3第三章 刚体的定轴转动

第三章 刚体的定轴转动 3-0 第三章教学基本要求 3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律 第三章刚体的定轴转动 教学基本要求 一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念. 二、掌握力对固定转轴的力矩的计算 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，了解转动惯量的概 念 (72学时不要求用积分计算转动惯量) . 三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转 换关系. 四、理解刚体定轴转动定律. 五、理解角动量的概念, 理解刚体定轴转动的角动量守恒定律. 七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转 动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题. 六、会计算力矩的功 (72学时只限于恒定力矩的功) 、定轴转 动刚体的转动动能和对轴的角动量. 八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. 明确选择 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序. 3-1 刚体定轴转动的动能定理 和转动定律 预习要点 1. 注意描述刚体定轴转动的运动学方法. 2. 阅读附录1中矢量乘法. 力对转轴的力矩如何计算? 3. 领会刚体定轴转动的动能定理的意义. 注意区分平 动动能和转动动能的计算式. 注意力矩的功的计算 方法. 4. 转动惯量的定义是什么? 转动惯量与哪些因素有关? 5. 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意 它的应用方法. 一、刚体及刚体定轴转动 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）. 刚体的运动形式：平动、转动 .  平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同.  转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动. 转动分定轴转动和非定轴转动. 转轴不动, 刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动； 垂直于转轴的平面叫转动平面. 二、描述刚体定轴转动的物理量   )()( ttt   角位移 )(t 角坐标 ttt d d lim 0        角速度 角加速度 td d   x z )(t O 定轴(Oz轴)条件下，由Oz轴正向俯视，逆时针转 向的 取正，顺时针取负. 、、 三、刚体定轴转动的力矩和力矩的 功 P z *O FdFrM  sin M  F  r   d ( :力臂)d 刚体绕Oz轴旋转, O为轴 与转动平面的交点，力 作用 在刚体上点 P , 且在转动平面 内, 为由点O 到力的作用点 P的位矢. F  r  对转轴z的力矩F  1. 力矩 M  sFrFW dcosdd     2 1 d   MW 力矩的功 2. 力矩作功 o r  v  F  x v  F  O x r  tF  r  d d  dsind  FrM   四、刚体定轴转动的转动动能和转动惯量 1. 转动动能 2 ivim 2 1 刚体内部质量为 的质量元的速度为 im iriv    n i iirm 1 22 )( 2 1  22 22 2 11k 2 1 Δ 2 1 Δ 2 1 nnmmmE vvv      n i im 1 Δ 2 1 2 iv 动能为 刚体定轴转动的总能量（转动动能）    n i 2 ii ω)(rm 1 Δ 2 1    n i iirmJ 1 2定义转动惯量    n i iirm 1 2 相当于描写转动惯性的物理量. 2. 转动惯量 单位：kg · m2（千克·米2）. 2 k 2 1 JE 刚体定轴转动动能计算式： 对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴 的距离为r，则转动惯量 mrJ d2 与平动动能 2 k 2 1 vmE    n i iirmE 1 22 k )( 2 1 比较转动动能  l rrJ 0 2d 3 2/ 0 2 12 1 d2 lrrJ l    2 3 1 ml 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处 的质量元  r r,λm dd  rλrmrJ ddd 22  求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心 和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量. l O´ O rd r rd 2l2l O´ O 2 12 1 ml 如转轴过端点垂直于棒 刚体的转动惯量与刚体的质量m、刚体的质量分布 和转轴的位置有关. 3. 转动惯量的计算举例 4. 部分均匀刚体的转动惯量 薄圆盘转轴通 过中心与盘面垂直 2 2 1 mrJ  2r 球体转轴沿直径 5 2 2mr J  l 细棒转轴通过 中心与棒垂直 12 2ml J  l 细棒转轴通过 端点与棒垂直 3 2ml J  五、刚体定轴转动的动能定理 刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体 做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作 功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的 变化只有定轴转动动能的变化. 由质点组动能定理 0kk inex EEWW  ,0in W     0 dex MW 2 0k0 2 k 2 1 , 2 1  JEJE  合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量. 得刚体定轴转动的动能定理 2 0 2 2 1 2 1 d 0    JJMW   注意: 2. 刚体的定轴转动的动能应用 计算.2k 2 1 JE  1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点 组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚 体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系. 六、刚体定轴转动的转动定律 2 1 2 2 2 1 2 1 d 2 1    JJMW  由动能定理： 取微分形式：  d) 2 1 (dd 2 JJM  两边除dt dt d d d ω Jω t M   由于      tt d d , d d 故得   J t JM  d d 刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外 力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积. 七、牛顿定律和转动定律的综合应用 如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物 体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法. 但 应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动. 把平动物 体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把 定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方 程. 有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公 式补充方程，然后对这些方程综合求解. 例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬 有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张 力. 受力图如下， T1F gm1 T2 F a 12 mm 设 T2F gm2 a T1F o r m' m1 m2 JRFRF  T1T2 amFgm 2T22  amgmF 11T1  ra  解: 得解 , 2 1 )( 21 12 mmm gmm a    rmmm gmm ) 2 1 ( )( 21 12    , 2 1 ) 2 1 2( 21 21 1 mmm gmmm FT    mmm gmmm FT 2 1 ) 2 1 2( 21 12 2    2 2 1 MrJ  1）系统对轴的转动惯量J是杆的转动 惯量J1与小球的转动惯量J2之和. o α 例: 一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以 不计的小球，另一端可绕水平转轴转动. 某瞬时细杆在 竖直面内绕轴转动的角速度为 ，杆与竖直轴的夹角 为 . 设杆的质量为 、杆长为 l，小球的质量为 .1m ω α 2m 求： 1）系统对轴的转动惯量； 2）在图示位置系统的转动动能； 3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩. gm1 gm2 解: l 21 JJJ  2 2 2 3 1 lmml  2 2 3 1 lmm )(  2）系统的转动动能为： 2 k 2 1 JωE  22 21 3 1 2 1 ωlmm )(  3）系统所受重力有杆的中立和小球的重力. 则系统所受重力对轴的力矩的大小为： 21 MMM  αgmα l gm sinsin 21 2  αglmm sin)( 21 2 1  o α gm1 l 3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律 预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是 怎样的? 3. 动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么? 一、动量矩 1. 质点的动量矩  v  v  mrprL 0 v  r 0 L   0L  r  x y z o m 质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O的位矢为 ，质点相对于原 点的角动量 m r  v  θrmL sin0 v大小 的方向符合右手法则. 0L  单位 或12 smkg  sJ  质点对定点O的动量矩 在某坐标轴Oz上的投 影 称为该质点对轴Oz的动量矩. 质点作圆运动时， 其对过圆心O且运动平面垂直的轴Oz的动量矩： 0L  zL 0 0 0z 0cos LLL  或 00z πcos LLL  ωmrαrmL 20 sin  又  rm  v 故得 ωmrL 2z  （取正号LZ与Oz同向，负号反向） z 2. 刚体的动量矩 JL  O i r  im iv   刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直 的平面内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质 点对同一轴的动量矩之和.    n i iLL 1 z ωrm n i ii   1 2 ωrm n i ii   1 2 )( Jω 即 L为正，其方向沿Oz正向，反之沿Oz负向. 对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和. 二、刚体定轴转动时的动量矩定理 刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率. 1212 2 1 d LLJJtM t t   将上式变形后积分 动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩 的增量. t JM d d 由刚体定轴转动定律 t L t J M d d d )(d   LJtM d)(dd    2 1 d t t tM 表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累, 称为冲量矩. 动量矩守恒定律: 当刚体转动系统受到的合外力矩为 零时，系统的动量矩守恒. 三、动量矩守恒定律 若 ，0M 花样滑冰 跳水运动员跳水 注意 1. 对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受 的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量 矩始终保持不变. 2. 动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界 的一条普遍规律. 则  JL 常量. mo LL 0 Jωmlml  vv0 （1） 0v  解：杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对 轴无力矩；桌面及轴皆光滑，无摩擦力矩；轴对杆的 反作用力过轴也无力矩.因此，球与杆在碰撞过程中， 所受外力矩为零，在水平面上，碰撞过程中系统角动 量守恒. 即： 例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m’、长为 2l、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆.有一质 量为m的小球以与杆垂直的速度 与杆的一端发生完全 弹性碰撞，求小球的反弹速度 及杆的转动角速度. 0v  v  弹性碰撞动能守恒 222 2 1 2 1 2 1 Jωmm  vv0 （2） ωlmωlmJ '' 22 3 1 )2( 12 1 其中 mo 0v  联立(1)、(2)式求解 mm m-m 3 )3( ' '   0 v v lmm m )3( 6 '   0 v 