null第4章 随机向量第4章 随机向量二维随机向量及其分布
二维离散型随机向量
二维连续型随机向量
边缘分布
随机变量的相互独立性
条件分布
随机变量函数的分布§4.1 二维随机向量及其分布§4.1 二维随机向量及其分布定义1 设ξ1(ω)，ξ2(ω)，…，ξn(ω)是定义在样本空间Ω上的随机变量，则 n维向量(ξ1(ω)，ξ2(ω)，…，ξn(ω))称为Ω 上的n维随机向量或n维随机变量。nullξi(ω) (i=1,2, …,n) 称为第i个分量（或坐标）
(ξ1(ω)，ξ2(ω)，…，ξn(ω))简记为 (ξ1，ξ2，…，ξn)联合分布函数联合分布函数定义２ 设(ξ,η)是二维随机变量，对任意实数x、y，函数F(x,y) =P{ξ
0,σ2 >0, ∣r∣<1 ，称为二元正态分布密度函数。我们可以证明：null 例2 设二维连续型随机变量(ξ,η)的分布函数为
F(x,y)=(A+Barctanx)(C+arctany)
（１）求常数Ａ，Ｂ，Ｃ；
（２）求(ξ,η)的分布密度；
（３）D={(x,y):x－y>0,x≤1} ，求 P{(ξ,η)∈D}。null 解 （１）由二维分布函数性质，得由以上三式可得到null （２） (ξ,η)的分布密度null （３） null例3 已知二维随机向量（ξ，η）的密度为 试确定k的数值，并求(ξ,η)落在区域D={(x，y)|x2≤y≤x，0≤x≤1｝的概率。null解 由概率密度性质，知 nullnull二维均匀分布为密度函数的随机向量(ξ,η)服从二维均匀分布。其中SD为平面区域D的面积。 null§4.4 边缘分布定义1：对随机向量(ξ,η)，若已知其联合分布，则ξ或η的概率分布称为它的边缘分布。定义2：随机向量(ξ,η)分量ξ、η的分布函数称为(ξ,η)关于ξ、η的边缘分布函数。null 设(ξ,η)的分布函数为F(x,y) ，则(ξ,η)关于ξ的边缘分布函数为 由上述可知，Fξ(x)、Fη(y)由F(x,y)唯一确定，但其逆并不一定成立。同理离散型的边缘分布律离散型的边缘分布律 二维离散型随机向量(ξ,η)的分量ξ、η都是一维离散型随机变量，ξ、η的分布律分别称为(ξ,η)关于ξ、η的边缘分布律。null 设(ξ,η)的联合分布律为P{ξ=xi , η=yj}= pij (i,j=1,2, …) ，则(ξ,η)关于ξ的边缘分布律有nullnull 简记为 同理， (ξ,η)关于η的分布律为null 例１ 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：null表１ 有放回抽样的分布律 η11010
ξnull η11010
ξ表２ 不放回抽样的分布连续型的边缘分布密度函数连续型的边缘分布密度函数 设连续型随机变量(ξ,η)的密度函数为φ(x,y)，则(ξ,η)关于ξ的边缘分布函数Fξ(x)有其分量ξ是一维连续型随机变量，且ξ的分布密度为null 分别称为随机变量(ξ,η)关于ξ，η的边缘分布密度。同理，null 例２ 设(ξ,η)在椭圆 所围成的区域上服从均匀分布。即其联合密度为求它的边缘密度。null 解 (1)当︱x︱>a时，(2)当︱x︱≤a时，nullnull同理，可得关于η的边缘密度null 例３ 设 (ξ,η)服从二维正态分布，其联合分布密度为求边缘分布密度。证明：null证：null则null同理:其中用到：§4.5 随机变量的相互独立性§4.5 随机变量的相互独立性 定义 F(x,y)及Fξ(x)、Fη(y) 分别是(ξ,η)的联合分布函数及边缘分布函数，若对任意实数x、y有F(x,y)= Fξ(x) ·Fη(y) 即则称随机变量ξ、η是相互独立。null 定理１ 设(ξ,η)是二维连续型随机变量，φ(x,y)及φξ(x)、φη(y)分别是(ξ,η)的联合分布密度及边缘分布密度，则ξ、η相互独立的充要条件是：对任意点(x,y)，有
φ(x,y)=φξ(x) ·φη(y)null证明null若ξ，η相互独立，即有 此式的两边对x及y求导，便可得到null定理２ 设(ξ,η)是二维离散型随机变量，则ξ、η相互独立的充要条件是：对(ξ,η)的任意一组可能值(xi,yj)有 即 null证明 只证充分性null即ξ，η相互独立，这就证明了条件的充分性。必要性的证明复杂一些，证明略。null解表１ 有放回抽样的分布律 例1 检验§4.4中例１有放回抽样和无放回抽样条件下，ξ、η边缘分布的独立性。（p36）p56null从表１知：pij=pi.pj. i,j=1,2
所以， ξ，η相互独立。null η11010
ξ表２ 不放回抽样的分布 从表２知： 所以，ξ，η不相互独立。null例2 检验§4.4例２中ξ、η边缘分布的独立性。（p41）解 显然，
所以，ξ，η不相互独立。p59null例3 (ξ,η)服从
参数
转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应
为μ1，μ2，σ1，σ2，r的二元正态分布,证明ξ、η相互独立的充要条件是r＝0。null证 因为， 充分性 若r=0 ，则对任意实数x，y有 即ξ、η相互独立。null 必要性 若ξ、η相互独立，则对任意实数x，y有取x=μ1，y=μ2时上式也成立，此时上式化为从而得到r=0。null 例4 在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的。若收到两个相互独立的信号的时间间隔小于０.５秒，则信号相互干扰。求：两信号相互干扰的概率。解 把一分钟取作区间[0，1]，设两信号进入收音机的时刻分别为ξ、η（单位：分）nullξ、η相互独立，所以(ξ,η)的联合分布密度如下：nullDnull 相互独立的概念可以推广到多于两个随机变量的情形。
(1) n个随机变量ξ1,ξ2,…,ξn相互独立，就是说，对任意个实数x1,x2,…,xn
有null(2) 一系列随机变量ξ1,ξ2,…,ξn ,…相互独立，就是指，对于任意有限个自然数k1,k2,…,kn有 ξk1,ξ k2,…,ξkn相互独立；
定理１和定理２也可以推广到多于两个随机变量的情形。§4.6 条件分布§4.6 条件分布对于离散型随机向量，当p.j>0时，称为η=yj条件下ξ的条件分布律。离散型随机变量的条件分布null当pi.>0时，在ξ=xi条件下η的条件分布律类似地null 例1 在整数1~5中任取一数ξ，
(1)取ξ后放回去再取另一数η。
(2)取ξ后不放回去再取另一数η。
在这两种情况下分别求(ξ,η)的联合分布律、边缘分布律、P{ξ∣η=2}。null解 nullnullnull连续型随机变量的条件分布nullnull类似地，η的条件分布函数及条件密度函数为null综上所述null 例2设(ξ,η)的密度函数为null解nullnullnullnull例3解nullnull由此可知null由此可知§4.7 随机向量函数的分布§4.7 随机向量函数的分布离散型随机向量和函数的分布 设 (ξ,η)的布律为P{ξ=i,η=j}=pij
（i=0，1，2，…; j=0，1，2，…） 令ζ=ξ+η
则ζ取值为0,1,2, …,nullnull特别地，当ξ,η独立时，有故null 例1 解ξ~P(λ1),η~P(λ2)，且ξ,η相互独立。求ζ＝ ξ＋η的分布。null∴ζ~P(λ1+λ2)null 例2 解null连续型随机向量和函数的分布设(ξ,η)的联合密度为f(x,y)令ζ=ξ+ηnull卷积公式null也可表为：卷积公式null 例3设ξ,η是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，求ζ＝ ξ＋η的密度函数。 解null∴ζ～N(0,2)null进一步可推导出：null商的分布null证明：null补充：证明：null作业：3、5、8、10、1510
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
P{X1, X2=0}=1改为：P{X1·X2=0}=1null第四章5、 1(x,y)stnull 1(x,y)null 1(x,y)null1(x,y)null1(x,y)null1(x,y)
浙公网安备 33021202002483