二次函数的最值及不等式
知识结构
一、二次函数的最值
定义:设函数
,如果存在
,使得对任意的
,总有
,则称函数
在
处取得最大值
;如果存在
,使得对任意的
,总有
,则称函数
在
处取得最小值
.
1.对二次函数
,当
时,在
处取得最小值
;当
时,在在
处取得最大值
.
2.对二次函数
,由图象可知,在任何闭区间上,函数既有最大值,也有最小值.
当
时,分以下几种情况:
(1)当
时,二次函数
在
处取得最大值
,在
处取得最小值
.
(2)当
时,二次函数
在
处取得最小值;如果
,函数在
处取得最大值
,如果
,函数在
处取得最大值
.
(3)当
时,二次函数
在
处取得最小值
,在
处取得最大值.
当
时,可类似地讨论.
注:二次函数
在闭区间上的最大值或最小值只能在
处或闭区间的两个端点处取得.从图象来看,当
时,离顶点越远的点处
值越大,离顶点越近的点(包括顶点本身)处
值越小;当
时,离顶点越远的点处
值越小,离顶点越近的点(包括顶点本身)处
值越大.
二、二次函数与不等式
二次函数中与不等式联系的主要
知识点
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有:
(1)二次方程有实根时,△≥0;无实根时△<0.
(2)二次函数f(x)>0对一切x ( R恒成立(开口向上)或f(x)<0对一切x ( R恒成立(开口向下),则△<0.
(3)二次函数单调性、最值的运用.
(4)二次方程实根分布中,两根和、积的范围,端点函数值的正负,对称轴的范围等.
(5)二次函数与绝对值不等式的结合.
例题
例1 求
在[–2,2]上的最大值和最小值.
实练1 求
的最大值和最小值.
例2 求
的最大值与最小值.
实练2 求函数
的最大值或最小值.
例3 求
的最大值和最小值.
实练4 求函数
的值域.
例5 已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象过(-1,0),是否存在常数a,b,c,使不等式x≤f(x)≤ EQ \F(1,2) (1+x2)对一切实数x均成立?证明你的结论(
实练5 二次函数
满足
且
.
(1) 求
的解析式;
(2) 在区间[-1, 1]上,
的图象恒在
的图象上方,试确定实数
的范围.
例6 已知二次函数
,当
时,有
,求证:当
时,有
.
实练6 已知函数f(x)=ax2-bx+c(其中a>0, b,c ( R),且f(x)=0在x ( (0,1)内有两异实根(
(1) 证明:b>2c且a>c;
(2) 证明:f(0)·f(1)< EQ \F(a2,16) .
例7 已知二次函数f (x( = ax2 + bx + 1 (a, b ( R,a > 0(,设方程f (x( = x的两个实根为x1、x2.
(1( 如果x1 < 2 < x2 < 4,设函数f (x(的对称轴为x = x0,求证:x0 > -1;
(2( 如果|x1| < 2,|x2-x1| = 2,求b的范围.
实练7 已知二次函数f (x( = ax2 + bx + c和一次函数g(x( = -bx,其中a, b, c满足a > b > c,a + b + c = 0 (a, b, c ( R(
(1( 求证:两函数的图象交于不同两点A、B;
(2) 求证:方程f(x)(g(x)=0的两根都小于2.
(3( 求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.
例8 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两根x1,x2满足0
2.
(1) 求证:x1,x2是方程f[f(x)]= x的两个根;
(2) 若四次方程f[f(x)]= x的另两个根为x3,x4且x3>x4,试判断x1,x2,x3,x4的大小.
例9 已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.
(1) 证明:|c|≤1;
(2) 证明:当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2;
(3) 设a>0, 当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).
实练9 已知函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c ( R),当x ( [-1,1]时,|f(x)|≤1.
(I) 证明:|b|≤1;
(II) 设g(x)=cx2+bx+a,证明:当x ( [-1,1]时,|g(x)|≤2;
(III) 若f(0)=-1, f(1)=1,求实数a的值.
练习题
1.求下列函数的最大值和最小值.
(1)
;
(2)
;
(3)y = 2x-5+ EQ \R(15-4x) .
2.求
在区间[0,1]上的最大值和最小值.
3.已知当
时,
恒为正,求实数
的取值范围.
4.若f(x)=ax2+bx+c(a,b,c ( R)在区间[0,1]上恒有|f(x)|≤1.
(1)对所有这样的f(x),求|a|+|b|+|c|的最大值;
(2)试给出一个这样的f(x), 使|a|+|b|+|c|确实取到上述最大值(
5.设正系数一元二次方程
有实根.证明:
(1) min{a,b,c}≤
.
(2) max{a,b,c}≥
;
6.设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c ( R, a≠0)满足条件: (1) 当x ( R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; (2) 当x ( (0,2)时,f(x)≤( EQ \F(x+1,2) )2; (3) f(x)在R上的最小值为0. 求最大的m(m>1),使得存在t ( R,只要x ( [1,m],就有f(x+t)≤x.
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