第六章 函数插值 §3 差商、牛顿插值公式 拉格朗日插值公式的缺点：当增加一个节点时，不仅要增加项数，而且以前各项也必须重新全部计算，不能利用已有的结果。为克服这一缺点，给大家介绍另一种形式——牛顿插值公式。 以抛物线插值为例： 设 i = 0, 1, 2 也可以将P2 (x)写成： 令x = x0，由插值条件（2.2），有 令x = x1，由（2.2），有 解得： 最后，由 得 我们看到，系数表示有明显的规律性。为了把这一规律具体化，写出牛顿插值公式，我们引进差商的概念。 1．差商的定义 定义1：设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等的x0, x1,…, xn （即在i j时，x i xj），的值 ，称 （2.12） 为f (x)在点xi , xi处的一阶差商，并记作f [xi , xj]，例如： 又称 为f (x)在点xi, xj, xk处的二阶差商，如 一般，称 （2.13） 为f (x)在点x0, x1,…, xn处的n阶差商。差商表： xi yi 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 x0 f (x0) x1 f (x1) f [x0, x1] x2 f (x2) f [x1, x2] f [x0, x1, x2] x3 f (x3) f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3] x4 f (x4) f [x3, x4] f [x2, x3, x4] f [x1, x2, x3, x4] f [x0,…, x4] 由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。 2．牛顿插值公式 由差商定义可知 下面推导 阶牛顿插值公式 由差商定义： （2.14） 将（2.14）式子中第二个式子两端乘以（x – x0），第三个式子两端乘以(x – x0)(x – x1)，…余者类推，在最后一个式子两端乘以(x – x0)(x – x1)，… (x - xn)，并将全部式子加起来有 （2.16） 记 （2.17） 则 其中Nn (x) 称为n次牛顿插值多项式，Rn (x) 是截断误差。 显然，Nn (x)是代数多项式。现在我们证明Nn (x)满足插值条件 i = 0, 1, 2,…, n 事实上，在（2.16）中，取x = x0，由于（2.16）右边从第二项起全为零，所以 在（2.16）中，取x = x1，由于（2.16）右边从第三项起全为零，所以 把x = x1，代入等式（2.15）有 即Nn (x1)与f (x1)有相同的表达式，故 依次类推，可得 i = 0, 1,…, n – 1 再在（2.16）中取x = xn 把x = xn代入等式（2.15），也有 因此有 这就证明了Nn (x)满足插值条件，说明Nn (x) 是f(x) 的插值多项式。 牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，只要再增加一项就行了，即有递推式。 当然，与拉格朗日插值相比它还有节省运算次数的优点（尤其是节省乘法运算次数）。 对于节点为x0, x1,…, xn的n次插值多项式，拉格朗日余项为（假定f (x)是n + 1次连续可微） 其中 ， 。牛顿余项为 由于无论拉格朗日插值多项式或牛顿插值多项式，都代表f (x)在点x0, x1,…, xn插值的唯一n次代数插值多项式，只是书写形式不同，所以拉格朗日余项与牛顿余项是相等的，即 （2.17） （2.17）是差商的一个性质，即差商与导数的关系公式。 【例】已知x = 0, 2, 3, 5，对应的函数值为y = 1, 3, 2, 5，作三次牛顿插值多项式 【解】作差商表 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 如已知x = 0, 2, 3, 5, 6时，对应的函数值为y = 1, 3, 2, 5, 6（即增加了一个点），作差商表 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 6 6 1 -1/6 -1/4 -11/120 四次牛顿插值多项式为 §3 差商、牛顿插值公式
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