null§8.2 偏 导 数§8.2 偏 导 数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数上页下页铃结束返回首页一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法 类似地, 可定义函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.偏导数的定义 下页 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 若极限存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数
记作 >>>null下页一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义 偏导数的符号 如果函数zf(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么f(x, y)对x的偏导数是x、y的函数, 这个函数称为函数zf(x, y)对x的偏导函数(简称偏导数), 记作偏导函数null下页一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义 偏导数的符号 偏导函数偏导函数的符号 >>>null下页偏导函数 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数
例如 三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 null偏导数的求法
求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看作常数, 然后按一元函数求导法求导即可. 下页偏导函数讨论
下列求偏导数的
方法
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是否正确？null 例1 求zx23xyy2在点(1, 2)处的偏导数. 解 例2 求zx2sin2y的偏导数. 解 下页null 解 证 下页null 证 本例说明一个问
题
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: 偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商. 下页null下页偏导数的几何意义 fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x fy(x0, y0)=[ f(x0, y)]y z=f(x, y0) z=f(x0, y) 是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx对x轴的斜率. 是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty对y轴的斜率. null偏导数的几何意义 fx(x0, y0)=[ f(x, y0)]x fy(x0, y0)=[ f(x0, y)]y 是截线z=f(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx对x轴的斜率. 是截线z=f(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty对y轴的斜率. 下页null偏导数与连续性
对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如首页但函数在点(0, 0)并不连续.在点(0, 0), 有fx(0, 0)0, fy(0, 0)0, 提示：
提示：
因此 函数f(x y)在(0 0)的极限不存在 当然也不连续 二、高阶偏导数二、高阶偏导数二阶偏导数 如果函数zf(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数zf(x, y)的二阶偏导数.
函数zf(x, y)的二阶偏导数有四个:其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数. 类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.下页null 解 此例中两个混合偏导数是相等的. 下页null下页 解 null 证 下页null 证 提示
下页null结束 证
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