有 , 解得 ,所以特解为 (3) , , 解:特征方程为 ,解得 ,,通解为 , ,利用初始条件有 , 解得 ,所以特解为 (4) , , 解:特征方程为 ,解得 ,通解为 , ,利用初始条件有 ,解得 ,所以特解为 (5) , , 解:特征方程为 , ,通解为 , ,利用初始条件有 ,解得 ,所以特解为 12、求下列各种类型的微分方程的通解。 (1) 解:一阶、线性、非齐次 (2) 解:分离变量 , , , , 又解(利用公式): (3) 解:分离变量 , , , 又解(利用公式):原式变形为 , 第五章5.1 1、 利用积分的性质比较下列积分的大小。 此题利用的是定积分的性质6:若函数 、 都在 可积,且对任意 ,有 ,则 。 (1) 与 解:在区间 上, ,所以有 (2) 与 解:在区间上 上, ,所以有 (3) 与 解:在区间 , , , ,所以 (4) 与 解:在区间 上, , ,所以 2、 确定下列积分的符号。 此题利用的是定积分的性质5:若函数 在 可积,且对任意 ,有 (或 ),则 (或 )。 (1) 解:在区间 上, , ,所以 ,故有 (2) 解:在区间 上, , , ; 在区间 上, , , ,所以在区间 上恒有 ,故 3、 设 在 连续,且 ,证明:如果 ,则在 上, 。 4、求函数 在 上的平均值。 解: 5、求函数 在区间 上的平均值。 解: 6、利用中值定理估计下列各积分的值。 利用的定积分的性质9:若函数 在闭区间 连续,则在 内至少存在一点 使得下式成立: 。 (1) 解:利用性质9知,至少存在一点 ,使 而在 内, , , ,即 (2) 解:利用性质9知,至少存在一点 ,使 ,而在区间 上, , ,所以 ,即 (3) 解:利用性质9知,至少存在一点 ,使 ,而 , , 即 7、证明不等式 ,( ) 此题利用性质6 证明:在区间 内, , , ,所以 ,而 , ,即 8、求下列极限 (1) 解:利用性质9知,至少存在一点 ,使 ,所以 (2) 解:利用性质9知,至少存在一点 ,使 ,所以 (3) 解:利用性质9知,至少存在一点 ,使 ( ),当 时, , , ,所以 9、如果 , ,试计算 ( 、 均为连续函数) 证明: 10、求下列函数的导数 利用定理1 (1) 解: (2) (式中 为参变量) 解: (3) 解: 11、求极限 利用洛必达法则和定理1 (1) (2) 解: = (3) 解: 14.(单数) 习题5.2 1.(单数) 2.(单数) 4.(单数) 6.(没有) 习题 5.3 1.(单) 3. 4.(单) 6. 7. 9. 11.(单) 12.(单) 13. 14.