2009全国高中数学联赛试题及答案

2009年全国高中数学联合竞赛一试 2009年全国高中数学联合竞赛一试 试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 及评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分） 1．​ 若函数 且 ，则 ． 【答案】​  1【解析】​  ， …… ． 故 ． 2．​ 已知直线 和圆 ，点 在直线 上， ， 为圆 上两点，在 中， ， 过圆心 ，则点 横坐标范围为 ． 【答案】​  1【解析】​ 设 ，则圆心 到直线 的距离 ，由直线 与圆 相交，得 ． 解得 ． 3．​ 在坐标平面上有两个区域 和 ， 为 ， 是随 变化的区域，它由不等式 所确定， 的取值范围是 ，则 和 的公共面积是函数 ． 【答案】​  2【解析】​ 由题意知 4．​ 使不等式 对一切正整数 都成立的最小正整数 的值为 ． 【答案】​  3【解析】​ 设 ．显然 单调递减，则由 的最大值 ，可得 ． 5．​ 椭圆 上任意两点 ， ，若 ，则乘积 的最小值为 ． 【答案】​  4【解析】​ 设 ， ． 由 ， 在椭圆上，有 ① ② 得 ． 于是当 时， 达到最小值 ． 6．​ 若方程 仅有一个实根，那么 的取值范围是 ． 【答案】​  或 5【解析】​  当且仅当 ① ② ③ 对③由求根公式得 ， ④ 或 ． (ⅰ)当 时，由③得 所以 ， 同为负根． 又由④知 所以原方程有一个解 ． (ⅱ)当 时，原方程有一个解 ． (ⅲ)当 时，由③得 所以 ， 同为正根，且 ，不合题意，舍去． 综上可得 或 为所求． 7．​ 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 【答案】​  6【解析】​ 易知： (ⅰ)该数表共有100行； (ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为 ， ， ，…， (ⅲ) 为所求． 设第 行的第一个数为 ，则 …… 故 ． 8．​ 某车站每天 ， 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率 一旅客 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 【答案】​ 27 7【解析】​ 旅客候车的分布列为 候车时间（分） 10 30 50 70 90 概率 候车时间的数学期望为 二、解答题 1．​ （本小题满分14分）设直线 （其中 ， 为整数）与椭圆 交于不同两点 ， ，与双曲线 交于不同两点 ， ，问是否存在直线 ，使得向量 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 1【解析】​ 由 消去 化简整理得 设 ， ，则 ① ………………………………………………4分 由 消去 化简整理得 设 ， ，则 ② ………………………………………………8分 因为 ，所以 ，此时 ．由 得 ． 所以 或 ．由上式解得 或 ．当 时，由①和②得 ．因 是整数，所以 的值为 ， ， ， ， ， ， ．当 ，由①和②得 ．因 是整数，所以 ， ， ．于是满足条件的直线共有9条．………14分 2．​ （本小题15分）已知 ， 是实数，方程 有两个实根 ， ，数列 满足 ， ， (Ⅰ)求数列 的通项公式（用 ， 表示）； (Ⅱ)若 ， ，求 的前 项和． 2【解析】​ 方法一： (Ⅰ)由韦达定理知 ，又 ，所以 ， 整理得 令 ，则 ．所以 是公比为 的等比数列． 数列 的首项为： ． 所以 ，即 ．所以 ． ①当 时， ， ， 变为 ．整理得， ， ．所以，数列 成公差为 的等差数列，其首项为 ．所以 ． 于是数列 的通项公式为 ；……………………………………………………………………………5分 ②当 时， ， ． 整理得 ， ． 所以，数列 成公比为 的等比数列，其首项为 ．所以 ． 于是数列 的通项公式为 ．………………………………………………10分 (Ⅱ)若 ， ，则 ，此时 ．由第(Ⅰ)步的结果得，数列 的通项公式为 ，所以， 的前 项和为 以上两式相减，整理得 所以 ．……………………………………………………………………………15分 方法二： (Ⅰ)由韦达定理知 ，又 ，所以 ， ． 特征方程 的两个根为 ， ． ①当 时，通项 由 ， 得 解得 ．故 ．……………………………………………………5分 ②当 时，通项 ．由 ， 得 解得 ， ．故 ．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一． 3．​ （本小题满分15分）求函数 的最大和最小值． 3【解析】​ 函数的定义域为 .因为 当 时等号成立．故 的最小值为 ．……………………………………………5分 又由柯西不等式得 所以 ． ………………………………………………………………………………10分 由柯西不等式等号成立的条件，得 ，解得 ．故当 时等号成立．因此 的最大值为 ．…………………………………………………………………………………15分 2009年全国高中数学联合竞赛加试 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 参考答案及评分标准（A卷） 说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分） 9．​ 如图， ， 分别为锐角三角形 （ ）的外接圆 上弧 、 的中点．过点 作 交圆 于 点， 为 的内心，连接 并延长交圆 于 ． ⑴求证： ； ⑵在弧 （不含点 ）上任取一点 （ ， ， ），记 ， 的内心分别为 ， ， 求证： ， ， ， 四点共圆． 1【解析】​ ⑴连 ， ．由于 ， ， ， ， 共圆，故 是等腰梯形．因此 ， ． 连 ， ，则 与 交于 ，因为 ， 所以 ．同理 ． 于是 ， ． 故四边形 为平行四边形．因此 （同底，等高）． 又 ， ， ， 四点共圆，故 ，由三角形面积公式 于是 ． ⑵因为 ， 所以 ，同理 ．由 得 ． 由⑴所证 ， ，故 ． 又因 ， 有 ． 故 ，从而 ． 因此 ， ， ， 四点共圆． 10．​ 求证不等式： ， ，2，… 1【解析】​ 证明：首先证明一个不等式： ⑴ ， ． 事实上，令 ， ． 则对 ， ， ． 于是 ， ． 在⑴中取 得 ⑵ ． 令 ，则 ， 因此 ． 又因为 ． 从而 ． 11．​ 设 ， 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数 ，使得 与 互素． 8【解析】​ 证法一：对任意正整数 ，令 ．我们证明 ． 设 是 的任一素因子，只要证明： ． 若 ，则由 ． 及 ，且 ，知 且 ．从而 ． 证法二：对任意正整数 ，令 ，我们证明 ． 设 是 的任一素因子，只要证明： ． 若 ，则由 ． 即 不整除上式，故 ． 若 ，设 使 ，但 ． ．故由 及 ，且 ，知 且 ．从而 ． 12．​ 在非负数构成的 数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1， ， ， ， ， ， ， 均大于．如果 的前三列构成的数表 满足下面的性质 ：对于数表 中的任意一列 （ ，2，…，9）均存在某个 使得 ⑶ ． 求证： （ⅰ）最小值 ， ，2，3一定自数表 的不同列． （ⅱ）存在数表 中唯一的一列 ， ，2，3使得 数表 仍然具有性质 ． 9【解析】​ （ⅰ）假设最小值 ， ，2，3不是取自数表 的不同列．则存在一列不含任何 ．不妨设 ， ，2，3．由于数表 中同一行中的任何两个元素都不等，于是 ， ，2，3．另一方面，由于数表 具有性质 ，在⑶中取 ，则存在某个 使得 ．矛盾． （ⅱ）由抽届原理知 ， ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设 ， ． 由前面的结论知数表 的第一列一定含有某个 ，所以只能是 ．同样，第二列中也必含某个 ， ，2．不妨设 ．于是 ，即 是数表 中的对角线上数字． 记 ，令集合 ． 显然 且1，2 ．因为 ， ， ，所以 ． 故 ．于是存在 使得 ．显然， ，2，3． 下面证明 数表 具有性质 ． 从上面的选法可知 ， ．这说明 ， ． 又由 满足性质 ．在⑶中取 ，推得 ，于是 ．下证对任意的 ，存在某个 ，2，3使得 ．假若不然，则 ， ，3且 ．这与 的最大性矛盾．因此，数表 满足性质 ． 下证唯一性．设有 使得数表 具有性质 ，不失一般性，我们假定 ⑷ ． 由于 ， 及（ⅰ），有 ．又由（ⅰ）知：或者 ，或者 ． 如果 成立，由数表 具有性质 ，则 ， ⑸ ， ． 由数表 满足性质 ，则对于 至少存在一个 使得 ．由 及⑷和⑹式知， ， ．于是只能有 ．类似地，由 满足性质 及 可推得 ．从而 ．