函数的定义域和值域

函数的定义域和值域（最值） 函数的定义域和值域（最值） 1．​ 高考要求： 1.​ 理解函数定义域和值域的概念； 2.​ 能熟练求出一些函数的定义域； 3.​ 掌握求函数值域的常规 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。 2．​ 双基梳理： 1.求函数的定义域的常见类型 (1)​ 分母; (2)​ 偶次根式 (3)​ 真数 (4)​ 底数为0的指数不等于0 (5)​ 指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1 2.求函数值域的方法 （1）直接观察法： 由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 （2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 （3）反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。 （4）分离常数法 适用于分子与分母同样的次幂，最终化成只有分母有x。 （5）判别式法 （6）换元法 (7)利用基本不等式求值域： （8）图象法（数形结合法）：如果可能做出函数的图象，可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此方法）。 （9）有界性法：可利用正、余弦函数的有界性，还有函数 的有界性求 的范围 （10）单调性法：利用函数的单调性来求值域 （11）复合函数法：对函数 ，先求 的值域充当 的定义域，从而求出 的值域的方法。 （12）导数法:若 的导函数为 ，令 ，求出极值，再与端点值比较，求出最值和值域。（几乎所有的函数都可用此法） 三．基础自测 1.（2008·全国Ⅰ理，1）函数y= 的定义域为 （ ） A.{x|x≥0} B.{x|x≥1} C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1} 2.函数f(x)=3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为 （ ） A.（0，+∞） B.(1,9］ C.(0,1) D.［9,+∞) 3.若函数f(x)=loga(x+1)(a＞0且a≠1)的定义域和值域都是［0，1］，则a等于（ ） A.  B. C.  D.2 4.函数y= 的值域是（ ）  A. B.  C.［0，1］ D.［0，+∞） 5.若函数y=x2-3x-4的定义域为［0，m］，值域为 ，则m的取值范围是 （ ）A.  B.  C.（0，3］ D. 四．典型例题 例1求下列函数的定义域： （1）y= ; (2)y= ; (3)y= . 例2 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f( );(3)y=f( ; 例3 求下列函数的值域： （1）y= (2)y=x- ;(3)y= . 例4若函数f（x）= x2-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值. 五．提高演练 1.求y= +(x-1)0的定义域 2.若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x-a)（0＜a＜ ）的定义域是 （ ） A.  B.［a，1-a］ C.［-a，1+a］ D.［0，1］ 3.求y= 的值域： 六．过关检测 1.已知函数f(x)的定义域为（0，2］，函数f 的定义域为 （ ） A.［-1，+∞） B.（-1，3］ C.［ ，3） D.（0， ） 2.（2009·河南新郑二中模拟）函数y= 的定义域是 （ ）  A. B.（1，2） C.（2，+∞） D.(-∞,2) 3.（2008·湖北理，4）函数f（x）= ln（ ）的定义域为 （ ）  A.（-∞，-4］∪［2，+∞） B.（-4，0）∪（0，1） C.［-4，0）∪（0，1］ D.［-4，0）∪（0，1） 4.设f(x)= g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是［0，+∞），则g(x）的值域是 （ ）A.（-∞，-1］∪［1，+∞） B.（-∞，-1］∪［0，+∞） C.［0，+∞） D.［1，+∞） 5.定义域为R的函数y=f(x)的值域为［a，b］，则函数y=f(x+a)的值域为 （ ）A.［2a，a+b］  B.［a，b］ C.［0，b-a］ D.［-a，a+b］ 6.（2008·安徽理，13）函数f(x)= 的定义域为 . 7.若函数y=lg(4-a·2x)的定义域为R，则实数a的取值范围为 . 8.（1）求函数f(x)= 的定义域； （2）已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域. 9.已知二次函数f(x）的二次项系数为a,且不等式f(x)＞-2x的解集为（1，3）. （1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围. 10.已知函数f(x)=2x-1的反函数为 ,g(x)=log4(3x+1). （1）若 ≤g(x),求x的取值集合D； （2）设函数H（x）=g（x）- ，当x∈D时，求函数H（x）的值域. 参考答案： 基础自测 1.C;2.B;3.D;4.B;5.B. 典型例题 例1解 （1）由题意得 化简得 即 故函数的定义域为{x|x＜0且x≠-1}. （2）由题意可得 解得  故函数的定义域为{x|- ≤x≤ 且x≠± }. （3）要使函数有意义，必须有 即 ∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）. 例2 解 （1）0≤3x≤1,故0≤x≤ , y=f(3x)的定义域为［0, ］. （2）仿（1）解得定义域为［1，+∞). （3）由条件，y的定义域是f 与 定义域的交集. 列出不等式组 故y=f 的定义域为 . （４）由条件得 讨论： ①当 即0≤a≤ 时，定义域为［a,1-a］; ②当 即- ≤a≤0时，定义域为［-a,1+a］. 综上所述：当0≤a≤ 时，定义域为［a，1-a］； 当- ≤a≤0时，定义域为［-a，1+a］. 例3 解 （1）方法一 （配方法） ∵y=1- 而 ∴0＜ ∴ ∴值域为 . 方法二 （判别式法） 由y= 得(y-1) ∵y=1时, 1.又∵ R，∴必须 =(1-y)2-4y(y-1)≥0. ∴ ∵ ∴函数的值域为 .22222222 （2）方法一 （单调性法） 定义域 ，函数y=x,y=- 均在 上递增，故y≤ ∴函数的值域为 . 方法二 （换元法） 令 =t,则t≥0，且x=  ∴y=- （t+1）2+1≤ （t≥0）, ∴y∈（-∞， ］. （3）由y= 得,ex=  ∵ex＞0,即 ＞0,解得-1＜y＜1. ∴函数的值域为{y|-1＜y＜1}. 例4解 ∵f（x）= (x-1)2+a- . ∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f（x）的单调递增区间. ∴f（x）min=f（1）=a- =1 ①  f（x）max=f（b）= b2-b+a=b ② 由①②解得 提高演练 1.解 由 得  所以-3＜x＜2且x≠1.故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2). 2.B 3. 解:(分离常数法)y=- ，∵ ≠0, ∴y≠- .故函数的值域是{y|y∈R,且y≠- }.反函数法也可 过关检测 1.B;2.B;3.D;4.C;5.B;6. ［3，+∞）；7. a≤0； 8.解 （1）要使函数有意义，则只需要： 解得-3＜x＜0或2＜x＜3. 故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3). (2)∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴ ≤2x≤2. ∴函数y=f(log2x)中 ≤log2x≤2.即log2 ≤log2x≤log24,∴ ≤x≤4. 故函数f(log2x)的定义域为［ ，4］ 9.解 （1）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）， 则可令f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a＜0,因而有 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a, ① 由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0, ② 因为方程②有两个相等的根， ∴Δ=［-（2+4a）］2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=- . 由于a＜0,舍去a=1.将a=- 代入①式，得f(x)的解析式为 f(x)=- x2- x- . （2）由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a , 及a＜0，可得f(x)的最大值为- 由 解得a＜-2- 或-2+ ＜a＜0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是 (-∞,-2- )∪(-2+ ,0). 10.（1）解 ≤g(x),即log2(x+1)≤log4(3x+1)  解得0≤x≤1，所以D=［0，1］. （2）解 H（x）=g（x）- f -1(x) =log4(3x+1)- log2(x+1) = log2 = 由0≤x≤1，得1≤3- ≤2,所以0≤log2 ≤1， 因此函数H（x)的值域为