2010年高考数学题分类汇编（5）三角函数

2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编 2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编 第5部分:三角函数 一、选择题: 1．（2010年高考天津卷文科8） 为了得到这个函数的图象，只要将 的图象上所有的点 (A)向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 (D) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】由给出的三角函数图象知，A=1， ，解得 ，又 ， 所以 ，即原函数解析式为 ，所以只要将 的图象上所有的点先向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变即可得到函数 的图象，选A。 【命题意图】本题考查正弦型三角函数的图象变换、考查正弦型三角函数解析式的求法，考查识图能力。 2．（2010年高考福建卷文科2）计算 的结果等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】原式= ,故选B. 【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值. 3．（2010年高考福建卷文科10）将函数 的图像向左平移 个单位。若所得图象与原图象重合，则 的值不可能等于 A.4 B.6 C.8 D.12 【答案】B 【解析】因为将函数 的图像向左平移 个单位。若所得图象与原图象重合，所以 是已知函数周期的整数倍，即 ，解得 ，故选B。 【命题意图】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识。 4．(2010年高考北京卷文科7)某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为 （A） ； （B） （C） （D） 答案A 【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.[来源:学科网ZXXK] 5．(2010年高考江西卷文科6)函数 的值域为 A． B． C． D． 【答案】C 【命题意图】考察换元的数学思想，及二次函数的图像性质 【解析】令 则 ，问题化为求函数 的值域。由 ，结合二次函数图像得原函数的值域 。 6．(2010年高考江西卷文科12)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 ， 的图像如下，结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是 【答案】C 【命题意图】考查三角函数的图像与性质. 【解析】作出三个函数图像对比分析即可选择C。 7．（2010年高考上海卷文科16）“ ”是“ ”成立的 （ ） （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件. 解析： ，所以充分；但反之不成立，如 8．（2010年高考上海卷文科18）若△ 的三个内角满足 ，则△ （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由 及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得 ，所以角C为钝角 9．（2010年高考辽宁卷文科6）设 ,函数 的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则 的最小值是 （A） （B） （C） （D） 3 解析：选C.由已知，周期 10. (2010年高考宁夏卷文科6)如图，质点 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为 （ ， ），角速度为1，那么点 到 轴距离 关于时间 的函数图像大致为 【答案】C 解析：显然，当 时，由已知得 ，故排除A、D，又因为质点是按逆时针方向转动，随时间 的变化质点P到 轴的距离 先减小，再排除B，即得C． 另解：根据已知条件得 ，再结合已知得质点P到 轴的距离 关于时间 的函数为 ，画图得C． 11. (2010年高考宁夏卷文科10)若 = - ，a是第一象限的角，则 = （A）- （B） （C） （D） 【答案】A 解析：由已知得 ，所以 。 12．（2010年高考重庆卷文科6）下列函数中，周期为 ，且在 上为减函数的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】C、D中函数周期为2 ，所以错误 当 时， ，函数 为减函数 而函数 为增函数，所以选A 13．（2010年高考陕西卷文科3）函数f (x)=2sinxcosx是 [C] (A)最小正周期为2π的奇函数 （B）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数 【答案】C 【解析】因为f (x)=2sinxcosx=sin2x，所以它的最小正周期为π，且为奇函数，选C。 14．（2010年高考湖北卷文科2）函数f(x)= 的最小正周期为 A. B.x C.2 D.4 【 答案】D 【解 析】由T=| |=4π，故D正确. 15．（2010年高考湖南卷文科7）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c= a，则 A.a＞b B.a＜b C. a＝b D.a与b的大小关系不能确定 【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。 16．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科1） (A) (B)- (C) (D) C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 17．（2010年高考全国卷Ⅱ文科3）已知 ，则 （A） （B） （C） （D） 【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ sina=2/3， ∴ 18．（2010年高考四川卷文科7）将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是高^考#资*源^网 （A） （B） （C） （D） 解析：将函数 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－ )w_w w. k#s5_u.c o*m 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 . 答案：C 二、填空题： 1．（2010年高考山东卷文科15）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， , ,则角A的大小为 . 【答案】 【解析】由 得 ，即 ，因为 ，所以 ，又因为 ， ，所以在 中，由正弦定理得： ，解得 ，又 ，所以 ，所以 。 【命题意图】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力，属于中档题。 2．（2010年高考福建卷文科16）观察下列等式： ① cos2a=2 -1; ② cos4a=8 - 8 + 1; ③ cos6a=32 - 48 + 18 - 1; ④ cos8a=128 - 256 + 160 - 32 + 1; ⑤ cos10a= m - 1280 + 1120 + n + p - 1. 可以推测，m – n + p = . 【答案】962 【解析】因为 所以 ；观察可得 ， ，所以m – n + p =962。 【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。 3．(2010年高考北京卷文科10)在 中。若 ， ， ，则a= 。 4. (2010年高考浙江卷文科12)函数 的最小正周期是 。 解析：对解析式进行降幂扩角，转化为 ，可知其最小正周期为 ，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。 5． (2010年高考宁夏卷文科16)在 中，D为BC边上一点， , , .若 ,则BD=_____ 【答案】 解析：设 ，在 和 中分别用余弦定理可解得． 6．（2010年高考广东卷文科13）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b= ，A+C=2B，则sinA= . w_w w. k#s5_u.c o*m 7．（2010年高考重庆卷文科15）如 题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条 封闭曲线 ，各段弧所在的圆经过同一点 （点 不在 上）且半径相等. 设第 段弧所对的圆心角为 ，则 ____________ . 【答案】 【解析】 又 ，所以 . 8．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科14）已知 为第二象限的角， ,则 . 14. 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为HYPERLINK " http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 为第二象限的角,又 , 所以 ， ,所 9．（2010年高考全国卷Ⅱ文科13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则cosα=__________ 【解析】 ：本题考查了同角三角函数的基础知识 ∵ ，∴ 三、解答题： 1．（2010年高考山东卷文科17）（本小题满分12分） 已知函数 （ ）的最小正周期为 ， （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）将函数 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到 函数 的图像，求函数 在区间 上的最小值. 【命题意图】本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力。 【解析】 因此 1 g（x） ，故 g（x）在此区间内的最小值为1. 2．（2010年高考天津卷文科17）（本小题满分12分） 在 ABC中， 。 （Ⅰ） 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 B=C： （Ⅱ）若 =- ，求sin 的值。 【命题意图】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力. 【解析】（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得 = .于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为 ，从而B-C=0. 所以B=C. （Ⅱ）解：由A+B+C= 和（Ⅰ）得A= -2B,故cos2B=-cos（ -2B）=-cosA= . 又0<2B< ,于是sin2B= HYPERLINK "http://www.ks5u.com/shiti/gaokao/2010/" EMBED Equation.DSMT4 = . 从而sin4B=2sin2Bcos2B= ，cos4B= . 所以 HYPERLINK "http://www.ks5u.com/shiti/gaokao/2010/" EMBED Equation.DSMT4 。 3．（2010年高考福建卷文科21）(本小题满分12分) 某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 北偏西30°且与该港口相距20海里的 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？[来源:学科网ZXXK] (Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；[来源:学科网Z(Ⅲ)是否存在 ，使得小艇以 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 的取值范围；若不存在，请说明理由。 4．(2010年高考北京卷文科15)（本小题共13分） 已知函数 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的最大值和最小值 解：（Ⅰ） = （Ⅱ） [来源:学_科_网] 因为 ,所以，当 时 取最大值2；当 时， 去最小值-1。 5．(2010年高考江西卷文科19)（本小题满分12分） 已知函数 ． （1）若 ，求 ； （2）若 ，求 的取值范围． 【答案】解：（1） ， 由 得 ， ， 所以 ． （2）由（1）得 ， 由 得 ，所以 ， 从而 ． 6. (2010年高考浙江卷文科18)（本题满分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足 。 （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求 的最大值。 解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力。 (Ⅰ)解：由题意可知 absinC= ,2abcosC. 所以tanC= . 因为0