可交换矩阵浅析

2009 年 《和田师范专科学校学报》（汉文综合版） Jul.2009 第 28 卷第四期 总第 60 期 199 可交换矩阵浅析 李瑞娟 张厚超 （平顶山学院数学与信息科学学院 河南平顶山 467000） [摘 要]本文从交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究， 对可交换矩阵做了深入的探讨，归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 了矩阵可交换的充分条件、充要条件以 及可交换矩阵的一些性质及特殊的求法。 [关键词]矩阵；可交换；可交换矩阵 1.预备知识 定义 1.1 若同阶方阵 ,A B 有 AB BA= ，则称方阵 A 与 B 为可 交换阵。 定义1.2若 n 阶方阵A= ( ija )n n× 中元素满足 ija =0，i j≠ ， i 、 j =1,2, ,nL ，称 A 为 n 阶对角阵，记 A= 11 nn a a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ O 。 定义 1.3 在 n 阶对角阵 A 中，若 11a = 22a =⋯= nna =λ ， λ R∈ ，称此时的 A 为数量阵。记 A =λ E ，其中 E 为 n 阶单位阵。 定义 1.4 若 n 阶方阵 A 满足 A A′ = ，其中 A′为 A 的转置阵， 则称 A 为对称阵。 定义 1.5 若 n 阶方阵 A= ( ija )n n× 满足 A′− = A，即 ija = - jia ( ,i j =1, 2, , nL ) ，其中 A′为 A 的转置阵，则称 A 为反对称阵。 定义 1.6 若同阶方阵 ,A B 满足 AB BA= E= ，其中 E 为同阶 单位阵，则称 A 与 B 为互逆方阵，记逆阵 1A− = B ， 1B− = A 。 定义 1.7 若 n 阶方阵 A 满足 A A AA E′ ′= = ，其中 E 为 n 阶单 位阵，则称 A 为 n 阶正交矩阵。 2.矩阵可交换的几个充分条件 定理 2.1①设 ,A B 至少有一个为零矩阵，则 ,A B 可交换； ②设 ,A B 至少有一个为数量矩阵，则 ,A B 可交换； ③设 ,A B 均为对角矩阵，则 ,A B 可交换； ④设 ,A B 均为准对角矩阵，则 ,A B 可交换； ⑤设 A∗是 A 的伴随矩阵，则 A 与 A∗可交换； ⑥设 AB E= ，则 ,A B 可交换。 证明：①对任意矩阵 A，均有： AO OA= ，O 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示零矩阵； ②对任意矩阵 A，均有： ( ) ( )A kE kE A= ，k 为任意实数；③，④ 显然成立[2]；⑤ AA A A A E∗ ∗= = ；⑥当 AB E= 时， ,A B 均 可逆，且互为逆矩阵。 定理 2.2①设 AB A Bα β= + ，其中 ,α β 为非零实数，则 ,A B 可交换； ②设 mA AB Eα+ = ，其中 m 为正整数，α 为非零实数，则 ,A B 可交换。 证明：①由 AB A Bα β= + 得 ( )( )A E B Eβ α− − = Eαβ ，即 1 ( )( )A E B E Eβ α αβ − − = ，故依定理 2.1⑥得： 1 ( )B Eα αβ − ( )A E Eβ− = ，于是 BA A B E Eα β αβ αβ− − + = ，故 BA Aα= + B ABβ = ；②由 mA AB Eα+ = 得 1( )mA A B Eα− + = ，故依 定理 2.1⑥得 1( )mA B A Eα− + = ，于是 mA BA Eα+ = ，所以可 得 AB BA= 。 定理2.3①设A可逆，若 0AB = 或 A AB= 或 A BA= ，则 ,A B 可交换；②设 ,A B 均可逆，若对任意实数 k ，均有 ( )A A kE B= − ， 则 ,A B 可交换[3]。 证明：①若 0AB = ，由A可逆得 1 1( ) ( ) 0B A A B A AB− −= = = ， 从而 0BA = ， AB BA= ；若 A AB= ，同理得 1( )B A A B−= = 1( )A AB E− = ，故 AB BA= ；若 A = BA ，则 1( )B B AA−= = 1( )BA A E− = ， 故 AB BA= 。 ② 因 ,A B 均 可 逆 ， 故 由 ( )A A kE B= − 得 A kE− 可 逆 ， 且 1( )B A kE A−= − ， 则 ( ) ( ) ( ) [ ] 11 ( )A B A kE B A kE A B A kE A A kE −− ′′ ′⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′= − − = − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = [ ] [ ] [ ]1 12( ) ( ) ( ) ( )B A kA A kE B A kE A A kE− −′′′ ′ ′ ′− − = − − = ( )B A AB′ ′ ′= 。 两边取转置得 AB BA= 。或由 ( ) 11 1A B A kE B −− − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )11 11 1A kE A B A kE A A kE−− −− −⎡ ⎤− = − − =⎣ ⎦ 1 2 1( )B A kA− −− ( ) ( )11 1 1( )A kE B A kE A A kE B A−− − −− = − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ，两边取逆 可得 AB BA= 。 3.矩阵可交换的几个充要条件 定理 3.1 下列均是 ,A B 可交换的充要条件: ① 2 2 ( )( ) ( )( )A B A B A B A B A B− = + − = − + ； ② 2 2 2( ) 2A B A AB B± = ± + ； ③ ( )AB A B′ ′ ′= ； ④ ( )AB A B∗ ∗ ∗= ； ⑤ 1( )AB − = 1 1A B− − 。 证明 ：①由 2 2( )( )A B A B A AB BA B+ − = − + − ，及 ( )A B− 2 2( )A B A AB BA B+ = − + − 可 证 得 ； ② 由 2 2( )A B A± = ± 2AB BA B± + 证得；③分别由 , ( )AB BA AB A B′ ′ ′= = 两边取转置可证 得；④分别由 , ( )AB BA AB A B∗ ∗ ∗= = 两边取伴随可证得；⑤分别由 AB BA= ， 1( )AB − = 1 1A B− − 两边取逆可证得。 定理 3.2①设 ,A B 均为 ( 反 ) 对称矩阵，则 ,A B 可交换的充要 条件是 AB 为对称矩阵；②设 ,A B 有一为对称矩阵，另一为反对称 矩阵，则 ,A B可交换的充要条件是 AB 为反对称矩阵。 证 明 ： ① 设 ,A B 均 为 对 称 矩 阵 ， 由 定 理 3.1 ③ ， ( )AB A B AB′ ′ ′= = ，因此 AB 为对称矩阵；若 ,A B 均为反对称矩阵， 则 ( ) ( )( )AB A B A B AB′ ′ ′= = − − = ，因此 AB 也为对称矩阵，仿①可 证②。 定理 3.3 设 ,A B 均为对称正定矩阵，则 ,A B 可交换的充要条 件是 AB 为对称正定矩阵。 证明：充分性由定理 3.2①可得，下面证明必要性。 A，B 为对称正定矩阵，故有可逆矩阵 ,P Q ，使 A PP′= ， B QQ′= 。于是 AB PP QQ′ ′= ， 1 ( )( )P ABP P Q P Q− ′ ′ ′= ，所 以 1P ABP− 为对称正定矩阵，其特征值全为正数.而 AB 与 1P ABP− 相似，从而 AB 的特征值也全为正数，因此 AB 为对称正定矩阵。 4.可交换矩阵的性质 性质 4.1 n 阶数量阵 A Eλ= 与所有 n 阶方阵 B = ( ijb )n n× 可交换。 证明：因 EB BE B Eλ λ λ= = ，故 ,A B 可交换。 性质 4.2 与主对角线上的元素互不相等的 n 阶对角阵 A可交换 的矩阵 B 仍是对角阵。 证明：设 A = 1 n a a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ O ，其中 ia ≠ ja ( )i j≠ ， B = ( ijb )n n× ( , 1, 2, , )i j n= L ，因 AB BA= ，得到元素 ia · ijb = ijb · ja = ja · ijb ，( ia - ja ) ijb = 0，因 ia ≠ ja ， 2009 年 《和田师范专科学校学报》（汉文综合版） Jul.2009 第 28 卷第四期 总第 60 期 200 所以只有 ijb = 0 ( )i j≠ 。 性质 4.3 若 ,A B 可交换，且 A 是可逆的，则 1,A B− 可交换。 证明：因 AB BA= ，A 可逆， 1A− 存在，故 1 1A AB A BA− −= ， 1B A BA−= ， 1 1 1 1( )BA A BA A A B− − − −= = ，即 1,A B− 可交换。 性质 4.4 若 ,A B 可交换，且 A 是正交阵，则 ,A B′ 也可交换。 证明：因 AB BA= ，A 是正交阵，故 A BA A AB′ ′= = EB B= ， ( )BA A BA A A B′ ′ ′ ′= = ，即 ,A B′ 可交换。 性质4.5型如A= 11 12 220 a a a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 且 11a = 22a 的二阶上三角阵的 可交换阵仍是二阶上三角阵 B = 11 12 220 b b b ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 且 11b = 22b ，其中 ija ， ijb ( 1,2; 1,2)i j= = 为任意实数。 证明：因为： AB = 11 12 220 b b b ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 11 12 220 a a a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 11 11 11 12 12 11 22 220 a b a b a b a b +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ， BA = 11 12 220 b b b ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 11 12 220 a a a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 11 11 11 12 12 22 22 220 b a b a b a b a +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ， 又 11a = 22a ， 11b = 22b ，所以 AB BA= 。 性质 4.6 型如 A = 11 12 13 22 23 33 0 0 0 a a a a a a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 且 11a = 22a = 33a 的 三阶上三角阵的可交换阵仍是三阶上三角阵 B = 11 12 13 22 23 33 0 0 0 b b b b b b ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 且 11b = 22b = 33b ， 12 12 23 23 a b a b = ，其中 ija ， ijb ( 1,2,3; 1,2,3)i j= = 为任意实数。 证明：因为： AB = 11 12 13 11 12 13 22 23 22 23 33 33 0 0 0 0 0 0 a a a b b b a a b b a b ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ = 11 11 11 12 12 22 11 13 12 23 13 33 22 22 22 23 23 33 33 33 0 0 0 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 11 12 13 11 12 13 22 23 22 23 33 33 11 11 11 12 12 22 11 13 12 23 13 33 22 22 22 23 23 33 33 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b b b a a a BA b b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ + + +⎛ ⎞⎜ ⎟ = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 又 11a = 22a = 33a ， 11b = 22b = 33b 且 12 12 23 23 a b a b = ，故 AB BA= 。 性质 4.7 型如 A = a kx x a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 的二阶方阵的可交换阵为二阶方 阵 B = b ky y b ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ，其中 , , , ,a b k x y 为任意实数。 证明：因为 AB= a kx b ky x a y b ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ = ab kxy kay kbx bx ay kxy ab + +⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ， BA= b ky y b ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ a kx x a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ba kxy kbx kay ay bx kxy ba + +⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ，故 AB BA= 。 性质 4.8 型如 A= 0 0 0 0 b x b x b ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 的三阶方阵的可交换阵为三阶方阵 B= 0 0 0 0 0 0 0 k k ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ，其中 , ,b x k 为任意实数。 证明：因为 AB= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b x k b x k b ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ = 0 0 0 0 0 0 bk kx bk ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ， BA= 0 0 0 0 0 0 0 k k ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 0 0 0 0 b x b x b ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ = 0 0 0 0 0 0 bk kx bk ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ，故 AB BA= 。 当矩阵 A 已知时，我们可求得与其可交换的矩阵 B，例如: 例 1：若 A= 0 aλ λ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ，其中 ,a Rλ ∈ ，求可交换矩阵 B。 解：由性质 4.5，B= 11 12 110 x x x ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 其中 ijx ( 1; 1, 2)i j= = 为任意 实数。 例 2：若 A = 0 1 0 0 k aλ λ λ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 其中 , ,a k Rλ ∈ ，求可交换矩阵 B。 解：由性质 4.6，B = 11 12 13 11 12 11 0 0 0 x kx x x x x ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ，其中 ijx ( 1; 1,2,3)i j= = 为任意实数。 例 3：设 A = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ， A′= 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ，求所有与 A可交换的 矩阵及所有与 A′可交换的矩阵。 解：设与 A 可交换的矩阵 B = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a b b b c c c ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ia ， ib ， ic R∈ ( 1, 2,3)i = ，则： AB = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a b b b c c c ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 c c c a a a b b b ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ， BA = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a b b b c c c ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ = 2 3 1 2 3 1 2 3 1 a a a b b b c c c ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ， 由 AB BA= ，得 1c = 2a ， 2c = 3a ， 3c = 1a ， 1a = 2b ， 2a = 3b ， 3a = 1b ， 1b = 2c ， 2b = 3c ， 3b = 1c ，故与 A可交换的矩阵 B = 1 2 3 3 1 2 2 3 1 a a a a a a a a a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 。 同样可以求得与 A′可交换矩阵也是 B = 1 2 3 3 1 2 2 3 1 a a a a a a a a a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 。 此例表明， A和 A′有相同的可交换矩阵 B ，说明可交换矩阵 有许多奇妙之处.而已知矩阵，求其可交换矩阵又是一个复杂问题， 值得我们进一步深入研究。 参考文献： [1]阎家灏.线性代数[M].重庆大学出版社，1994，P40～50. [2]北京大学数学系.高等代数（第二版）[M].高等教育出版社，1988. [3]韩锦扬.矩阵乘法 AB BA= 成立的两个充要条件与一个充分条件[J].工 科数学，1995，P169～170. 作者简介：李瑞娟，女，助教，平顶山学院数学与信息科学学院教师。 收稿日期：2009-02-24