第十讲 整式的乘法与除法 第十讲 整式的乘法与除法 中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的
内容
财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容
与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法． 整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析． 正整数指数幂的运算法则： (1)aM· an=aM+n； (2)(ab)n=anbn； (3)(aM)n=aMn； (4)aM÷an=aM-n(a≠0，m＞n)； 常用的乘法公式： (1)(a+b)(a+b)=a2-b2； (2)(a±b)2=a2±2ab+b2； (4)(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3； (5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展开后，x2项的系数 ． 解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因为x2项只在-(x-1)3中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数即可．根据乘法公式有 (1-x)3=1-3x+3x2-x3， 所以x2项的系数为3． 说明 应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利． (x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2． 解 原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1) =(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1) =13x-7=9-7=2． 说明 注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8． 例3 化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n为大于1的整数． 解 原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-1 +x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n =1+(-x)n． 说明 本例可推广为一个一般的形式： (a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=an-bn． 例4 计算 (1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)； (2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)． 分析与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合． 原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2 =c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2． (2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但 x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2 与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了． 原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3 =(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)3 =x6-12x4y2+48x2y4-64y6． 例5 设x，y，z为实数，且 (y-z)2+(x-y)2+(z-x)2 =(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2， 解 先将已知条件化简： 左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz， 右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz． 所以已知条件变形为 2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0， 即 (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0． 因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以 说明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处． 我们把形如 anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 (n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示一元多项式． 多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除． 例6 设g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)． 解法1 用普通的竖式除法 解法2 用待定系数法． 由于f(x)为3次多项式，首项系数为1，而g(x)为2次，首 r(x)= bx+ c． 根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得 x3-3x2-x-1 比较两端系数，得 例7 试确定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除． 解 由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，若设 f(x)=x4+ax2-bx+2， 假如f(x)能被x2+3x+2整除，则x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，当x=-1时，f(-1)=0，即 1+a+b+2=0， ① 当x=-2时，f(-2)=0，即 16+4a+2b+2=0， ② 由①，②联立，则有 练习十 1．计算： (1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2； (2)(x+y)4(x-y)4； (3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)． 2．化简： (1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)； (2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)； (3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)×(x+y-z)． 3．已知z2=x2+y2，化简 (x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)． 4．设f(x)=2x3+3x2-x+2，求f(x)除以x2-2x+3所得的商式和余式．
浙公网安备 33021202002483